11. Ideale Gasgleichung

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1 . Ideale Gasgleichung.Ideale Gasgleichung Definition eines idealen Gases: Gasmoleküle sind harte punktförmige eilchen, die nur elastische Stöße ausführen und kein Eigenvolumen besitzen. iele Gase zeigen ideales erhalten bei hohen, aber nicht zu hohen. Die Zustandsgrößen wie: Druck p [Pa], emperatur [K] olumen [m 3 ], Stoffmenge n [mol] lassen sich unter dieser Annahme auf Mittelwerte oder Gesamtwerte von Eigenschaften der Moleküle zurückführen. EP WS 7/8 Dünnweber

2 . Ideale Gasgleichung ariiert man, und p bei fester Stoffmenge n, so beobachtet man: p p const 73.5 K, Normdruck p 35 Pa Gesetz von Avogadro: Gleiche olumina Gas von gleichem Druck und gleicher emperatur enthalten gleich viele Moleküle, unabhängig von ihrer chemischen Beschaffenheit. Das olumen eines Mols einer Substanz nennt man molares olumen.4 m 3 mol - (.4 Liter/mol) Allgemeine Gasgleichung für ideale Gase: p p R R allgemeine Gaskonstante 8.3 J/(mol. K) R k. N A p n R n: Stoffmenge in [mol] verknüpft Zustandsgrößen eines idealen Gases EP WS 7/8 Dünnweber

3 Es geht weiter mit Zustandsänderungen idealer Gas. Im wesentlichen Anwendung der allgemeinen Gasgleichung und altgriechischer okabeln. Allgemeine Gasgleichung: p nr p Druck; Einheit PaPascal olumen; Einheit m3 Kubikmeter n Stoffmenge; Einheit mol Mol R allgemeine Gaskonstante absolute emperatur; Einheit KKelvin EP WS 7/8 Dünnweber

4 Zustandsänderungen - Stoffmenge n sei jeweils konstant Isothermen Hyperbeln (a) Isotherme Zustandsänderung ( konst.) p n R const Boyle-Mariotte-Gesetz: p. p. const. Isobaren Geraden (b) Isobare Zustandsänderung (Druck p const.) Gay-Lussac Gesetz: bzw.: n R p const EP WS 7/8 Dünnweber

5 (c) Isochore Zustandsänderung (olumen const.) n R p Isochore Geraden hieraus kann man durch Extrapolation p-> den absoluten Nullpunkt bestimmen Charles-Gesetz: p p const Anwendung: Gasthermometer p p ( + γ ) p p 73.5K EP WS 7/8 Dünnweber

6 d) adiabatische Zustandsänderung erhalten eines Systems, das ohne Wärmeaustausch zusammengedrückt oder entspannt wird, mechanische Arbeit wird geleistet adiabatische Kompression Wichtige oraussetzung: Kompressionszeit <<Zeit für Wärmeaustausch, wie z.b bei Schallausbreitung p κ p const κ Adiabatenkoeffizient Bild rechts zeigt vier Isothermen und zwei Adiabaten EP WS 7/8 Dünnweber

7 Kinetische Gastheorie: Wärme : ungeordnete Bewegung der Moleküle in einer Substanz. erkennbar an: Brownscher Molekularbewegung von Schwebstoffen Bisher: erhalten von Gasen mit makroskopischen ariablen (p,, ) beschrieben. Frage: Wie sind diese mit dem mikroskopischen Zustand des Gases (kinetische Energie, erteilung im Raum) verknüpft? Gas Flüssigkeit Festkörper Gase: Gasdruck wird verursacht durch Stöße der einzelnen Gasmoleküle mit der Wand. Die eilchen (Moleküle) im Gas bewegen sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten: Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung EP WS 7/8 Dünnweber

8 Stoß eines eilchens mit Wand (elastisch, m eilchen << m Wand ): Impulsänderung: P P m x v x (siehe Stoßgesetze) - Angenommen, man würde die gesamte kinetische Energie der N Gasteilchen in einem olumen kennen, dann wäre die mittlere Geschwindigkeit: E N gesamt kin E kin m v m v - Auf jede der drei Raumrichtungen x, y oder z entfällt /3 der Energie: m v m ( v x + v y + v z ) EP WS 7/8 Dünnweber

9 Mit diesen Annahmen kann man berechnen, wie viele Moleküle pro Zeit auf eine Wand der Fläche treffen und wie gross die gesamte Impulsänderung pro Zeit ist. Da Impulsänderung pro Zeit eine Kraft ergibt (Newtonsches Axiom) und Kraft pro Fläche ein Druck ist, ergibt sich ein Zusammenhang zwischen Druck und mittlerer kinetischer Energie der eilchen. Die Masse der Moleküle m spielt dabei eine Rolle, ebenso die Anzahl der Moleküle pro olumen N/. Auf der nächsten Seite wird die Herleitung der Zusammenhänge explizit gezeigt. Das Resultat sieht man am Ende der Seite. Es zeigt: Das Produkt p ist proportinal zur mittleren kinetischen Energie der Moleküle. Der ergleich mit der allgemeinen Gasgleichung p nr liefert eine fundamentale Erklärung der emperatur. EP WS 7/8 Dünnweber

10 Wieviele eilchen stoßen nun pro Zeitintervall t auf die Oberfläche A? on den Molekülen mit P N m v N N vx t A einer Schicht der Dicke x v x erreichen nur die Moleküle aus v x t Damit ist die Gesamtimpulsänderung: mn A v x in der Zeit t die Wand t Und somit ist der Druck auf die Oberfläche: (/: Annahme symmetr. erteilung) p F A A P t mn v x mn v 3 oder p mn v 3 n R EP WS 7/8 Dünnweber

11 -> Zusammenhang zwischen der mittleren kinetischen Energie der Gasteilchen und der emperatur des Gases: m v 3 3 E kin ( Rn / N) k E kin mittlere kinetische Energie pro eilchen, N/n N A k Boltzmannkonstante [J/K] : R k N A Damit hat man eine exakte Definition der emperatur beim idealen Gas. EP WS 7/8 Dünnweber

12 Einzelne eilchen (Moleküle) im Gas bewegen sich jedoch mit verschiedenen v Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung, siehe Bild f ( v) m 4π πk 3 v exp m v k N(v) N. f(v) v Zahl der eilchen mit Geschwindigkeitsbetrag zwischen v + v eilchen stoßen untereinander Änderung von v und der Richtung (Brownsche Molekularbewegung!) Mit der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung lassen sich mittlere Geschwindigkeit und mittleres Geschwindigkeitsquadrat berechnen: v vf (v)dv ; v v f (v)dv v 8k πm ; v 3k m EP WS 7/8 Dünnweber

13 Mittl. Geschw. bei 73 K: H : 7 m/s ; N : 453 m/s ; O : 447 m/s Bisherige Bewegungsformen der eilchen (Moleküle etc.) im Gas: -> nur ranslation in den 3 Raumrichtungen: 3 Freiheitsgrade hermische Energie pro Freiheitsgrad: Formel gilt auch für zusätzliche Freiheitsgrade (z.b. Rotation) der Moleküle im Gas: Bei i Freiheitsgraden gilt: E kin, FG k E kin, gesamt i k (Gleichverteilungssatz) kugelsymmetrische eilchen (z.b. Argon-Atome): kein Rotationsfreiheitsgrad hantelförmige Moleküle (z.b. N, O ): Rotationsfreiheitsgrade kompliziertere Moleküle (z.b. H O): 3 Rotationsfreiheitsgrade EP WS 7/8 Dünnweber

14 Prozessgrösse Wärmemenge (Seite nach orlesung eingefügt) Historisch: cal ( Kalorie) Wärmemenge, die nötig ist, um g Wasser von 4.5 auf 5.5 C zu erwärmen. Später fand man Äquivalenz von Energie und Wärmemenge, siehe Hauptsatz, weiter unten. Wärme ist eine Form von Energie. Die Gaskinetik lieferte einen direkten Zusammenhang zwischen der kinetischen Energie der eilchen und der emperatur, siehe oben. Neue Einheit der Wärmemenge ist die Energieeinheit Joule J: Umrechnung: cal 4.87 Joule EP WS 7/8 Dünnweber

15 Wärmekapazität: Wird einer Substanz Energie in Form von Wärme Q.zugeführt, steigt die emperatur, ausser bei Phasenübergang,s. unten R( ) Q Q c masse m c Mol J J [ c mol ] oder [ c ] Masse mol K pro Freiheitsgrad und pro Mol Allgemein: Wärmezufuhr emperaturänderung kg K n C C: Wärmekapazität eines bestimmten Körpers [J/K] c: Spezifische Wärmekapazität (bezogen auf Masse, Stoffmenge) c mol c Masse M mit M molare Masse [kg/mol] Wärmekapazität hängt davon ab, unter welchen Bedingungen das Experiment durchgeführt wird. Man definiert zwei Wärmekapazitäten: c P spezifische Wärme bei konstantem Druck (olumenarbeit p. ) c spezifische Wärme bei konstantem olumen (isochor, p. ) c p > c : bei isobarer Erwärmung wird zusätzlich olumenarbeit geleistet EP WS 7/8 Dünnweber

16 Prozessgrösse olumenarbeit (Seite geändert nach orlesung): - mit olumenänderung um ist mechanische Arbeit W verbunden - Kolben-Fläche A F p A (p const. für isobaren Prozess) - Beim erschieben um s wird von aussen olumenarbeit geleistet: W ol F s p W vo l Das negative orzeichen ist eine Folge der Definition: Bei olumenverkleinerung, negativ, wird positive Arbeit von aussen am System geleistet. In diesem Fall soll die olumenarbeit am System positiv gerechnet werden Die Energie des Systems erhöht sich. EP WS 7/8 Dünnweber

17 Geschieht die olumenänderung sehr schnell (adiabatisch), so kann kein Wärmeaustausch stattfinden und damit erhöht sich die emperatur des Gases. Bei isothermer Zustandsänderung, const.: olumenarbeit geht in das Wärmebad über, das mit dem Systemvolumen in Kontakt steht. c p und c v beim idealen Gas: c v (isochore emperaturänderung): W vol p c p (isobare emperaturänderung): olumenarbeit tritt zusätzlich auf W vol -p n R EP WS 7/8 Dünnweber

18 isobare Wärmezufuhr isochore Wärmezufuhr + olumenarbeit Q n c n c + p n c + n R c p c R Q mol p E kin, mol Wärmemenge zur Erwärmung von einem Mol Gas mit i Freiheitsgraden: i isochor: R isobar: Q Q mol mol c c p : : c v c p i R ( i ) + R c v c p i -atomig 3/ R 5/ R 3 ranslation -atomig 5/ R 7/ R 3 ranslation, Rotation 3-atomig, nicht linear 6/ R 8/ R 3 ranslation, 3 Rotation Bei höheren emperaturen können noch Schwingungen (ibrationen) wichtig werden (Anstieg von c p und c ). EP WS 7/8 Dünnweber

19 Festkörper (Zimmertemperatur): cp c (olumenausdehnung sehr klein) Beispiel: Blei: Aluminium: c Pb 9 Beispiele: Flüssigkeiten i6 c 3. R 4.9 J/(mol. K) Dulong-Petit Gesetz c Al 896 J kgk J kgk oder 5.6 oder 3.3 J molk J molk, M Pb,99 kg/mol, M Al,6 kg/mol Alkohol 4 J/(kgK) Benzol 7 " CCl 4 86 " Wasser 48 " J c P c in Einheiten von kg K ergleich mit Kaloriedefinition: Q ch m c. kg K 4.8 J H EP WS 7/8 Dünnweber

20 Bestimmung der Wärmekapazität eines Körpers mit Mischungskalorimeter Körper gibt Wärme an das Bad und das Gefäß ab: Q K c K. m K. ( K M ) Badflüssigkeit nimmt auf: Q B c B. mb. (M B ) Kalorimetergefäß nimmt auf: Q KA W KA. ( M B ) W KA : Wasserwert Wärmekapazität des Kalorimeters (berechnet aus einem Mischexperiment mit bekannten Wärmekapazitäten) Q K Q B + Q KA Q K c K. mk. (K M ) c B. mb. (M B ) + W KA. (M B ) c K ( c B m B m + W K ( K KA )( M M ) B ) EP WS 7/8 Dünnweber

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