Statistische Physik - Theorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke)

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1 Freie Universität Berlin W 006/007 Fachbereich Physik tatistische Physik - heorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke) Übungsblatt 9: hermodynamische Identitäten, hermische/kalorische Zustandsgleichung, Kreisrozesse Aufgabe (4 Punkte) Beweisen ie die thermodynamischen Identitäten C κ ( ), ( ) C κ C, ( ) ( ). C Hierbei bezeichnet κ die isotherme und κ die adiabatische Komressibilität. Aufgabe ( Punkte) Ein in einem Hohlraum eingeschlossenes Photonengas (Hohlraumstrahlung) wird durch die Zustandsgleichung u(), u U beschrieben. Welche Aussagen lassen sich über die Form der thermischen und kalorischen Zustandsgleichung aus der zugehörigen Gibbsschen Fundamentalgleichung ableiten. d du + d Aufgabe (5 Punkte) Ein ideales Gas erfüllt bei 00 K ein olumen von 0,5 m bei einem Druck von 0650 Pa. Zunächst exandiert das Gas adiabatisch bis zu einem olumen von, m. Im folgenden chritt wird es isobar bis zu seinem ursrünglichen olumen komrimiert. chließlich wird der Druck isochor so lange erhöht, bis das Gas wieder in seinen Ausgangszustand zurückkehrt. Der Adiabatenkoeffizient sei 5/. a. tellen ie den Kreisrozess in einem Diagramm dar. b. Bestimmen ie die emeratur am Ende eines jeden eilschrittes. c. Berechnen ie die Arbeit, die während eines Umlaufs verrichtet wird. d. Wie hängt die emeratur mit der Entroie während der drei eilschritte zusammen? tellen ie den Kreisrozess in einem Diagramm dar. e. erifizieren ie die Gibbs-Duhem-Relation. Hinweis: erwenden ie die Adiabatengleichung γ const entlang einer Adiabaten. Abgabetermin: Mittwoch, vor Beginn der orlesung.

2 Lösungen Aufgabe Nach den Rechenregeln für die Jakobi Determinante ergibt sich ( ) (, ) (, ) (, ) (, ) C (, ) (, ) (, ) (, ) [( ) ] ( ) κ C C, κ woraus die erste Behautung unmittelbar folgt. Ausgehend vom Differential der freien Energie () erhalten wir die Maxwell Relation Weiterin ist ( ) (, ) (, ) woraus nun df d d () ( ) F (, ) (, ) (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) C. () [( ) ] C folgt. Für die letzte Identität gehen wir vom Differential der freien Enthalie aus ( ), (4) dg d + d. (6) (5) Hier lautet die Maxell-Relation ( ) ( ) G G. (7) In Analogie zur vorherigen Relation finden wir ( ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) ( ) [ ( ) ] C ( ), (8) womit wir schließlich erhalten: Aufgabe ( ) ( ). (9) C hermische (, ) und kalorische Zustandsgleichung U U(, ) eines ystems sind nicht unabhängig voneinander vorgebbar. Ihr Zusammenhang erschließt sich über die gemischten artiellen Ableitungen der Entroie nach ihren natürlichen ariablen. Zunächst setzt man das vollständige Differenzial der innern Energie du ( U/ ) d +( U/ ) d in die Gibbssche Fundamentalgleichung ein d du + d! ( ) U d + ) ( [( ) ] U + d (0) ) d + ( d. ()

3 Daraus erhält man durch ergleich ( ) ( ) U und ( ) [( ) ] U + () und wegen der ertauschbarkeit der gemischten zweiten Ableitungen / / schließlich die gesuchte Relation ( ) ( ) U. () Unter Benutzung dieses Zusammenhanges folgt für das Photonengas ( ) U u() du() d u() (4) also die Differentialgleichung welche durch 4 d du u (5) U(, ) b 4, b const (6) gelöst wird. Die thermische Zustandsgleichung hat demnach die Form Aufgabe (, ) b 4. (7) a. Abbildung zeigt den Kreisrozess im Diagramm. Die einzelnen chritte sind durchnummeriert. P γ const 0650 P (Pa) K 67 K 0.5 (m ). Abbildung : erlauf des Kreisrozesses in der Ebene. Die Achsen sind nicht maßstabsgetreu skaliert. b. Aus der Adiabatengleichung γ c folgt nach der Zustandsgleichung des idealen Gases unmittelbar γ c, wobei c, c const. Daher ist mit 0650 Pa, 00 K, 0, 5 m und, m : γ γ 4704 Pa γ γ 67, 6 K. (8) Nach der isobaren Komression zum Ursrungsvolumen gilt und sowie mittels der Zustandsgleichung des idealen Gases 70 K. (9)

4 c. ei W d die Arbeit, die während des ganzen Kreisrozesses verrichtet wird. Der Beitrag aus dem ersten eilschritt ergibt sich zu W d c 6700, J, γ d c [ ] γ γ c [ ] γ γ c c wobei wir die Adiabtengleichung verwendet haben. Im zweiten eilschritt erhalten wir W d (0) d [ ] 97, 8 J. () Da sich im dritten chritt das olumen nicht mehr ändert, verschwindet W. Daher finden wir abschließend W W + W 47, 5 J: das ystem leistet also Arbeit an der Umgebung. d. Aus Aufgabe, Blatt 5 wissen wir, dass die Entroie eines idealen Gases ( ) Nk B Nλ + 5 ] beträgt, wobei λ : h/ πmk B die thermische Wellenlänge bezeichnet. Daher erhalten wir auf dem ersten eilstück { } ] [ { } ] (c ) /γ (πmkb ) Nk B / Nh + 5 (πc mk B ) / Nk B ln Nh + 5 () () const. Im zweiten chritt folgt wegen Nk B und const { } ] k B (πmk B ) Nk B / h + 5 [ { Nk B ln c 5/} + 5 ] (4) mit c const. omit ist { } () ex. (5) 5Nk B 00 (K) Abbildung : erlauf des Kreisrozesses in der Ebene. Die Achsen sind nicht maßstabsgetreu skaliert. Da das olumen im letzten chritt konstant gehalten wird, resultiert die einzige emeraturabhängigkeit der Entroie aus der thermischen Wellenlänge, also { Nk B c 4 /} + 5 ] { () ex 5 } (6) Nk B mit c 4 const. Abbildung illustriert den Zusammenhang zwischen und.

5 e. Die Gibbs-Duhem-Relation besagt, dass F + µn 0 ist. Die freie Energie eines idealen Gases berechnet sich zu F U ( ) Nk B Nk B Nλ + 5 ] (7), Nk B [ ( ) ] ln Nλ +. (8) Daraus erhalten wir umgehend ( ) F µ [ { } ] { } N N Nk B ln λ + k B ln F N λn N + k B. (9) Daraus ergibt sich mit Hilfe der Zustandsgleichung des idealen Gases ( ) F F + N + k B N Nk B 0, (0) was die Gibbs-Duhem-Relation bestätigt.