Physik 2 (B.Sc. EIT) 2. Übungsblatt

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1 Institut für Physik Werner-Heisenberg-Weg 9 Fakultät für Elektrotechnik München / Neubiberg Universität der Bundeswehr München / Neubiberg Prof Dr H Baumgärtner Übungen: Dr-Ing Tanja Stimpel-Lindner, Büro 08 / G 7, Tel: (089) , tanjastimpel-lindner@unibwde II Thermodynamik - Kreisprozesse Physik (BSc EIT) Übungsblatt Die Formulierung des Zweiten Hauptsatzes für Wärmekraftmaschinen lautet Es ist unmöglich, eine zyklisch arbeitende Wärmekraftmaschine zu konstruieren, die keinen anderen Effekt bewirkt, als Wärme aus einem Reservoir zu entnehmen und eine äquivalente Menge an Arbeit zu verrichten Folgende Kreisprozesse spielen in der Thermodynamik eine wichtige Rolle Ottomotor Kreisprozess : adiabatische Kompression vom Zustand a ( a, p a ) in den Zustand b ( b, p b ) isochore Erwärmung vom Zustand b in den Zustand c ( c, p c ) adiabatische Expansion vom Zustand c in den Zustand d ( d, p d ) 4 isochore Abkühlung vom Zustand d in den Anfangszustand a Dieselmotor Kreisprozess : adiabatische Kompression vom Zustand a ( a, p a ) in den Zustand b ( b, p b ) isobare Expansion vom Zustand b in den Zustand c ( c, p c ) adiabatische Expansion vom Zustand c in den Zustand d ( d, p d ) 4 isochore Abkühlung vom Zustand d in den Anfangszustand a Stirling Kreisprozess : isotherme Kompression vom Zustand a ( a, p a ) in den Zustand b ( b, p b ) isochore Erwärmung vom Zustand b in den Zustand c ( c, p c ) isotherme Expansion vom Zustand c in den Zustand d ( d, p d ) 4 isochore Abkühlung vom Zustand d in den Anfangszustand a Carnot Kreisprozess : isotherme Expansion vom Zustand a ( a, p a ) in den Zustand b ( b, p b ) adiabatische Expansion vom Zustand b in den Zustand c ( c, p c ) isotherme Kompression vom Zustand c in den Zustand d ( d, p d ) 4 adiabatische Kompression vom Zustand d in den Anfangszustand a Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine ist definiert als der Quotient aus verrichteter Arbeit und zugeführter Wärme W ε = Q w Aufgaben Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben empfiehlt sich ein Studium der folgenden Literatur: Physik von PATipler, Seiten Spektrum, Akademischer erlag, Heidelberg - Berlin a,i) Betrachtet wird ein Ottomotor-Kreisprozess Berechnen Sie die aufgenommene und die abgegebene Wärmemenge und zeigen Sie, daß der Wirkungsgrad der Gleichung T d T a ε = T c T b folgt, wobei T a, T b, die Temperaturen der Zustände a, b, sind ii) Bei der adiabatischen Expansion oder Kompression eines idealen Gases ist T γ- konstant Zeigen Sie daß damit

2 ε = γ gilt, wobei = a = d und = b = c ist b) Betrachtet wird ein Stirling-Kreisprozess Berechnen Sie den Wirkungsgrad dieses Kreisprozesses als Funktion der Temperaturen T w und T k sowie der olumina a und b c) Die Clausius-Zustandsgleichung von Gasen lautet P ( - b n) = n R T Darin ist b eine Konstante Zeigen Sie, daß der Carnot- Wirkungsgrad für ein Gas mit dieser Zustandsgleichung derselbe ist wie für ein ideales Gas, bei dem P = n R T gilt III Transferaufgaben Thermodynamik Aufgaben Zur Bearbeitung der folgenden Aufgabe benötigen Sie nur Ihre orlesungsmitschrift und Ihren Übungsordner der orlesung Physik d) In einem dreistufigen Kreisprozess sollen n = 0 Mol eines idealen Gases verwendet werden Schritt besteht aus einer adiabatischen Expansion des Arbeitsgases und wird gefolgt von der isobaren Abkühlung in Schritt Weiterhin gelte: p = bar, p = p, T = 600 K sowie = Die molare Wärmekapazität des verwendeten Gases bei konstantem olumen sei c v,mol =,5 R, wobei R die allgemeine Gaskonstante ist i) Skizzieren Sie den Prozess im p--diagramm ii) Benennen Sie die Art der Zustandsänderung während des Übergangs iii) Berechnen Sie den Adiabatenkoeffizienten γ des Gases iv) Errechnen Sie die Zustandsvariablen,, T, und T v) Bestimmen Sie die dem System zugeführten Wärmemengen Q, Q, Q und die am System geleisteten Arbeiten W, W und W vi) Berechnen Sie die eingeschlossene Fläche im p--diagramm durch Integration ergleichen Sie das Ergebnis mit den Resultaten aus v) vii) In welcher Richtung muss der Prozess durchlaufen werden, um als Wärmekraftmaschine dienen zu können und welchen Wirkungsgrad erhält man dafür? e) Betrachtet wird der Kreisprozess einer Dampfmaschine, die mit einem idealen Gas betrieben wird Zu Beginn des Dampfeintrittes aus dem Kessel in den Zylinder wächst der Druck in ihm bei konstanten olumen 0 = m von P 0 = 0, Pa auf P =, Pa an; bei weiterem Dampfzutritt bewegt sich der Kolben bei konstantem Druck P von links nach rechts; bei weiterer Bewegung des Kolbens nach rechts wird der Dampfzutritt aus dem Kessel in den Zylinder unterbrochen (an diesem Punkt beträgt das olumen =,5 0 - m ), und es erfolgt eine adiabatische Ausdehnung des Dampfes, bis ein olumen von = 0 - m erreicht ist Bei dieser äußersten rechten Lage des Zylinders geht der Dampf aus dem Zylinder in den Kühler über - der Druck fällt dabei bei konstantem olumen bis zur Größe P 0 Bei der sich anschließenden Rückwärtsbewegung stößt der Kolben den restlichen Dampf bei konstantem Druck P 0 aus - das olumen verringert sich dabei von auf 0 i) Zeichnen Sie quantitativ das P--Diagramm des gerade geschilderten Kreisprozesses! ii) Berechnen Sie die in jedem Zyklus verrichtete Arbeit dieser Maschine und berechnen Sie damit ihren Wirkungsgrad (der Adiabatenkoeffizient sei,)!

3 Musterlösung a,i) In der folgenden Abbildung ist das p--diagramm eines Ottomotor - Kreisprozesses dargestellt Es gilt dq = du - dw = c dt + p d und Bei der isochoren Erwärmung vom Zustand b in den Zustand c wird dem System die Wärmemenge Q zu zugeführt Bei der isochoren Abkühlung vom Zustand d in den Zustand a wird vom System die Wärmemenge Q ab abgegeben Für den Wirkungsgrad ergibt sich also ii) Entlang der Adiabaten gilt T γ- = konst Somit folgt T a a γ- = T b b γ- und T c c γ- = T c b γ- = T d d γ- = T d a γ- Daraus folgt T c b γ- - T b b γ- = T d a γ- - T a a γ- Nach Umformung erhält man b) In der folgenden Abbildung ist das p--diagramm eines Stirling - Kreisprozesses dargestellt

4 Schritt (a b): isotherm, dh dt = 0 du = 0 dq = P d mit P d = n R T K Damit folgt Schritt (b c): isochor, dh d = 0 dq = du = c dt Damit folgt Schritt (c d): analog zum ersten Schritt ergibt sich 4 Schritt (d a): analog zum zweiten Schritt ergibt sich Es gilt nun W = Q zu - Q ab = Q b c + Q c d - Q a b - Q d a Für den Wirkungsgrad ergibt sich also ( = a = d, = b = c ) c) In der folgenden Abbildung ist das p--diagramm eines Carnot - Kreisprozesses dargestellt 4

5 Die Rechnungen ergeben (entlang der Adiabaten ist dq = 0) Für adiabatische Prozesse gilt 0 = du - dw = c dt + p d Daraus folgt Integration liefert ln(t) = -α ln( - b n) + a (a Integrationskonstante, α = n R/c ) Eine weitere Umformung ergibt T α = a = konst Entlang der Adiabaten gilt also T W ( b - b n) α = T K ( c - b n) α und T W ( a - b n) α = T K ( d - b n) α und damit folgt d,i) Das P--Diagramm des beschriebenen Prozesses sieht wie folgt aus: 5

6 P P P ii) Es handelt sich um eine isochore Zustandsänderung iii) cp cv = R cp = γ c v c p =,5 R iv) Folgende Größen sind gegeben: P bar bar bar T 600 K Die restlichen Größen sollen nun sukzessive berechnet werden P = nrt nrt = = 0, 5m P P = nrt T = 00,8 K P γ γ = P γ P =, 4 P = 0 m 4 P = nrt T = 49,4 K P bar bar bar 6

7 0,5m 0,4m 0,5m T 600 K 49,4 K 00,8 K v) ΔQ = 0 (adiabatisch!) W = c mol n ΔT =, 5kJ vi) Δ, ΔQ = c, mol n ΔT = W = p Δ = 6kJ ΔQ = c, mol n ΔT = ΔW = 0, da Δ = 0 p 56, 0kJ Δ v 6, 6kJ γ A = Pd Pd = P d P γ γ + γ γ + ( ) = P P ( ) = 6, kj vii) Qzu Q η = Q zu ab = 9,9% e,i) Das P--Diagramm des beschriebenen Prozesses zeigt die folgende Abbildung ii) Berechnung des unbekannten Druckes P x : Entlang einer Adiabaten gilt P γ = konst Damit folgt P γ = P x γ Und damit Berechnung des Wirkungsgrades der WKM: Isochore Erwärmung vom Zustand A in den Zustand B: P d = 0 dq = du = c dt Q A B = c (T B - T A ) > 0, Isobare Expansion vom Zustand B in den Zustand C: P d = n R dt dq = du + P d = (c + n R) dt = c P dt Q B C = c P (T C - T B ) > 0, Adiabate Expansion vom Zustand C in den Zustand D: dq = 0 Q C D = 0, 4 Isochore Abkühlung vom Zustand D in den Zustand E: Q D E = c v (T E - T D ) < 0, 5 Isobare Kompression vom Zustand E in den Zustand A: 7

8 Q E A = c P (T A - T E ) < 0 Somit folgt Q W = c (T B - T A ) + c P (T C - T B ) und Q K = c (T E - T D ) + c P (T A - T E ) Für den Wirkungsgrad der WKM ergibt sich also Mit Hilfe der Beziehung ergibt sich daraus Da außerdem gilt, folgt für die pro Zyklus verrichtete Arbeit W = ε Q W ; es folgt also Mit Hilfe der Beziehungen und n R = c P - c läßt sich umformen, und man erhält 8