Übungsblatt 1 zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik

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1 Übungsblatt 1 zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik Kapitel 1 bis inklusive Zu Kapitel 1 Wie viele Atome enthält eine Kupfermünze mit einer Masse von 3,4g benutzen Sie eine Masse von 63,5 atomaren Masseeinheiten für Kupfer)? Die Zahl der Atome N in einer gegebenen Masse m ist N = m m Cu M = 3, kg 63, 5 u 1, kg/u = 3, Zu Kapitel 1 Wie viele Moleküle befinden sich in einem m 3 Gas unter Normalbedingungen? Die Ideale Gasgleichung P V = NkT lässt sich umstellen zu N = P V kt = 1, Pa 1 m 3 1, J/K 273 K = 2, m 3 3. Zu Kapitel 2.1 Ein Atomstrahl wird beim Durchlaufen einer 0, 3 m langen Streukammer Teilchendichte m 3 ) um einen Faktor 3 abgeschwächt. Nehmen Sie an die Targetteilchen würden ruhen für gasförmige Targets entspricht diese Voraussetzung der Tatsache, dass die mittlere Geschwindigkeit des Atomstrahls in Vorwärtsrichtung wesentlich größer ist, als das zeitliche Mittel des Geschwindigkeitsquadrats der Teilchen in der Streukammer). Welchen Wert hat der entsprechende Streuquerschnitt? Die richtige Beschreibung für diesen Prozess ist das Beersche Gesetz: In, L) = I 0 exp nσl) n: Teilchendichte in der Targetkammer; n = m 3 L: Länge der Absorptionsstrecke des Teilchenstrahls; L = 0, 3 m I 0 : Intensität des Teilchenstrahl vor der Absorption In, L): Intensität des Teilchensstrahl nach Durchlaufen einer Strecke L gefüllt mit Gas der Dichte n; In, L) = I 0 /3

2 Übungen/Experimentalphysik IV Page 2 of 10 Name: σ: Streuquerschnitt Damit gilt: I 0 3 = I 0 exp nσl) σ = ln 1 /3 nl σ = 3, m 2 = 37 Gb Hinweis: die Berechnung über die Streuwahrscheinlichkeit macht eine Mittelung über die Länge der Strecke L, die hier aber zu einem falschen Ergebnis führt. 4. Zu Kapitel 2.1 Die mittlere Dichte der Wasserstoffatome im interstellaren Raum beträgt etwa 10 6 m 3 bei einem Partialdruck von mbar. Welche Temperatur besitzt das Gas? Einheitenbetrachtung nicht vergessen! Die Beschreibung erfolgt über die ideale Gasgleichung: p V = νrt ν = N/N A p V = R N A NT p V = knt p: Druck des Gases; p = mbar = Pa = N/m 2 mit 1bar = 10 5 Pa; und 1mbar = 100Pa V : Volumen des Gases N: Teilchenanzahl des Gases im Volumen V k: Boltzmannkonstante; k = 1, J/K T : Temperatur des Gases Die mittlere Teilchendichte n beträgt: n = N V = 106 m 3 Damit gilt für die Temperatur T des Gases: T = p nk T 7, 24 K [T ] = Nm3 K m 2 Nm = K

3 Übungen/Experimentalphysik IV Page 3 of 10 Name: 5. Zu Kapitel 2.2 Sauerstoffgas kann durch die van-der-waals-gleichung mit a = 0, 14 Nm 4 /mol 2 und b = 3, m 3 /mol beschrieben werden. Bestimmen Sie den Druck in einem mol Sauerstoffgas, wenn dessen Volumen bei 0 C 0, 4 Liter beträgt. a.) Benutzen Sie dazu die van-der-waals-gleichung. b.) Benutzen Sie die ideale Gasgleichung. a.) Die van-der-waals-gleichung lautet: p + a ) V mol b) = RT p: Druck des Gases V 2 mol a: Kovolumen des Gases; a = 0, 14 Nm 4 /mol 2 V mol : Molvolumen des Gases; V mol = 0, 4 Liter/mol = 0, 0004 m 3 /mol b: Binnendruck des Gases; b = 3, m 3 /mol R: universelle Gaskonstante; R = k N A = 8, 3 J/Kmol k: Boltzmann-Konstante N A : Avogadro-Konstante T : Temperatur des Gases; T = 0 C = 273, 15 K Damit gilt für den Druck nach der van-der-waals-gleichung: b.) Die ideale Gasgleichung lautet: RT p = V mol b) a Vmol 2 p = 5, 3 MPa = 53 bar pv = νrt Damit gilt für den Druck nach der idealen Gasgleichung: p = RT V mol p = 5, 7 MPa = 57 bar 6. Zu Kapitel 2.2 Schätzen Sie mit den Angaben aus der vorherigen Aufgabe den Durchmesser eines als kugelförmig angenommen Sauerstoffmoleküls ab. Hinweis: Benutzen Sie das Kovolumen. Das Kovolumen wird beschrieben durch: b = 4N A V T eilchen

4 Übungen/Experimentalphysik IV Page 4 of 10 Name: b: Kovolumen N A : Avogadro-Konstante; N A = 6, mol 1 V T eilchen : Volumen des betrachtenden Teilchens Da das Sauerstoffmolekül als Kugel angenommen werden soll, gilt: V O2 = 4π 3 r3 = π 6 d3 V O2 : Volumen des Sauerstoffmoleküls r: Radius des Sauerstoffmoleküls d: Durchmesser des Sauerstoffmoleküls Damit gilt für den Durchmesser des Sauerstoffmoleküls: 3 d = 3 2 b πn A d = 2, m = 2, 9 Å 7. Zu Kapitel 2.2 Die erste Beugungsordnung von Röntgenstrahlen mit λ = 0, 2 nm, die Braggreflexion an einer der Kubusseitenflächen eines NaCl-Kristalls erfahren, erscheint unter dem Glanzwinkel von 21. Wie groß ist die Gitterkonstante des NaCl-Kristalls? Wie groß ist die daraus berechnete Avogadro-Konstante ϱ NaCl = 2, 1 kg/dm 3 )? Die Bragg-Bedingung lautet: d: Netzebenenabstand θ: Glanzwinkel; θ = 21 n: Beugungsordnung; n = 1 2d sin θ = n λ λ: Wellenlänge der Röntgenstrahlung; λ = 0, 2 nm Für den Zusammenhang zwischen Netzebenenabstand und Gitterkonstante gilt für kubische Gitter: a d = h2 + k 2 + l 2 a: Gitterkonstante bei einem kubischen Gitter hkl): Millersche Indizes

5 Übungen/Experimentalphysik IV Page 5 of 10 Name: Wie in der Abbildung zu sehen ist, kann die Natriumchlorid-Kristallstrucktur als ein kubisches Gitter mit einer Basis aus einem Natrum- und einem Chlorion beschrieben werden. Die Gitterkonstante a gibt den Wert von einem zum nächsten Gitterpunkt, die Gitterebenen laufen hingegen mit Abstand a/2. Die Millerschen Indizes sind daher hkl) = 200), so beträgt hier der Netzabstand: Damit gilt für die Gitterkonstante: d = a 2 a = λ sin θ a = 0, 558 nm = 5, 6 Å Der Literaturwert beträgt nach Kittel, Einführung in die Festkörperphysik, 12.Auflage: a = 5, 63 Å Ein Mol NaCl mit dem Molgewicht M NaCl = 58, 4 g/mol besteht aus 2 N A Teilchen, da es sich aus Na mit dem Molegewicht 22, 9898 g/mol und Cl mit dem Molgewicht 35, 453 g/mol zusammensetzt. In der Einheitszelle mit der Kantenlänge a 3 befinden sich nach der obigen Abbildung 8 Teilchen, je 4 Na, bzw. Cl Atome. Damit gilt für die Avogadro-Konstante N A : ϱ NaCl = 8 M NaCl 2 N A a 3 N A = 4 M NaCl ϱ NaCl a 3 N A = 6, /mol ϱ NaCl : Dichte von Kochsalz; ϱ NaCl = 2, g/mol a: Kantenlänge der Einheitszelle; a = 5, 6 Å Der anerkannte Literaturwert für die Avogadro-Konstante beträgt nach CODATA: N A = 6, /mol

6 Übungen/Experimentalphysik IV Page 6 of 10 Name: 8. Zu Abschnitt 2.3 Bestimmen Sie den Raumfüllungsfaktor f bcc für ein bcc-gitter. Die Atome liegen bei bcc-gitter entlang der Würfeldiagonalen Dicht an Dicht, damit gilt für das Volumen V der Einheitszelle: r 0 : Radius des Atoms V = ) 3 4r0 3 Bei einem bcc-gitter befinden sich 2 Atome in der Einheitszelle, damit gilt für den Raumfüllungsfaktor f bcc : f bcc = 2 4π 3 r3 0 ) 3 4r = π 3 3 r r0 3 f bcc = π 3 0, Zu Kapitel 2.3 Wie groß sind Radius und Volumen von Ar-Atomen in einem kalten Ar-Kristall kubisch-flächenzentriertes Gitter = dichteste Kugelpackung), wenn bei der Braggreflexion von Röntgenstrahlen der Wellenlänge λ = 0, 45 nm, die unter dem Winkel ϑ gegen die Netzebene Glanzwinkel ) parallel zu den Würfelkanten einfallen, das erste Beugungsmaximum bei ϑ = 43 auftritt? Den Abstand der Netzebenen d kann mit der Braggbedingung bestimmt werden: n: Beugungsordnung; n = 1 2d sin ϑ = n λ Bei einem fcc-gitter sind ganze Netzebenen parallel zu den Wüfelkanten immer auf halber Länge der Einheitszelle: a: Kantenlänge der Einheitszelle d = 1 2 a

7 Übungen/Experimentalphysik IV Page 7 of 10 Name: Für das Volumen V Ar eines Ar-Atoms gilt damit: V Ar = f fcc VE N E λ 3 = f fcc 4 sin 3 ϑ = π 2λ 3 24 sin 3 ϑ V Ar = m 3 = 53 Å 3 f fcc : Raumfüllungsfaktor eines fcc-gitters; f fcc = π 2 6 V E : Volumen der Einheitszelle; V E = a 3 N E : Anzahl der Atome innerhalb der Einheitszelle; für ein fcc-gitter gilt: N E = 4 Für den Radius r Ar des Ar-Atoms gilt dann mit der Annahme, dass es kugelförmig ist: V Ar = 4π 3 r3 Ar r Ar = 3 3VAr 4π r Ar = 2, 33 Å 10. Zu Kapitel 2.3 Bitte arbeiten Sie für diese Woche die Seiten 1 bis 11 bis einschließlich 156 im Buch von E. Schpolski Atomphysik II durch. Versuchen Sie die Übungen 1), 2) und 5) auf Seite 4 und die Übung auf Seite 7 zu lösen. Schauen Sie sich insbesondere die konkret durchgerechneten Beispiele an. Seite 4 Aufgabe 1) Es ist zu zeigen, dass die Operatoren x und / y [...] und überhaupt die Operatoren unabhängige Variable und Differentiation nach einer anderen unabhängigen Variablen kommutativ sind Es wird jeweils die Produktregel g h) = g h + g h angewendet).

8 Übungen/Experimentalphysik IV Page 8 of 10 Name: x d ) u = x d dy dy u = xu ) d dy x u = d dy xu = x u + xu = xu x d dy d ) dy x u = xu xu = 0 y d ) u = y d dx dx u = yu ) d dx y u = d dx yu = y u + yu = yu y d dx d ) dx y u = yu yu = 0 x d ) u = x d dz dz u = xu ) d dz x u = d dz xu = x u + xu = xu x ddz ddz ) x u = xu xu = 0 Es seien die unabhängigen Operatoren x i und / x j = xj gegeben die auf die Funktion u = u x 1... x n ) angewendet werden: xi xj ) u = xi xj u ) xj x i u = xj x i u) = ) xj x i u + x i xj u ) }{{} =0 = x i xj u ) Und damit gilt [ xi, xj ] = xi xj xj x i ) = 0 Seite 4 Aufgabe 2 ) Es ist zu zeigen, dass die Anwendung des Operators [ ] d 2 dx) x auf die Funktion sin x) das Resultat sin x) + 3x cos x) x 2 sin x) hat, die Anwendung des Operators [ x d 2 dx)] auf die selbe Funktion aber x cos x) x 2 sin x) ergibt.

9 Übungen/Experimentalphysik IV Page 9 of 10 Name: Die Operatoren sind: F = [ ) ] d 2, [ dx x G = x d F u = Gu = [ ) ] [ ) ] d d x x sinx) = dx dx [ ) d x dx 2 dx)] und die Funktion u = sinx) ] sinx) + x cosx)) = 1 sinx) + x cosx) + 2x cosx) + x 2 sinx)) = sinx) + 3x cosx) x 2 sinx) [ )] [ )] [ )] d d d x x sinx) = x x cosx) dx dx dx = x cosx) + x 2 sinx)) = x cosx) x 2 sinx) Seite 4 Aufgabe 5) Es ist zu zeigen, dass F + G)F G) = F F F G + GF GG = F 2 G 2 F G GF ) F G)F + G) = F F + F G GF GG = F 2 G 2 + F G GF ) So dass die Zerlegung in Multiplikatoren F 2 G 2 = F + G) F G) nur bei kommutierenden Operatoren vorgenommen werden darf. Wenn die beiden Operatoren kommutativ sind, dann gilt: F G = GF, daraus folgt: F G GF = 0. Erst dann besitzt die Gleichung F 2 G 2 = F + G) F G) ihre Gültigkeit. Seite 7 Aufgabe) Zu zeigen, dass u = e 1 2 x2 Eigenwert λ = 1 ist. die Eigenfunktion des Operators F = d2 dx 2 + x 2 zum

10 Übungen/Experimentalphysik IV Page 10 of 10 Name: F u = λu ) F u = d2 dx + 2 x2 e 1 x2) 2 = d2 e 1 x2) dx x 2 e 1 2 x2 = d 1 2 ) dx 2 xe 12 x2 + x 2 e 1 2 x2 = d xe 1 x2) 2 + x 2 e 1 2 x2 dx = 1 e 1 x2) 2 + x 1 ) 2 2 x e 1 2 x2 + x 2 e 1 2 x2 = 1 e 1 x2) 2 x 2 e 1 2 x2 + x 2 e 1 2 x2 = 1 e 1 x2) 2 = λu Es ist zu zeigen, dass u = x e 1 2 x2 zum Eigenwert λ = 3 ist. die Eigenfunktion des Operators F = d2 dx 2 + x 2 F u = λu F u = λu ) F u = d2 dx + 2 x2 xe 1 x2) 2 = d2 xe 1 x2) dx x 3 e 1 2 x2 = d [ e 1 2 x2 + x xe 1 x2)] 2 + x 3 e 1 2 x2 dx = d e 1 2 x2 x 2 e 1 x2) 2 + x 3 e 1 2 x2 dx { = xe 1 2 x2 [2xe 1 2 x2 + x 2 xe 1 x2)]} 2 + x 3 e 1 2 x2 = xe 1 2 x2 2xe 1 2 x2 + x 3 e 1 x2) 2 + x 3 e 1 2 x2 = xe 1 2 x2 + 2xe 1 2 x2 x 3 e 1 2 x2 + x 3 e 1 2 x2 = 3 xe 1 x2) 2 = λu