Dozent: Alexander Shnirman Institut für Theorie der Kondensierten Materie

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1 Sommer-Semester 2011 Moderne Theoretische Physik III Statistische Physik Dozent: Alexander Shnirman Institut für Theorie der Kondensierten Materie Di 09:45-11:15, Lehmann HS 022, Geb Do 09:45-11:15, Lehmann HS 022, Geb

2 Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Stochastische Variable X (diskret oder kontinuierlich) Zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ρ ρ i 0, ρ(x) 0 Mittelwert: erfüllt Positivität und Norm. X = x i ρ i oder i i ρ i =1, dxxρ(x) dxρ(x) =1 n-tes Moment: X n = i x n i ρ i oder dxx n ρ(x) Standardabweichung: Varianz: σ = X 2 X 2 σ 2 Unabhängige Stochastische Variable: ρ(x, y) =ρ 1 (x)ρ 2 (y)

3 Wahrscheinlichkeitstheorie 2 Binomial-Verteilung ρ N (n) = N! n!(n n)! pn q N n N n=0 ρ N (n) =(p + q) N =1!7-;!"&!"%#!"%!"$#!"$!"!#!! % ' ( ) $!!!!!$&-JH&0)^W%E?%&),-4!QTE![!6!S]9!(!6!SX_! - n = N n=0 nρ N (n) =pn σ N = n 2 n 2 = Npq Für große N gilt σ N /n 1/ N

4 Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Gauß-Verteilung aus Binomial-Verteilung für große N, pn, qn ρ N (n) = 1 σ N 2π exp 1 2 (n n) 2 σ 2 N n = pn σ 2 = Npq n X - kontinuierlich ρ(x) = 1 σ 2π exp 1 2 (x x) 2 σ 2

5 Zentraler Grenzwertsatz Wahrscheinlichkeitstheorie 4 x i - voneinander unabhängig und charakterisiert alle von der selben Verteilungsfunktion ρ(x) mitdemmittelwertx und Varianz σ 2 N Y 1 N x i i=1 für N gilt ρ(y )= 1 σ Y 2π exp 1 2 (Y x) 2 σ 2 Y σ Y = σ N

6 Wahrscheinlichkeitstheorie 5 Zentraler Grenzwertsatz: Beweis Charakteristische Funktion φ(k) =e ikx = φ(0) = 1, dφ dk dx e ikx ρ(x) ρ(x) = = ix, k=0 d 2 φ dk 2π e ikx φ(k) dk 2 k=0 = x 2,... φ(k) = n=0 (ik) n x n n! Kumulantenentwicklung φ(k) =exp n=0 (ik) n n! C n C 0 =0, C 1 = x, C 2 = σ 2 = x 2 x 2,... viel bessere Konvergenz

7 Wahrscheinlichkeitstheorie 6 z.b. für Gauss-Verteilung ρ(x) = 1 σ 2π exp 1 2 (x x) 2 σ 2 φ(k) =exp ikx + (ik)2 2 σ2 Zentraler Grenzwertsatz: Beweis N Y 1 N ρ(y )= Φ(k) = i=1 x i dx 1 dx 2...dx N ρ(x 1 )ρ(x 2 )...ρ(x N )δ dy e iky ρ(y )= Y 1 N dx 1 dx 2...dx N ρ(x 1 )ρ(x 2 )...ρ(x N )e ik N i x i P i x i k N Φ(k) = φ N

8 Wahrscheinlichkeitstheorie 7 ln Φ(k) =N ln φ k N = N ln 1+ ik N x ik N 2 x für N gilt ρ(y )= 1 σ Y 2π exp 1 2 (Y x) 2 σ 2 Y σ Y = σ N QED

9 Statistische Mechanik Klassische S.M. (etwas problematisch) Quantenmechanische S.M. (einfacher und klar)

10 Klassische Mechanik von N Teilchen Zustand von N Teilchen beschrieben durch 3N Koordinaten und 3N Impulse x =(p, q) =(p 1,...,p 3N,q 1,...,q 3N ) 6N-dimensionaler Phasenraum Γ Hamilton-Funktion H(p, q) Bewegungsgleichungen ṗ j = H q j, q j = H ẋ =(ṗ, q) - eindeutliche Funktion von x =(p, q) Trajektorien x(t) kreuzen sich nie p j

11 Erhaltungsgrößen Energie E = H(p, q) =const. 6N 1 - dimensionale Oberfläche Möglicherweise Gesamtimpuls Gesamtdrehimpuls P tot L tot

12 Gibbs-Ensemble (Gesamtheit) Gibbs-Verteilung ρ(x,t) Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum dx ρ(x) =1 Mittelwert einer physikalischen Größe Ō = dx O(x)ρ(x) dx C N d 3N pd 3N q dx und ρ - dimensionsloss C N = 1 (2π) 3N Quantenmechanisch

13 ρ(x,t) Zeitentwicklung entwickelt sich wie eine strömende Flüssigkeit d dt ρ(x,t)= ρ(x,t)+ẋ ρ(x,t)=0 t einerseits d dt V 0 dx ρ(x,t)= V 0 dx t ρ(x,t) anderseits d dt dx ρ(x,t)= V 0 ds ẋρ(x,t)= S 0 dx [ẋρ(x,t)] V 0 V 0 beliebig tρ(x,t)= [ẋρ(x,t)] aus der Hamilton- Gleichungen folgt d ẋ = 3N j=1 dt ρ(x,t)=0 q j q j + p j ṗ j = 3N j=1 q j H p j inkompressible Flüssigkeit H p j q j =0

14 Liouville-Gleichung d dt ρ(x,t)= t ρ(x,t)+ẋ ρ(x,t)=0 ẋ A = 3N j=1 q j A q j +ṗ j A p j = 3N j=1 H p j A q j H q j A p j = {H, A} i t ρ = iẋ ρ = i{h, ρ} = ˆLρ ˆLA i{h, A} Liouville-Operator

15 Stationäre Lösung der Liouville-Gleichung i t ρ = i{h, ρ} = ˆLρ i t ρ(h(x)) = 0

16 Definitionen 6N dimensionales Volumen im Phasenraum Γ mit H(x) < E wird mit Ω(E) bezeichnet Oberfläche von Ω(E) wird mit Σ(E) bezeichnet Ω(E) = dxθ(e H(x)) Σ(E) = dω(e) de = dxδ(e H(x)) Σ(E)dE - Zahl der Zustände mit Energie E<H(x) <E+ de quantenmechanisch besser definiert

17 Fundamentales Postulat der klassischen statistischen Mechanik (mikrokanonisches Ensemble) ρ(x) eq = 1 Σ(E)dE für E<H(x) <E+ de ρ(x) eq = 0 sonst Mittelwert einer physikalischen Größe 1 Ō E = Σ(E)dE E<H<E+dE dx O(x)

18 Ergoden-Hypothese Ō E = 1 Σ(E)dE E<H<E+dE dx O(x) Ō T = lim T 1 T T 0 dt O(x(t)) Ō E = ŌT

19 Reine Zustände Quantenstatistik (Hilbert-Raum-Statistik) 1)Elemente des Hilbert-Raums Ψ Ψ(t) = e i Ht Ψ(0) 2)Stationäre Zustände H Ψ n = E n Ψ n Ψ n (t) = e i E nt Ψ n 3)Basis Ψ = j c j j z.b. Ψ = n c n Ψ n j j = δ j,j orthonormierte Basis jj =1 vollständige Basis j O = Ψ O Ψ = j,j c j c j j O j

20 Reine Zustände Schrödinger vs. Heisenberg Bild Ψ S (t) = e i Ht Ψ S (0) Ψ H = Ψ S (0) = const. O S = const. Observable O H (t) =e i Ht O S e i Ht O(t) = Ψ S (t) O S Ψ S (t) = Ψ H O H (t) Ψ H i t O H(t) =[H, O H (t)]

21 Gemischte Zustände Quantenmechanische Gibbs-Gesamtheit Wahrscheinlichkeit W α, dass das System im Zustand Ψ α ist W α > 0, W α =1 α Ψ α nicht unbedingt orthonormal O = α W α Ψ α O Ψ α = Tr(ρO) ρ α W α Ψ α Ψ α Dichtematrix = Zustandsoperator Ψ α = j c αj j

22 Dichtematrix ρ α W α Ψ α Ψ α Eigenschaften: ρ jj = ρ j j, ρ = ρ Hermitisch Trρ =1 Ψ ρ Ψ 0 Ψ Positiv definit

23 Dichtematrix ρ α W α Ψ α Ψ α Ψ α nicht unbedingt orthonormal ρ = ρ Es existiert eine orthonormale Basis in der die Dichtematrix diagonal ist ρ µ W µ µµ

24 Schwankungen O 2 O 2 = Tr(ρO 2 ) (TrρO) 2 Enthält sowohl quantenmechanische als auch statistische Schwankungen ρ 2 = ρ reiner Zustand ρ 2 = ρ gemischter Zustand

25 Zeitentwicklung i t Ψ = H Ψ i t [ ΨΨ ] =H ΨΨ ΨΨ H von Neumann- Gleichung = quantenmechanische Liouville-Gleichung klassisch i t ρ =[H, ρ] i t ρ = i{h, ρ} i{h,... } 1 [H,... ] vergleich mit i t O H(t) =[H, O H (t)]

26 Fundamentales Postulat Mikrokanonisches Ensemble i t ρ =[H, ρ] stationäre Lösung ρ st = ρ(h) ρ n W n Ψ n Ψ n H Ψ n = E n Ψ n W n = ρ nn = const. für E<E n <E+ de W n = ρ nn = 0 sonst