11.2 Die absolute Temperatur und die Kelvin-Skala

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1 11. Die absolute Temperatur und die Kelvin-Skala p p 0 Druck p = p(t ) bei konstantem olumen 1,0 0, T/ C Tripelpunkt des Wassers: T 3 = 73,16 K = 0,01 C T = 73,16 K p 3 p Windchill-Faktor 1

2 11.3 Wärmeenergie und Wärmekapazität 1 Kalorie (cal) = 4,1868 Joule (J) Definition der Wärmekapazität C = Q T Q = C T Spezifische Wärmekapazität Molare Wärmekapazität c m = Q m T Q = c mm T c M = Q ν T Q = c M ν T [c m ] = J/(kg K) [c M ]=J/(mol K) ν = Stoffmenge

3 T e Q = δq = T a C(T )dt Q = C (T e T a )=C T Stoff Spezifische Molare Molare Wärmekapazität c m Masse M Wärmekapazität c M Einheit kj kg 1 K 1 kg kmol 1 kj kmol 1 K 1 Aluminium ,4 Kupfer ,5 4,5 Blei ,5 Silber ,5 Beryllium 11 Bor 13 Kohlenstoff 6 (Diamant) Wasser ,4 Eis ( 10 C) ,6 3

4 Dulong-Petitsche Regel c M 5 J mol K Spezifische Wärme von Al und Pb Molare Masse: M Pb = 07 g/mol M Al = 7 g/mol Masse: m Pb = 14 mol 07 g m Al = 14 mol 7 g mol mol 900 g 380 g ν c Pb ν c Pb 5 14 J/K 350 J/K Wasser: C W =4,18 J/(g K) m W C W = 090 J/K ) = νc (Ta T e ) ( νcta + m W C W T W a ) m W C W ( T e T W a T a 373 K T W a 93 K T e = m W C W + νc T e 300 K 4

5 11.4 Der Nullte Hauptsatz der Thermodynamik 11.5 Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik Innere Energie: Zustandsfunktion U = U(p,, T,...) U A = U(p A, A,T A,...) U E = U(p E, E,T E,...) U = U E U A du = δw + δq 5

6 Zustandsgleichung des idealen Gases: p = NkT [k] = [ p N T ] = N m m3 K = Nm K = J K k =1, J/K Joule Kelvin Celsius Fahrenheit N A =6, mol 1 Siedepunkt 5,15 zj 373 K 100 C 1 F N = ν N A Gefrierpunkt 3,77 zj 73 K 0 C 3 F p = NkT = νn A kt = νrt R = N A k =8,314 J Absoluter Nullpunkt 0 0K 73 C 459 F mol K 6

7 Loschmidt: M =, 4m 3 /kmol ρ = M M = Mp RT Spezifische Wärmen idealer Gase Spezifische Wärme bei konstantem olumen Q 1 = ν C T p T Q = νc T p + p T + T 7

8 Spezifische Wärme bei konstantem Druck Q = ν C p T C p = C + R p T Q = νc p T + p T + T C = 1 ν ( δq δt ) = 1 ν { du dt δw δt } = 1 ν du dt 8

9 δw = F dx = padx = p d p = νrt δw = p d = νr dt d = A dx F = pa dx ( δq ) } C p = 1 ν δt p = 1 ν { du dt + δw δt p = C + R 9

10 Äquipartitionsgesetz N 0 =6, kmol 1 U = ν N 0 f kt = ν f RT k = R N 0 =1, J/K Freiheitsgrade System Transl. Rot. Total C C p κ 1-atomiges Gas R 5 R 5 3 -atomiges Gas R 7 R atomiges Gas R 4R 4 3 feste Körper 3 kin.+ 3 pot. 6 3R 3R - 10

11 ibration 7 5 C R Rotation 3 Translation T /K 11

12 Zustandsänderungen bei idealen Gasen Isobare Zustandsänderung b e W = a δw = a p d e W = p a d = p ( e a ) bei konstantem Druck 1

13 Isotherme Ausdehnung Temperatur T (Wärmereservoir) δw =+p d Q 1 F =+ νrt d Temperatur T (Wärmereservoir) T = konst. Q F U U(T )=konst. du =0 du = δq + δw =0 δq = δw 13

14 Q = δq p 1 p isotherm = δw T = W p = konst. = p d p 1 d = νrt 1 1 = νrt ln ( 1 ) 14

15 Adiabatische Zustandsänderungen δq =0 du = νc dt p du = δq + δw p 1 T 1 adiabatisch du = δw = p d = νrt d p κ = konst. dt T = R d C p T 1 κ = C p C ln T = (κ 1) ln + konst. 15

16 ln T = (κ 1) ln + konst. T κ 1 = konst. p p κ = konst. T κ p 1 κ = konst. p 1 p 1 1 p = konst. p κ = konst. (für κ =1,4) p a = 1 bar T a = 7 C = 300 K isotherm adiabatisch p p e κ e = p a κ a p 3 1 p e = p a ( a e ) κ = 5,1 bar 16

17 T κ 1 = konst. C p /C -Messung nach Ruchardt p κ = konst. T κ p 1 κ = konst. C dt = RT d dt T = R C d = R Rf/ d dt T = f d 17

18 Statistische Mechanik v x dt v = v = v x + v y + v z = v 0 A dn + x = 1 (ν N 0) A dtv 0 l 3 Teilchenstromdichte l j x dn+ x A dt = 1 (ν N 0) v0 dn d = dn + x A v 0 dt = νn 0 18

19 j x dn+ x A dt = 1 (ν N 0) v0 dn d = dn + x A v 0 dt = νn 0 j x = dn+ x d v 0 = 1 dn d v 0 k x =mv 0 F x = K x t = n k x t = ν N 0 A tv 0 mv 0 t = ν N 0 mv 0 A v 0 = 1 3 v p = F A = ν N 0 mv 3 1 = 1 3 ρ v v = 3 kt m p = 3 ν N 0 m v = ν RT 19

20 11.7. Die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung v = v x v y v z = ξ η ζ d3 W(ξ, η, ζ) d 3 W dξ dη dζ (ξ, η, ζ) d 3 W dξ dη dζ (ξ, η, ζ) =f(ξ) f(η) f(ζ) = F (ξ + η + ζ ) f(ξ) = 1 σ π e ξ σ f(ξ)dξ =1 0

21 f(ξ) = 1 σ π e ξ σ d 3 W dξ dη dζ (ξ, η, ζ) = 1 σ 3 e (π) 3/ ξ +η +ζ σ = 1 σ 3 e (π) 3/ v σ d 3 W dξ dη dζ (ξ, η, ζ) dw? dv (v) ξ f(ξ)dξ =0 E kin f=1 = E kin (ξ) f(ξ)dξ = m ξ f(ξ)dξ = m σ = 1 kt σ = kt m 1

22 dw(v) = d 3 W(ξ, η, ζ) = K ( m ) 3 e m (ξ + η + ζ ) kt dξ dη dζ π kt K dξ dη dζ = v dv dϕ d cos ϑ dw(v) = ( m ) 3 e mv kt v dv 1 d cos ϑ π dϕ π kt 1 0 = ( m ) 3 e mv kt v dv π π kt

23 4 1 N dn dv / s km 3 T/K= v/km s ,0,0 dw dv =4π ( m π kt ) 3 mv v e kt 3

24 3 1 N dn dv / s km Cl N Ne 1 He H v/km s dw dv =4π ( m π kt ) 3 mv v e kt 4

25 Erwartungswerte 8 kt kt v = v dw(v) = π m v h = m v =0 0 v = 0 v dw(v) = 3 kt m Luft: κ =1,4 M 8,8 kg/kmol T = 73 K v S = 33 m/s ξ = η = ζ = 1 3 v = kt m v h = 397 m/s v = 448 m/s v = 487 m/s v S = κ RT M = κ kt m E kin = m v = 3 kt 5