Übungen zu Moderne Theoretischen Physik III SS Curie-Paramagnetismus ( =30 Punkte, schriftlich)

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1 Karlsruher Institut für echnologie Institut für heorie der Kondensierten Materie Übungen zu Moderne heoretischen Physik III SS 06 Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 5 PD Dr. B. Narozhny, P. Schad Lösungsvorschlag. Curie-Paramagnetismus Punkte, schriftlich amiltonoperator der Spin-J-eilchen mit Magnetfeld in z-richtung: Ĥ µ N Ĵ i µ N Ĵz. a Die Mikrozustände sind charakterisiert durch {α} {m, m, m 3,..., m N } mit Quantenzahlen m i { J, J +,..., J, J}. Die zugehörigen Energien sind E α µ N m i. i Wir bestimmen die kanonische Zustandssumme. Für unabhängige Spins faktorisiert die Zustandssumme mit Spin-Spin-Wechselwirkung ist das im Allgemeinen nicht mehr der Fall: Z tr e βĥ {α} e βeα {α} N e βµm i N +J m i J e βµm i Z N, 3 Die einzelnen Zustandssummen sind alle identisch, Z i Z, es reicht deshalb die Zustandssumme eines Spins Z zu berechnen. Dazu schreiben wir die Summe als geometrische Reihe: Z +J m J e βµm e βµj J+µ µ J e βµ p e βµj eβµj+ e βµ 4 Für den Spezialfall J kann man mit der Formel x x cosh x das evtl. bekannte Ergebnis Z cosh µ ableiten. Aus der Zustandssumme erhalten wir die freie Energie: J+µ k F, k B ln Z Nk B ln Z Nk B ln B µ J + µ Nk B ln ln µ. 5

2 b Die Entropie können wir aus der freien Energie berechnen: S F finden wir J+µ k S k B N ln B k µ B N J + µ J + µ coth k B + k B N µ µ coth k B N [ ln J+µ µ + µ coth µ. Mit Gl. 5 ] J + µ J + coth Man kann überprüfen, dass diese Entropie für 0 verschwindet, in Übereinstimmung mit dem dritten auptsatz. Die Magnetisierung erhalten wir aus M α. Es ist M x M y 0, nur F α die Komponente in Richtung des äußeren Magnetfelds ist ungleich null: M M z µn J + µ J + coth coth µ Die Magnetisierung M µn m kann auch über eine Ableitung, m Z, Z βµ direkt aus der Zustandssumme berechnet werden. Für die Wärmekapazität c S µ c Nk B µ erhalten wir manche erme kürzen sich 6 7 J +. 8 J+µ Für die Wärmekapazität c M verwenden wir das auf Blatt, Aufgabe 3 hermodyn. Antwortfunktionen erhaltene Zwischenergebnis Gl. 38 des Lösungsvorschlags zu Blatt c M c S M χ. 9 Um diese Relation zu erhalten wurde das totale Differentiale dm, benutzt, um ds, als Differential ds, M zu schreiben Alternativ diese Relation auch mit den auf Blatt, Aufgabe 3, gezeigten Identitäten erhalten werden. Wichtig ist hier, c M so auszudrücken, dass wir die oben abgeleiteten Ergebnisse S, und M, benutzen können. Die Magnetisierung M, Gl. 7, hängt nur vom Verhältnis µ k B ab, deshalb gibt es einen einfachen Zusammenhang der Ableitungen nach und : M M χ M χ. 0 Wir brauchen also noch S. Auch im Fall von S, gibt es einen Zusammenhang zwischen den Ableitungen: S S c.

3 Wir setzen jetzt 0 und in 9 ein und finden c M c c 0 Das ist das erwartete Ergebnis, da die Energie, Gl., direkt mit der Magnetisierung zusammenhängt. Bei fester Magnetisierung kann sich auch die Energie des Systems nicht ändern, deshalb erwarten wir c M 0. c Kleine Felder µ/k B : Wir nähern coth x + x. Aus Gl. 7 erhalten wir x 3 damit M µn µ 6k B J + JJ + Nµ 3k B Für die Nullfeld-Suszeptibilität erhalten wir daraus das bekannte Curie-Gesetz M χ lim C JJ + Nµ mit C k B Große Magnetfelder µ /k B : wir nähern coth x ± für 0, damit 3 M µnjsign. 5 Für große Felder ist das Spin-System gesättigt, alle Spins sind entlang des äußeren Feldes ausgerichtet.. Reißverschlußmodell eines DNA-Moleküls 0+00 Punkte, schriftlich a Die Mikrozustände sind eindeutig festgelegt durch die Anzahl p offener Bindugnen: {α} {p} mit p 0,,,..., N. Die Energie eines Mikrozustands ist E α E p N pω. Wir berechnen die Zustandssumme, die sich mit der geschlossenen Formel für geometrische Reihen vereinfachen lässt: Z α e βeα e βn pω e βnω e βω p e βnω eβωn e βω 6 und damit b Die mittlere Zahl p offener Bindungen ist Z e βωn. 7 eβω p Z p α e βeα Z α p e βn pω 8 Der Mittelwert p kann als Ableitung der Zustandssumme dargestellt werden. Dazu erweitern wir mit ±N: p Z p Ne βn pω + N Z e βn pω Z Z βω + N 9

4 Jetzt verwenden wir das Ergebnis 7 aus a, p Z und erhalten Ne βωn + eβω e βωn e βω e βω p + N Ne βωn e βωn + eβω + N, e βω N e βωn + e βω. 0 Was passiert mit dem Anteil offener Bindungen p im Grenzfall N? Das N Verhalten hängt vom Vorzeichen von Ω ab, für positives Ω folgt e βωn 0, für negatives Ω ist e βωn e βωn 0. Damit { p lim N N, Ω > 0 0, Ω < Ensemble harmonischer Oszillatoren Punkte N unabhängige und unterscheidbare -dimensionale harmonische Oszillatoren: N p i m + mω x i. In der ersten Version des Aufgabenblatts ist im Potentialterm ein Fehler passiert, es müsste mω x i statt mωx i heißen korrigiertes Aufgabenblatt ist online. a Mikrokanonisches Ensemble im klassischen Fall: die Zustände sind charakterisiert durch Koordinaten x i und Impulse p i. Wie in der Vorlesung diskutiert ist die Entropie des mikrokanonischen Ensembles gegeben durch S k B ln ΩE weil für N- dimensionale Kugeln bei großen N der größte Anteil des Volumens an der Oberfläche sitzt. Wir bestimmen zunächst das Phasenraumvolumen ΩE: ΩE π N dx dx... dx n dp dp... dp N ΘE x i, p i 3 Wir vereinheitlichen die Variablen durch folgende Substitutionen q i { m i, i,..., N m p i N, i N +,..., N. 4 Damit wird die amiltonfunktion zu N q i, und wir sehen, dass das Integral in 3 einem Integral über eine N-dimensionale Kugel mit Radius E entspricht. Das Volumen einer n-dimensionalen Kugel ist V n πn/ R n und Γn/+ n/!. Γn/+ Damit erhalten wir ΩE π ω N dq dq... dq N ΘE N q i } {{ } πn E N N! E N N! ω N. 5

5 Wir setzen dieses Ergebnis in die Entropie ein und verwenden die Stirlingformel ln N! N ln N N: SE, V, N k B ln ΩE k B N ln E N ω + k BN. 6 Interessanterweise hängt die Entropie nicht vom Volumen ab. Die Erklärung dafür steckt im Potentialterm, der effektiv das Volumen der eilchen einschränkt. Man kann die Entropie auch mit S k B ln ΣE E und Σ dω oder ohne E de ausrechnen, im Limes N sind die Ergebnisse identisch. Das Ergebnis sieht auch etwas komplizierter aus, wenn man in 3 nicht mit π normiert. Im mikrokanonischen Ensemble ist die emperatur definiert als S E V,N. Mit 6 finden wir E k B N. 7 Die emperatur ist also gerade die Energie des Systems geteilt durch die Anzahl der Oszillatoren. b Kanonisches Ensemble im klassischen Fall: Statt dem Phasenraumvolumen suchen wir das Zustandsintegral: Z dx π N dx... dx n dp dp... dp n e βx i,p i N N dp e β π N m p dx e β m ω x }{{}}{{} πm β N/ und damit Z kb ω π βmω N/ Wir berechnen die gesuchten thermodynamischen Größen: F k B ln Z F Nk B ln k B ω S F N. 8 9 S Nk B ln k B ω + k BN 30 U F + S U Nk B 3 c V S U V,N c V Nk B 3 V,N Um die Entropien aus der mikrokanonischen, Gl. 6, und der kanonischen, Gl. 30, Rechnung zu vergleichen verwenden wir U Nk B E in 30: S Nk B ln E N ω + k BN. 33 Das stimmt mit dem Ergebnis 6 erhalten für N überein.

6 c Kanonisches Ensemble im quantenmechanischen Fall: Der amiltonoperator der -dimensionalen Oszillatoren ist Ĥ N ω ˆn i Die Zustände sind charakterisiert durch die Besetzungszahlen der harmonischen Oszillatoren {α} {n,..., n N }, die Energien sind E α i ωn i +. Die kanonische Zustandssumme faktorisiert ungekoppelte Oszillatoren, wir berechnen zunächst die Zustanssumme eines einzelnen harmonischen Oszillators mit der geometrischen Reihe: Z tr e βĥ n 0 e β ωn+/ e β ω/ e. 35 β ω ω Damit erhalten wir Z α e βeα Z N ω N. 36 Wir berechnen wieder die thermodynamischen Größen: F Nk B ln ω 37 S Nk B ln ω ω ω + Nk B coth 38 U N ω ω coth 39 ω c V Nk B ω 40 Grenzfälle: : Für hohe emperaturen findet man die klassischen Ergebnisse: U Nk B, c V Nk B. 4 0: Die quantenmechanischen harmonischen Oszillatoren haben eine Nullpunktsenergie: U ωn. 4 Die endliche Nullpunktsenergie äußert sich als Energielücke in der spezifischen Wärme: ω c V Nk B e ω k B mit einer Energielücke ω. N e /k B, 43