Einführung in die Physik I. Wärme 2 Kinetische Gastheorie

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1 Einführung in die Physik I Wärme Kinetische Gastheorie O. von der Lühe und U. Landgraf Kinetische Gastheorie - Gasdruck Der Druck in einem mit einem Gas gefüllten Behälter entsteht durch Impulsübertragung der eilchen mit der Gefäßwand Die Geschwindigkeiten der eilchen sind in alle Richtungen gleich verteilt Annahme: es bewegen sich /6 der eilchen auf die Wand zu mit einer Geschwindigkeit v In einem Zeitraum dt erreichen n v dt n z v 6 dt 6 eilchen pro Flächeneinheit die Wand Der Gesamtimpulsübertrag pro Zeiteinheit ( Druck) ist, gemittelt über alle Geschwindigkeitsquadrate v dt p nmv Fläche A Masse der eilchen: m Impulsübertrag pro Stoß: p mv Zahl der eilchen: N olumen: eilchendichte: n N/ n p m v z m v v 6 n E kin Wärme

2 Kinetische Gastheorie - Zustandsgleichung Der ergleich mit der mittleren kinetischen Energie pro eilchen (Wärme F.) ergibt Die Zustandsgleichung stellt einen Zusammenhang zwischen Druck, olumen und emperatur her Gilt für ein ideales Gas Sind zwei Größen gegeben, so ergibt sich die dritte aus der ZG Für N Mol eines Gases lautet die Zustandsgleichung p n Ekin N n p N k p N N n k N A R k Gaskonstante R R NA k 8. [J K - - ] Wärme Wärmekapazität von Gasen Bei einem Gas kann man bei einer emperaturerhöhung das olumen oder den Druck konstant halten Die Wärmekapazitäten unterscheiden sich, da bei konstantem Druck durch die olumenänderung Arbeit geleistet wird Das erhältnis der Wärmekapazitäten c p und c heißt Adiabatenexponent γ c c p ΔE N konst. ΔE c p konst. Δ pδ p N R N f R Δ + p f cp c + NR + N γ cp f + c f R R Wärme 4

3 Kinetische Gastheorie. Hauptsatz Formulierung des Erhaltungs-satzes für Energie für die Wärmelehre: Führt man einem System die Energiemengen ΔQ in Form von Wärme und ΔW in Form von äußerer Arbeit zu, so erhöht sich seine innere Energie um den Betrag ΔU ΔU ΔQ + ΔW Innere Energie: Bewegungsenergie der Moleküle Schmelz-, erdampfungs-, Lösungsenergie Arbeit gegen chemische und elektromagnetische Kräfte Wärme 5. Hauptsatz für ideale Gase Die von außen an einem idealen Gas geleistete Arbeit ist Druckarbeit ΔW pδ. Hauptsatz für Gase ΔQ ΔU + p Δ Bei einem idealen Gas (Gesamtmasse M) ist die Änderung der inneren Energie ΔU c M. Hauptsatz für ideale Gase ΔQ c M + p Δ Wärme 6

4 Zustandsänderungen Eine Zustandsänderung heißt isotherm, wenn konstant bleibt isobar, wenn p konstant bleibt isochor, wenn konstant bleibt adiabatisch, wenn es zu keinem Wärmeaustausch kommt: ΔQ Durch eine Folge von Zustandsänderungen kann Wärmeenergie in mechanische Energie umgewandelt werden Adiabatische Zustandsänderung: c M d p d Hieraus erhält man durch Ersetzen von c und mit der Zustandsgleichung für ideale Gase f d γ d d und daraus die folgenden Zusammenhänge ~ γ, p ~ γ, p ~ γ γ Wärme 7 Boltzmann - erteilung Barometrische Höhenformel beschreibt die Druckverteilung eines Gases in einem konstanten äußeren Kraftfeld eilchenzahldichte n (eilchen pro olumeneinheit) ist proportional zum Druck: n ~ p eilchenzahldichte hängt ab von der potentiellen Energie mgh des einzelnen eilchens: p siehe Deform. Körper F. 9 ρ ( ) M h p exp g h p exp gh p p Für ein Mol gilt Epot n exp k p R N Mgh n( h) n exp n exp N Ak ( h) A mgh k k Wärme 8 4

5 Boltzmann - erteilung erallgemeinert für beliebige Energieunterschiede erhält man die Boltzmann-erteilung Die Boltzmann-erteilung tritt überall dort auf, wo ein Ensemble von eilchen verschiedene Energiezustände in einem stationären Zustand einnehmen kann (thermodynamisches Gleichgewicht) Allgemeine Wahrscheinlichkeit eines Systems, welches eine Reihe von Zuständen i mit den Energien E i einnehmen kann Statistisches Gewicht g i Relative eilchenzahl n ( E ) ( E ) n E E exp k Boltzmann-erteilung.5.5 Energieunterschied [k] E i pi gi exp k Wärme 9 Maxwell erteilung In einem idealen Gas hat jedes eilchen kinetische Energie. Die erteilung der Energie ist eine Boltzmann-erteilung Höhere Geschwindigkeiten haben ein höheres statistisches Gewicht p mv () v ~ g() v exp k g ( v) 4πv Die Maxwell-erteilung gibt die erteilung der Geschwindigkeiten in einem idealen Gas mit emperatur an m () mv p v v exp π k k Wärme 5

6 Maxwell erteilung.4 Maxwell-erteilung. p(v) [s / m] K K K K Geschwindigkeit [m / s] Wärme 6

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