PC-Übung Nr.1 vom

Transkript

1 PC-Übung Nr.1 vom Sebastian Meiss 25. November Allgemeine Vorbereitung a) Geben Sie die Standardbedingungen in verschiedenen Einheiten an: Druck p in Pa, bar, Torr, atm Temperatur T in C, K, F b) Wie groß ist die Dichte von N 2, CO 2 und Methan unter Standardbedingungen (Molvolumen 24,79 L)? c) Wie lautet die Aussage des 0ten Hauptsatzes der Thermodynamik? 2. Ein wenig Mathe I a) Bilden Sie z, z, 2 z, 2 z für die folgenden Funktionen: x y x y i. z = 2x 2 + xy 3 ii. z = x cos (2x) xy 1 iii. z = a x + y 2 + xe y b) Urteilen Sie, in welchen Fällen der Satz von Schwarz gilt. c) Bilden Sie die totalen Differentiale der drei angegebenen Funktionen! 3. Der Ausdehnungskoeffzient a) Geben Sie den isobaren, thermischen Ausdehnungskoeffizienten α = 1 ( ) V V T i. für ein ideales Gas mit p = nrt ii. für ein reales Gas mit p = RT a an. V b V 2 In i ist V das Volumen, in ii das molare Volumen! Leiten Sie hierzu die gegebenen Gleichungen nach dem Volumen V ab. Die anderen Parameter hängen nicht von V ab. Tipp: ( ) ( V T = T ) 1 V b) Berechnen Sie nun explizit den Wert von α aus den beiden Ansätzen für V, Ammoniak bei T = 23, 15 C, a = 4, 281 L2 bar mol 2 p und b = 0, 0371 L mol 1

2 4. Gleichgewichtsreaktion In der Vorlesung haben Sie die Gleichgewichtsreaktion 2 HI H 2 + I 2 kennengelernt. Bei einer Temperatur von T = 490 C beträgt die Gleichgewichtskonstante K c = 1. 45,9 Bestimmen Sie mit Hilfe des Massenwirkungsgesetzes die Gleichgewichtskonzentrationen der Stoffe, wenn Sie die Reaktion mit jeweils 1mol H 2 und 1 mol I 2 starten. 2

3 1. Allgemeine Vorbereitung Lösungen a) 1 bar = Pa = Pa = 752 Torr 1 atm (= 760 torr) 1T orr = 1atm P a Umrechnung Grad Celsius nach Fahrenheit θ C = ( 9 5 θ + 32) F 25 C = (273, ) K = 298 K = ( ) + 32 = 77 F b) Molvolumen V = 24, 79L, Dichte ist definiert als Masse pro Volumen ρ N2 = M(N 2) 24, 79L = 28g 24, 79L = 1, 13 g L ρ CO2 = M(CO 2) 24, 79L = 44g 24, 79L = 1, 77 g L ρ CH4 = M(CH 4) 24, 79L = 16g 24, 79L = 0, 64 g L c) Nullter Hauptsatz der Thermodynamik: Befinden sich zwei Stoffe A und B mit einem dritten Stoff C im thermischen Gleichgewicht, so sind sie es auch untereinander. Das heißt, zwei Stoffe, die wärmeleitend verbunden sind, nehmen (nach langer Zeit) die gleiche Temperatur an. 2. Ein wenig Mathe I a) Partiellen Ableitungen i. ii. iii. z x = 4x + y3 ; z y = 3xy2 2 z x y = 3y2 = 2 z z x = cos(2x) 2x sin(2x) y 1 ; z y = xy 2 z x = 2 z x y = y 2 = a 2 x + y + 2 ey ; z y = 2 z ay x + y 2 + xey 2 z x y = ay 2 (x + y2 ) e y ay = 2 (x + y 2 ) + 3 ey = 2 z 3

4 b) Satz von Schwarz Die Aussage des Satzes von Schwarz ist: Ist eine Funktion zwei Mal partiell differenzierbar und existieren die jeweils ersten partiellen Ableitung, so ist die Reihenfolge der Differenzierung nicht von Belangen. So ist für eine Funktion f(x, y), deren erste Ableitungen existieren stets c) Totale Differentiale i. ii. iii. 2 f x y = 2 f dz = [ 4x + y 3] dx + [ 3xy 2] dy dz = [ cos(2x) 2x sin(2x) y 1] dx + [ xy 2] dy [ ] [ ] a dz = 2 x + y + ay 2 ey dx + + x + y 2 xey dy 4. Gleichgewichtsreaktion Gegeben ist die Reaktion mit Ausgangsmengen von 1 mol Wasserstoff und 1 mol Iod 2 HI H 2 + I 2 sowie die Gleichgewichtskonstante K c = 1 45,9. Stelle nun das MWG zur Reaktion auf und ersetze die Konzentration von Wasserstoff (bzw. Iod) durch x. Dann folgt unmittelbar für die Konzentration von Iodwasserstoff 2mol 2x, da pro Wasserstoffmolekül, das entsteht, 2 Moleküle Iodwasserstoff zerfallen müssen. Also: Man rechnet nun x aus K c = c(h 2) c(i 2 ) c 2 (HI) = x 2 (2mol 2x) = , 9 x 2 (2mol 2x) 2 = 1 45, 9 41, 9x2 + 8xmol 4mol 2 = 0 Löse mit pq-formel und verwerte die sinnvolle Lösung x = 0, 223, sodass die Stoffmengen im Gleichgewicht also 0,223 mol Wasserstoff und Iod und somit 1,56 mol Iodwasserstoff betragen. Die Konzentrationen sind ja nicht die Stoffmengen. Hier sollen aber wohl die Stoffmengen berechnet werden. Wir berechnen dennoch die Konzentrationen. Hierzu ermittelt man, welches Volumen 1 mol Gas bei Normaldruck bei 763 K einnimmt. Dies sind 62,6 L. In diesem Volumen befindet sich jeweils 1 mol Gas. Deshalb sind die Konzentrationen der Stoffe natürlich identisch (Satz von Avogadro) bei c(h 2 ) = c(i 2 ) = c(hi) = 1mol 62, 6L = 0, 016mol L 4

5 3. Der Ausdehnungskoeffizient a) Bestimmen Sie α Ideales Gas: pv = nrt V = nrt p ( V T ) p = nr p α = 1 V nr p = 1 T Im letzten Schritt wurde R = p V n T genutzt. Reales Gas: p = RT V b a V 2 Hier wird es komplizierter und wir wenden den Tipp an. Löse die Gleichung also nicht nach V auf, sondern nach T p = RT V b a V = RT V 2 av + ab 2 (V b)v 2 pv 3 pv 2 b = RT V 2 av + ab T = pv 3 pv 2 b + av ab Wende nun den Tipp an Setze das nun bei α ein = pv R pb R a RV ab ( T V ) p = p R a RV + 2ab 2 RV = 3 RV 3 ( V T ) p = ( T V ) 1 p = α = RV 3 Ich habe nun die Ausdehnungskoeffizienten für das ideale Gas und das reale Gas α id = 1 T α real = 5

6 b) Berechnen der Werte Für das ideale Gas ist das trivial, hier folgt direkt aus der Temperatur von 250 K α id = 1 = 0, 004K 1 250K Nun wollen wir für das reale Gas α ausrechnen. Hierfür ist p als Normaldruck und T bei 250 K gegeben und zudem noch Werte für a und b. Wir können nur die reale Gasgleichung derart auflösen p = RT V b a V 2 pv 3 (pb + RT )V 2 + av ab = 0 Diese Gleichung ist mit einfachen Mitteln nicht zu lösen, Rechenprogramme liefern für V aber den Wert 20, 60L. Mit diesem kann man nun alles in die Gleichung für α einsetzen und erhält α real = α real = 0, 00408K 1 Eine Möglichkeit ist es hier, das Volumen zu approximieren, indem man für die Berechnung des Volumens die ideale Gasgleichung pv = nrt verwendet. Man erhält approximiert ein Volumen von etwa 20,6 L. Dies ist durchaus brauchbar. 6