Analysis II für M, LaG/M, Ph 12. Übungsblatt

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1 Analysis II für M, La/M, Ph. Übungsblatt Fachbereich Mathematik WS / Prof. Dr. Christian Herrmann 8.. Vassilis regoriades Horst Heck ruppenübung Aufgabe. erechnen Sie das ebietsintegral sin (x y) d, wobei das Dreieck mit den Rändern x π, y π und x + y ist. Lösung: Wir berechnen dieses ebietsintegral mit Hilfe von (9a) (vgl. Seite 7). Es gilt f (x) x, f (x) π, a π und a π. Somit erhalten wir: π π π sin (x y) d sin (x y) d y d x [cos (x y)] y π y x d x π π π x π [cos (x π ) cos (x)] d x [sin (x π ) sin (x)]x π x π sin () sin (π) sin ( π) + sin ( π) Aufgabe. (a) Es sei {(x, y) : x + y < } und f : mit f (x, y) x + y. erechnen Sie das Integral f (x, y) d(x, y) durch geeignete krumme Zerlegungen des Integrationsgebietes und passende Treppenfunktionen. Hinweis: Die Funktion f hängt nur vom Abstand von (x, y) zum Nullpunkt ab. Es gelten die Formeln k 4 n (n + ) k und k k (n + )(n + )n. 6 (b) Es seien a, b >. erechnen Sie das Volumen der Ellipse E : {(x, y) : (x/a) + (y/b) < }, indem Sie die Substitution für den Einheitskreis, gegeben durch σ mit σ(x, y) : (ax, b y), τ ab und der Zerlegung Z n aus Teil (a), verwenden. Lösung: (a) Wir wählen als Zerlegung Kreisringstücke K i,j wobei K i, j alle Punkte des enthält, deren Polarkoordinatendarstellung r ( i, i+ π(j ) ) (Radius) und α (, π j ) (Winkel) erfüllt, wobei i, j {,..., n}. Der übrig bleibende n+ n+ n n Kreis im Inneren hat den Radius und kann aus Stetigkeitsgründen bei der Integration ignoriert werden. Die n+ Mengen K i,j haben den Flächeninhalt µ(k i, j ) π(i + ) n(n + ).

2 Ober- bzw. Untersumme ergeben sich durch i i + f (x, y) und fn (x, y). n n + n + Daher ergibt sich als Integral f (x, y) d(x, y) lim π f (x, y)µ(k n n i,j ) lim n π i, j i + i + i (n + ) 4 lim n π 4 n (n + ) (n + ) 4 π. (b) Die Angegebene Substitution überführt Kreissegmente in Ellipsoidsegmente. Daher ergibt sich das Volumen als E dx τ(u) du abµ() abπ. Aufgabe. ( Masse und Schwerpunkt) Sei K ein Kegel mit einem Kreis in der x -x -Ebene um den Nullpunkt und mit Radius R als rundfläche. Die Spitze des Kegels befinde sich im Punkt (,, h). Der Kegel sei mit einer Masse gefüllt, deren Dichte ρ : durch ρ(x, x, x ) x gegeben ist. estimmen Sie (a) die durch gegebene Masse des Kegels, M : K ρ(x, x, x )d(x, x, x ) (b) den Schwerpunkt S (S, S, S ) des Kegels, dessen Koordinaten durch für j,, gegeben sind. S j : M K x j ρ(x, x, x )d(x, x, x ) Lösung: (a) Wir verwenden Zylinderkoordinaten x r cos ϕ, x r sin ϕ und x z. Die Determinante der Jacobimatrix ist durch r gegeben und der Kegel wird durch die Menge K (r, ϕ, z) : r R( z/h), ϕ π, z h beschrieben. Für die Masse gilt dann (b) Es gilt S M K ρ(x, x, x )dλ(x, x, x ) π h R( z h ) z dzdϕ R R π z h z + z4 h 4h x M K ρ(x, x, x )dλ(x, x, x ) h R( z/h) π h R( z/h) π h zr d rdzdϕ (z z /h + z /h )dzdϕ R πh + R h π 4 M π h R( z/h) r cos ϕ zr d rdzdϕ r z drdz π cos ϕ dϕ, M da das Integral über die Winkelvariable verschwindet. Aus Symmetriegründen gilt auch S. S Also gilt S (,, h/5). M π h R( z/h) x K ρ(x, x, x )dλ(x, x, x ) z r d rdzdϕ M R π h M (z z /h + z 4 /h )dz R π M h h.

3 Hausübung Aufgabe H. (6 Punkte) estimmen Sie das Volumen, welches innerhalb des Zylinders {(x, y, z) : x + y 4}, über der Ebene z und unterhalb des durch die leichung (x + ) + y 4z gegebenen Paraboloids liegt. 4 z x y Lösung: In kartesischen Koordinaten sieht das ganze wie folgt aus: wir belassen x als freie Variable aus [, ]. Dann ist y von x abhängig, damit ein Kreis herauskommt: 4 x y 4 x. Die Höhe des Körpers können wir direkt aus der Aufgabenstellung ablesen: z (x 4 +) + 4 y. Den jetzt auftretenden Integralen ist allerdings nur mit etwas Erfahrung beizukommen: V dx d y dz 4 x 4 (x+) + 4 y dz dy dx T 4 x (x + ) + y d y dx (x + ) 4 x + (4 x ) dx y(x + ) + y 4 x y x(4 x ) + x 4 x + 6 arcsin x (4 x ) y x x 6π. dx In Zylinderkoordinaten ist ein wenig Vorarbeit zu leisten, dafür wird s beim Integrieren hübsch einfach. An dem Zylinder ist nichts mehr zu tun (klar, bei Zylinderkoordinaten). Nur die Höhe muß ein wenig umgeformt werden: (x + ) + y 4z (r cos ϕ + ) + r sin ϕ 4t t 4 r + r cos ϕ +.

4 Damit rechnen wir dann wie folgt (Hinweis, insbesondere für Klausuren: Transformationsfaktor r beim Übergang auf Zylinderkoordinaten wird gerne vergessen!): V dx d y dz π 4 r +r cos ϕ+ r dt dϕ dr T π 4 r + r cos ϕ + r dϕ dr π r + rπ π r dr 8 r4 + πr 6π, r das gleiche Resultat, allerdings mit wesentlich weniger Schmerzen erhalten. 4 r ϕ + r sin ϕ + rϕ ϕπ Aufgabe H. (6 Punkte) erechnen Sie das Volumen des Raumstückes, welches den beiden Zylindern x + y und x + z gemeinsam ist. Lösung: Wir müssen das Volumen des ebietes {(x, y, z) x + y, x + z } bestimmen, d.h. Wir erhalten folgende Integrationsgrenzen: Damit läßt sich das gesuchte Volumen berechnen: V () d x x 4x 4 x V () d. x x y x x z x. x x x x d y d x dz d y d x x x [z] z x z x [ x y] y x d x y ϕ x dr x d y d x 4( x ) d x Aufgabe H. (6 Punkte) egeben seien : {(x, y, z) x, y, z, x + y + z } und die Funktion f (x, y, z) x. (a) estimmen Sie das Volumen V () des ebietes. (b) erechnen Sie das ebietsintegral f (x, y, z) d. Lösung: (a) Für das Volumen von gilt: V () d. 4

5 Wir erhalten folgende Integrationsgrenzen: x y x z x y. Damit läßt sich das gesuchte Volumen berechnen: V () d x y x y 4 y x (x ) x y d x dz d y d x x (x x + ) d x ( x y) d y d x (x ) d x (b) f (x, y, z) d x x x y x x y x dz d y d x dz d y d x x(x x + ) d x ( x 4 4 x + x ) 4 5