1.4. Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation

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1 1.4. Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation Die Heisenbergsche Unschärferelation Wie kann der Welle-Teilchen-Dualismus in der Quantenmechanik interpretiert werden? gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden. Wahrscheinlichkeitsamplitude Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation erfordert: Normierung der Wellenfunktion Man schreibt das Wellenpaket als: Wahrscheinlichkeitsamplitude Wahrscheinlichkeitsverteilung f. Impuls Normierung 92

2 und sind Fouriertransformierte voneinander. Vollständig äquivalente Beschreibung des Zustandes eines physikalischen Systems durch oder Ortsraum (-bild) Impulsraum (-bild) Aus den Eigenschaften der Fouriertransformation folgt: Mit den Wahrscheinlichkeitsverteilungen können Mittelwerte der Momente und berechnet werden (hier: Beispiel eindimensionaler Fall) Beispielsweise ergibt sich für : konstant bei freiem Teilchen 93

3 oder für die Varianz: Konstante > < 0 konstant bei freiem Teilchen Die obige Gleichung beschreibt das Zerfließen eines Wellenpaketes. Zahlenbeispiel: Elektron mit nach 1 Sekunde Masse von und nach Jahren Das Zerfließen ist für makroskopische Objekte vernachlässigbar. 94

4 Aus den Eigenschaften der Fouriertransformation folgt unmittelbar für die Varianz Und : Heisenbergsche Unschärferelation Das Gleichheitszeichen gilt für Gaußsche Wellenpakete! Einem Teilchen können nicht gleichzeitig ein genau definierter Ort und ein genau definierter Impuls zugewiesen werden! Breite eines Wellenpaketes im x- und p-raum für Gaußsches Paket (links) und Rechteckpaket (rechts) 95

5 Unschärferelation und Messung Ortsmessung mit einer Blende: S Schirm Zuordnung einer de Broglie Wellenlänge: Beugungserscheinung: Bemerkung: Man kann natürlich im Auftreffpunkt S p über den Impulsübertrag auf den Schirm messen, nicht aber S und p beliebig genau voraussagen, bevor das Teilchen aufgetroffen ist. 96

6 Ortsmessung mit einem Mikroskop: Impulsübertrag in x-richtung nach der Streuung von einem Photon: Ortsauflösung nach Rayleigh: somit d.h. nach der Detektion des Photons hat das Teilchen eine Orts/Impulsunschärfe, die der Heisenbergschen Unschärferelation genügt! Ähnliche Überlegungen gelten für alle anderen experimentellen Konfigurationen. 97

7 Messprozess und Komplementarität Wellenfunktion vor der Messung Messung (z.b. von r) Wellenfunktion nach der Messung Unmittelbar nach der Messung ist r genau bekannt, aber i.a. ist dann auch Die Messung der zu r komplementären Variablen p verändert r zwangsläufig. Ergebnisse von Beobachtungen, die unter verschiedenen experimentellen Bedingungen gemacht werden, können nicht notwendig in einem einheitlichen Bild zusammengefasst werden. Ursache: Nichtvertauschbarkeit der Operatoren x und p Theorielehrbücher Fragestellung: Was bedeutet die Wellenfunktion wirklich? Ist die Beschreibung der Naturvorgänge durch die Quantentheorie vollständig? Lassen sich die statistischen Aussagen der Quantentheorie durch verborgene Parameter erklären? 98

8 Welle-Teilchen-Dualismus im Licht der Komplementarität Das Doppelspaltexperiment: x p 0 d einfallende Teilchen Doppelspalt D Photoplatte oder Kamera Welle- und Teilcheneigenschaft sind zwei komplementäre Aspekte, die bei unterschiedlichen Versuchsanordnungen zu Tage treten. Impulsübertrag auf den Spalt: Damit noch Interferenzstreifen sichtbar sind muss gelten: nicht möglich! Welcher-Weg-Information zerstört die Interferenz! 99

9 Energie-Zeit-Unschärfe Eine Fourierbeziehung besteht auch zwischen der Zeit und der Frequenz. Zeitlicher Verlauf einer Welle Spektrum Daraus lässt sich mit die Beziehung ableiten. E und t sind keine komplementären Größen! Die Beziehung verknüpft die Variation der dynamischen Variablen E(t) mit einer für die Veränderung charakteristischen Zeit Δt. Wichtige Anwendung: Breite der Energieniveaus nicht stationärer Zustände, z.b. von angeregten Zuständen im Atom: Natürliche Lebensdauer z.b. bei 100

10 1.5. Grundprinzipien der Quantenmechanik In a nutshell und in der Formulierung mit Wellenfunktionen Physikalische Größen Der Zustand eines physikalischen Systems ist durch die Wellenfunktion vollständig bestimmt. Jeder physikalischen Grösse kann eine Observable zugeordnet werden. ist ein linearer, hermitescher Operator. 101

11 Der Erwartungswert der Observablen ist hermitescher Operator! Observablen kommutieren nicht notwendigerweise. Zum Beispiel gilt für den Orts- und Impulsoperator: Nichtkommutivität führt zu einer Unschärfebeziehung: 102

12 Messungen Für die Eigenfunktion eines Operators zum Eigenwert gilt: Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell. Die Messung einer Observablen zu einem Zeitpunkt t ergibt den Wert a mit Sicherheit dann und nur dann, wenn sich die Wellenfunktion in dem Eigenzustand befindet. Ergibt die Messung einer Observablen den Wert a, so befindet sich das System unmittelbar Nach der Messung im Eigenzustand. Projektion Die Wahrscheinlichkeit, für eine Observable den Wert a zu messen, wenn sich das System Im Zustand befindet ist: 103

13 Der Erwartungswert der Variablen für ein System im Zustand ist: Zeitentwicklung Die Zeitentwicklung der Wellenfunktion beschreibt die Schrödingergleichung: Die Zeitentwicklung eines stationären Zustandes ist: mit und 104