Zur Struktur der Quantenmechanik

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1 Kapitel 1 ur Struktur der Quantenmechanik 1.1 Der quantenmechanische Hilbert Raum Linearer ustandsraum Die quantenmechanischen ustände (z.b. ψ( x,t) für 1 Teilchen) bilden einen linearen Raum. Sind ψ 1 und ψ 2 physikalisch realisierbare ustände, so ist es auch λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2, λ 1,λ 2 C (Superpositionsprinzip). Das Superpositionsprinzip gilt nur für Teilchen mit gleichen Quantenzahlen: ustände von Teilchen mit verschiedenen elektrischen Ladungen (z.b. Proton und Neutron) und von Teilchen mit ganzzahligem und halbzahligem Spin sind nicht superponierbar. Skalarprodukt Im Raum der ustände ist durch (ψ 2,ψ 1 ) = dx 3 ψ 2 ( x,t)ψ 1( x,t), (ψ,ψ) > 0, ein Skalarprodukt definiert. Es ist antilinear im ersten Argument (λψ 1,ψ 2 ) = λ (ψ 1,ψ 2 ), linear im zweiten Argument, (ψ 1,λψ 2 ) = λ(ψ 1,ψ 2 ) hermitisch (ψ 2,ψ 1 ) = (ψ 1,ψ 2 ) positiv definit (ψ,ψ) = 0 ψ = 0. Norm Mathematisch wird der Raum der ustände durch das Skalarprodukt (ψ 1,ψ 2 ) zu einem normierten Raum, mit der Definition der Norm: ψ + (ψ,ψ). 1

2 2 ur Struktur der Quantenmechanik Meistens schreiben wir für die Norm ψ von ψ auch einfach ψ. Konvergenz von Folgen Euklidischen kann man mittels der Norm die Konvergenz einer Folge {ψ n, n = 1,...} definieren: {ψ n, n = 1,...} konvergent gegen ψ, falls lim n ψ n ψ = 0. Cauchy Folgen Die Folge {ψ n, n = 1,...} heißt Cauchy Folge, falls für beliebiges ε > 0 ein N(ε) existiert, so daß ψ n1 ψ n2 < ε, für n 1,n 2 > N(ε). Vollständige Räume Falls zu eder Cauchy Folge im Raum ein Grenzelement gehört (wie im IR n ), so heißt der Raum vollständig. Der Raum der stetigen Funktionen ist nicht vollständig. Jedoch kann man zeigen (Riesz Fischer), daß der Raum der quadratintegrablen Funktionen vollständig ist. Hilbert-Raum Ein Vektorraum mit Skalarprodukt, der vollständig ist, heißt Hilbert RaumH. Dichte Untermengen Eine Untermenge des Hilbert Raumes heißt dicht inh, falls die Menge aller Grenzelemente H selbst ist. Separable Hilbert-Räume Gibt es abzählbare Untermengen, die dicht sind, so heißth separabel. Die quantenmechanischen Hilbert Räume sind separabel Operatoren Selbstadungierte Operatoren Ein selbstadungierter Operator hat reelle Eigenwerte. a = a, (a ψ 1,ψ 2 ) = (ψ 1,aψ 2 ), ψ 1,ψ 2 H, Postulat Den physikalischen Größen wie Ort, Impuls, Drehimpuls, Energie etc. entsprechen selbstadungierte Operatoren im Hilbert-Raum, und die Eigenwerte der der Operatoren bilden das Spektrum der möglichen Meßwerte. Diskrete Spektren Bei endlich dimensionalen Matrizen (wie z.b. beim Drehimpuls) ist das Spektrum diskret, d.h. es gibt nur endlich viele verschiedene Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren liegen im Hilbertraum.

3 1.1 Der quantenmechanische Hilbert Raum 3 Kontinuierliche Spektren Bei Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum sind die Eigenfunktionen nicht quadratintegrable und gehören damit im eigentlichen Sinne nicht zum Hilbertraum. Wie z.b. die des Impulsoperators, P = h i d dx, = 1,2,3, e p ( x) = ei p x/ h 2π h 3. Mathematisch läss sich das Problem der nicht-integrabilät durch einen Grenzwert-Betrachtung lösen. Man betrachtet erst das Physikalische System in einem endlichen Volumen V, mit integrablen Eigenfunktionen ei p x/ h e p ( x) =, V und lässt dann das Volumen V nach unendlich gehen. Diese Vorgehensweise wird in der Festkörperphysik eingehend diskutiert. Nicht-entartete Eigenfunktionen In der Quantenmechanik sucht man im Allgemeinen eine orthogonale Basis für den Hilbertraum welche der physikalischen Problemstellung angepasst ist, also den relevanten Observablen. Wir betrachten als erstes einen selbstadungierter Operator A Au = a u, a IR aus. Sind die Eigenwerte nicht entartet, d.h. gehört zu edem a, 1 = 1,2,..., genau ein eindimensionaler Eigenvektorraum mit Eigenfunktion u, so ist man fertig: Die Eigenfunktionen u bilden eine orthogonale Basis. Entartete Eigenfunktionen Im allgemeinen werden die Eigenwerte eines Operators A edoch entartet sein. Dann sucht man einen zweiten, physikalisch relevanten, Operator B, der mit A kommutiert, AB = BA. Man kann dann die Eigenvektoren von B so wählen, daß diese gleichzeitig Eigenvektoren von A sind, Bu l = b l u,l, mit Au,l = a u,l, l. Im allgemeinen werden zu einem Eigenwert a von A verschiedene b l gehören, mit Eigenvektoren u,l, d.h. die ursprüngliche Entartung wird reduziert. Vollständiger Satz von kommutierenden Observablen Man setzt das Verfahren so lang fort, bis man einen Satz (A,B,...) von selbstadungierten Operatoren mit folgenden Eigenschaften hat: Je zwei der selbstadungierten Operatoren kommutieren miteinander. Alle diese selbstadungierten Operatoren haben gemeinsamen Eigenvektoren u,l,.... Jeder Eigenvektor u,l,k,... ist einendeutig durch den Satz (a, b l, c lk,... ) von Eigenwerten bestimmt.

4 4 ur Struktur der Quantenmechanik Verschiedene u,l,... sind zueinander orthogonal und bilden ein vollständiges System, d.h. edes ψ H läßt sich nach den u α entwickeln: ψ = α wobei α ein Multi Index ist. c α u α, c α = (u α,ψ), α = (,l,...), Man nennt die {A, B,...} einen vollständigen Satz von kommutierenden Observablen. Für das Wasserstoff-Atom ist vollständigen Satz kommutierender Variablen. A = H, C = L 2, D = L 3, E = S 3 Unterräume Sei M H ein Unterraum des Hilbertraumes H und M das orthogonale Komplement von M, (ψ M,ψ M ) = 0, ψ M M, ψ M M. Wie M ist auch M ein Unterraum vonh,d.h. ein separabler Hilbertraum, d.h. abgeschlossen und vollständig. Jeder Vektor ψ H läßt sich eindeutig in zwei Komponenten ψ M und ψ M zerlegen: ψ = ψ M + ψ M, ψ M M, ψ M M. Proektionsoperatoren Der Proektionsoperator P M auf den Unterraum M wird via P M ψ = ψ M ψ H definiert. Somit gilt P 2 ψ = PPψ = Pψ M = ψ M, Pψ M = 0. Umgekehrt proeziert 1 P M auf M. Proektionsoperatoren P haben folgende Eigenschaften: Idempotent P 2 = P Selbstadungiert P = P Seien ψ 1, ψ 2 beliebig, dann gilt (ψ 2,P M ψ 1 ) = (ψ 2M + ψ 2M,ψ 1M ) = (ψ 2M,ψ 1M ) = (P M ψ 2,ψ 1 ). Die Eigenwerte sind 1 und 0 Sei Pψ = λψ, dann ist P 2 ψ = λ 2 ψ = Pψ = λψ, λ 2 = λ, λ = 1,0, da P 2 = P. Die Eigenvektoren zu λ = 1 sind die Elemente von M, die zu λ = 0 die in M.

5 1.1 Der quantenmechanische Hilbert Raum 5 Kommutationsregeln wei Proektionsoperatoren auf die Unterräume M 1 und M 2, P 1 und P 2, kommutieren i.a. nicht. Falls M 1 orthogonal zu M 2 ist, dann hat man edoch P 1 P 2 = P 2 P 1 = 0. Endlicher Vektorraum Als Beispiel betrachten wir mit H einen n dimensionaler Vektorraum. A sei eine hermitesche Matrix mit nicht entarteten Eigenwerten a und Eigenvektoren Das Skalarprodukt ist Dann gilt u = u + u k = c 1 ( ). c n ( ), ) (c 1 ( ),...c n ( ) = c i ( )c i(k) = δ k. i c i ( ) : komplex. c 1 (k). c n (k) P = u u + (keine Summation über ) = c 1 ( ). c n ( ) ) (c 1 ( ),...c n ( ) c 1 ( )c 1 ( ) c 1( )c n ( ).. c n ( )c 1 ( ) c n( )c n ( ) da Ferner P u k = (u u + ) u k = u (u + u k) = δ k u. P P k = u u + u k u + k = u kδ k u + k = δ ku u + = δ k P. Ist a entartet, mit zugehörigen orthonormalen Eigenvektoren u,s, s = 1,...,m, dann lautet der Proektionsoperator auf den Eigenvektorraum P = m u s u + s. s=1

6 6 ur Struktur der Quantenmechanik Spektraldarstellung Es sei A ein selbstadungierter Operator mit den Eigenwerten a diese können entartet sein und zugehörigen Eigenvektoren u, die einen Unterraum M aufspannen. Es seien P die Proektionsoperatoren auf die Unterräume M mit Man nennt dann P P k = P k P = δ k P ; P = 1. A = a P Au = a u die Spektraldarstellung von A. Operatorfunktionen In der Spektraldarstellung ist ein Operator diagonal und man kann eine Funktion eines Operators A durch definieren. f(a) = f(a )P Die Dirac sche Notation Die Spektraldarstellung Au = a u u + u k = δ k u u + = P A = a P P = 1, gilt für alle selbstadungierten Operatoren, auch für solche mit kontinuierlichem Spektrum. Dirac hat in diesem usammenhang eine formale Schreibweise entwickelt, die diesem nichttrivialen Sachverhalt Rechnung tragen soll: Man bezeichnet mit u a > u + < a u + u k < a a k > u u + = a >< a A = a a >< a a >< a = 1 (ψ,aψ) = < ψ A ψ >. < a ( bra ) den zu a > ( ket ) dualen Vektor und < a a > als bracket.

7 1.1 Der quantenmechanische Hilbert Raum 7 Der ustand a > ist damit Basis-unabhängig. Spektraldarstellung Die Orthonormierung für diskrete und kontinuierliche Eigenwerte a und a ist < a i a > = δ i, ; < a a > = δ(a a). Ein selbstadungierter Opertor A kann sowohl ein kontinuierliches wie ein diskretes Spektrum haben, mit der Spektraldarstellung A = da a a >< a + a a >< a. }{{} }{{} kontinuierliches Spektrum diskretes Spektrum Für das Wasserstoffatom sind die gebundenen ustände mit E < 0 Teil des diskreten Spektrums, die Streuzustände mit E 0 bilden das kontinuierliche Spektrum. Ortsdarstellung Wir betrachten den (1-dimensioalen) Ortsoperator Q: Q x > = x x >, Q = < x x > = δ(x x), < x Q x > = xδ(x x). + dx x x >< x, Die Entwicklung eines ustandes ψ > sieht dann so aus: ψ > = dxψ(x) x >. < x ψ > = dxψ(x) < x x > = ψ(x ). Die Wellenfunktione ψ(x) =< x ψ > entspricht also der Orts-Darstellung von ψ. Man spricht auch von der Schrödinger Darstellung des ustandes ψ >. Impulsdarstellung Für eden ustand p > gilt ( p > = dx x >< x ) p > = dx < x p > x >. Sei nun p > Eigenvektor des Impulsopertators P. Es gilt < x P p > = p < x p >, Pψ(x) = h i d dx ψ(x), < x p > = c eixp/ h. Die Normierungskonstante bestimmt man mit Hilfe von R dp p > = dp < x p > = c 2 dp e i p(x x )/ h = c 2 2π hδ(x x ),

8 8 ur Struktur der Quantenmechanik mit c = (2π h) 1/2. Somit haben wir < x p > = 1 2π h e ixp/ h. Entwickelt man die Basisvektoren p > nach den Basisvektoren x >, so sind die ebenen Wellen < x p > die Entwicklungskoeffizienten. Energiedarstellung Die Basisvektoren E >, die Eigenvektoren von H, lassen sich als Linearkombination der x > darstellen, mit < x E >= u E (x) als Entwicklungskoeffizienten: E > = dx < x E > x > = dx u E (x) x > Die u E (x) sind die Matrix Elemente einer unitären Transformation von der Basis { x >} zu der Basis { E >}, denn aus < x x >= δ(x x) folgt < E E > = dx dxu E (x ) < x u E (x) x > = dx dxu E (x )u E (x)δ(x x) = dxu E (x)u E(x) = δ(e E). In dieser Energie-Darstellung, auch Heisenberg-Darstellung genannt, ist der Hamilton-Operator nach Konstruktion diagonal: < E H E > = E < E E > = Eδ(E E). Matrixelemente in der Energiedarstellung Die Matrixelemente des Ortsoperators in der Energiedarstellung sind durch < E Q E > = dx < E Q x >< x E > = dxx < E x >< x E > = dxu E (x)xu E(x) gegeben, die des Impulsoperators durch < E P E > = dpũ E (p) pũ E(p) ũ E (p) = .

9 1.2 Die Dichte Matrix Die Dichte Matrix Statistische Überlagerung von uständen In vielen Fällen z.b. bei atomaren Teilchen in einem Strahl, bzw. bei der Thermodynamik von quantenmechanischen Systemen weiß man nicht, in genau welchem ustand sich ein System befindet, sondern man kann nur gewisse Wahrscheinlichkeiten dafür angeben, das System in einem bestimmten ustand anzutreffen. ustände und Wahrscheinlichkeiten Es sei A = (A 1,...,A g ) ein vollständier Satz von kommutierenden, selbstadungierten Operatoren, { u >, = ( 1,..., g )} die Eigenvektoren hierzu, P die Proektionsoperatoren auf die von den u aufgespannten, 1 dimensionalen Unterräume und w, w = 1 die Wahrscheinlichkeit dafür, das System im ustand u zu finden. Dichte-Operator Der Dichte Operator ρ = w P = w u > = w u >, = δ k w. Die u > sind also Eigenfunktionen von ρ zum Eigenwert w. Die Dichte-Matrix ist normiert, Sp(ρ) = w = 1 und aus w 2 w folgt Sp(ρ 2 ) = w 2 1. Reine und gemichte ustände Falls das System sich mit Sicherheit in dem ustand u befindet, d. h. falls w = 1, w k = 0, k, so ist ρ Proektionsoperator: ρ = P, ρ 2 = ρ. Umgekehrt folgt aus ρ 2 = ρ und Sp(ρ) = 1, dass ρ Proektionsoperator auf einen 1 dimensionalen Unterraum ist. Man sagt dann, das System befinde sich in einem

10 10 ur Struktur der Quantenmechanik reinen ustand, falls ρ 2 = ρ und in einem gemischten ustand, falls ρ 2 ρ. Die Dichte Matrix eines reinen ustandes ässt sich immer als ρ = ψ >< ψ, ρ 2 = ψ > < ψ ψ > < ψ = ψ >< ψ }{{} =1 schreiben, mit einem geeigneten normierten ustand ψ >. Ein Beispiel für einen gemischten ustand ist ρ = ψ >< ψ + φ >< φ, mit ψ > c φ >. Boltzman-Verteilung Prominentes Beispiel für eine Dichte-Matrix ist der Fall eines quantenmechanischen Systems in einem Wärmebad der Temperatur T. Die einzelnen ustände sind dann entsprechend ihres Boltzmann-Gewichtes besetzt: ρ(h,t) = e H/kT Sp(e H/kT ) = a > e a /kt i e a i/kt < a. Erwartungswerte Der Erwartungswert < A >ρ eines Operators A in einem durch die Dichte-Matrix ρ beschriebenen Systems ist Also < A >ρ = k a k w k = a k < a k ρ a k > = < a k ρa a k > = Sp(ρA). k k < A >ρ = Sp(ρA) = Sp(Aρ) Beispiel: Spin-1/2-Teilchen Wir betrachten einen Strahl von Teilchen mit Spin h/2. Solch ein System besteht in der Regel aus N unabhängig voneinander ( inkohärent ) erzeugten Teilchen, von denen für edes einzelne der Spin durch eine 2 komponentige Wellenfunktion χ = c + χ + + c χ beschrieben wird. Die allgemeinste hermitesche 2 2 Matrix mit der Spur 1 hat die Form ρ = 1 2 ( 1+P3 P 1 ip 2 P 1 + ip 2 1 P 3 ) = 1 2 ( ) 1+ P σ

11 1.2 Die Dichte Matrix 11 wobei P = (P 1,P 2,P 3 ) der Polarisationsvektor ist und die σ die Pauli Matrizen sind, ( ) ( ) ( ) i 1 0 σ x =, σ 1 0 y =, σ i 0 z =, 0 1 mit σ 2 i = 1, σ i σ + σ σ i = 2δ i, wobei letzters die Anti-Kommutationsrelationen für Fermionen sind. Reine ustände Es gilt ( P σ und damit ) 2 = i Mit Sp(σ ) = 0 erhalten wir somit P 2 i σ 2 i + i< ρ 2 = 1 4 ( ) P i P σi σ + σ σ i = Pi 2 = P 2 i ( ) 1+ P P σ. Sp ( ρ 2) = 1 2 (1+ P 2) ( ) Sp(ρ 2 ) 1 ( ) P 2 1. Für die Darstellung der Dichte-Matrix muss also der Polarisationsvektor P innerhalb des Einheitskreises liegen und auf dem Einheitskreis, P 2 = 1, ρ 2 = ρ für einen reinen ustand. Polarisierung Experimentell ist man an den Erwartungswert < n S > ρ des Spinoperators S entlang einer Polarizierungachse n interessiert, wobei n = 1 ist. Er läßt sich zu < n S > ρ = h n P S 2 = 1 2 σ berechnen. n P heißt der Polarisationsgrad des Strahles in Richtung n. Experimentell von Relevanz sind u.a. die folgende Fälle: P = 0: der Strahl ist bezüglich eder Richtung unpolarisiert. P = n: der Strahl befindet sich in einem reinen ustand und ist vollständig in Richtung n polarisiert. P = (0,0,P 3 ): Strahl ist nur in 3 Richtung polarisiert; falls P 3 = 1, dann handelt es sich um einen reinen ustand, alle Spins zeigen nach oben. Im allgemeinen hängt ρ von den 3 reellen Parametern P i ab, d.h. man braucht 3 unabhängige Messungen, um ρ zu bestimmen.

12 12 ur Struktur der Quantenmechanik 1.3 Unschärfe Relationen Mittlere Schwankungen Für ein quantenmechanisches System, welches durch eine Dichte-Matrix ρ = w u >) 2 > = < A 2 > < A > 2, B = < (B ) 2 > = 2 interessiert. Sowohl A = A und B = B seien Observable, also selbstadungiert. Dann ist auch AB+BA selbstadungiert und reel, i(ab BA) selbstadungiert und reell. Unschärferelation für reine ustände Aus der Schwarz schen Ungleichung folgt < ψ 1 ψ 1 >< ψ 2 ψ 2 > < ψ 1 ψ 2 > 2 = 2 = 1 2 i 2 1 2 . Ersetzt man A und B durch A < A >, B , 2 so erhält man mit ] 2 u > ] 2 u > 1 2 2 die Unschärfe-Relation für einen reinen ustand. Gemische ustände Wir fassen u (A) = w ] 2 u >

13 1.3 Unschärfe Relationen 13 und u (B) = w ] 2 u > als Komponenten der (unendlich dimensionalen) Vektoren u (A) = (u (A) 1,u(A) 2,...), u(b) = (u (B) 1,u(B) 2,...) auf, auf die man ebenfalls die Schwarz sche Ungleichung u (A) u (A) u (A) u (A) 2, A B anwenden kann. Man erhält ( )( u (A) u (A) = w ] 2 u > und schließlich mit k w k ] 2 u k > ( w k < uk [A < A >] 2 u k > ] 2 u k > ) 1/2 k w k , k 2 ) ( A)( B) 1 2 < [A,B] > die allgemeine Unschärfe-Relation für zwei Operatoren im ustand ρ. Heisenberg sche Unschärferelation Für A = P und B = Q ist [P,Q] = h/i, also ( P)( Q) h 2. Minimale Unschärfe Wellenfunktionen ψ(x), für welche Ort- und Impuls zugleich maximal scharf sind, nennt man ustände minmaler Unschärfe. Beispiele sind ψ(x) e ip 0x/ h e γ(x x 0) 2 /(2 h), d.h. die Gaußschen Wellenpakete. Sie haben die Eigenschaft ( Q)( P) = h 2.

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