Vorlesungsskript Prof. Nierste, SS Quantenmechanik I. 22. April zuletzt aktualisiert am 24. August 2009

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1 Vorlesungsskript Prof. Nierste, SS 009 Quantenmechanik I Florian Keller Tobias Mayer. April 009 zuletzt aktualisiert am 4. August 009

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe Ursprung der Quantenphysik Zustände, Observable, Operatoren Ort, Impuls, Energie Tensorprodukt Zeitentwicklung Teilchen im Potenzial 50.1 V = 0 (freies Teilchen) Kastenpotential = Potentialtopf Harmonischer Oszillator Drehungen, Drehimpuls, Spin Drehungen und ihre Erzeuger Eigenwerte des Drehimpulsoperators Wasserstoffatom Zentralpotentiale Wasserstoffatom Zeitabhängige Störungstheorie Nicht entartete Störungstheorie Entartete Störungstheorie Anwendung: Feinstruktur des Wasserstoffspektrums Streutheorie 103 3

4 Literatur J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics H. Mitter: Quantentheorie A. Messiah: Quantenmechanik 1, C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe: Quantenmechanik 1, F. Schwabl: Quantenmechanik Quantenmechanik für Fortgeschrittene G. Münster: Quantentheorie Welcome, my friends, to the show that never ends. (Emerson, Lake and Palmer) Wenn Sie die Quantenmechanik nicht schaffen, können Sie immernoch Diplomingenieur werden. (Nierste) 4

5 1 Grundbegriffe Die klassische Physik beschreibt folgende Phänomene nicht korrekt: a)... in der Physik makroskopischer Systeme - Energieverteilung der Schwarzkörperstrahlung - spez. Wärme bei niedrigen Temperaturen - Kondensation - Suprafluodität - Kohäsion von Festkörpern und Flüssigkeiten - Gitterschwingungen (Phononen) - el. Leitfähigkeit (Normal-, Halb-, Subpraleitung) - Ferromagnetismus b)... in der Atom- und Molekülphysik - Größe und Stabilität der Atome - Ladungsverteilungen - Spektren - Wechselwirkung mit Licht (z.b. Photoeffekt) - Molekülschwingung - chem. Bindungen (z.b. van-der-waals-bindung) c)... in der Kernphysik - Größe und Stabilität der Kerne - Wechselwirkung von γ-strahlen der Kerne - radioaktiver Zerfall - Kernspaltung und -fusion d)... in der Elementarteilchenphysik - Masse, Ladung, Drehimpuls, magn. Moment der Elementarteilchen - Wechselwirkung mit Strahlung (z.b. Comptoneffekt) - Streuung und Zerfall - Teilchenerzeugung = Die Quantenmechanik bildet die Grundlage des Verständnisses dieser Phänomene. 5

6 1.1 Ursprung der Quantenphysik 1 Grundbegriffe 1.1 Ursprung der Quantenphysik 1901 Max Planck: Schwarzkörperstrahlung E = h ν = ω mit = h π h ist das Plancksche Wirkungsquantum: h 6, Js = ev s (1) 1905 Einstein: Deutung des Photoeffekts (1886 H. Hertz und W. Hallwachs, Karlsruhe) E = h ν W Die Energie E ist unabhängig von der Lichtintensität I. W ist die Austrittsarbeit. Interpretation: Lichtquant = Lichtteilchen = Photon mit Energie 194 Compton-Effekt Impuls p der Photonen: E = h ν I Zahl der Photonen spez. Relativitätstheorie: 0 = mc = E p c = c k = ω = E = p c Vermutung: p = k mit k, dem Wellenzahlvektor () p γ p γ Intensität abh. von Streuwinkel p e p e E γ E γ E γ + E e = E γ + E e p e + p γ = p e + p γ, wobei p e = 0 und E e = mc klass. Physik: Elektron wird kontinuierlich beschleunigt, E (aus Dopplereffekt) wächst mit der Zeit. heute: z.b. 400 Photonen pro cm 3 im Weltall aus kosmischer Hintergrundstrahlung 6

7 1 Grundbegriffe 1.1 Ursprung der Quantenphysik 193 L-V de Broglie Hypothese: Wellennatur der Teilchen: Teilchen mit Impuls p hat Wellenzahlvektor k p = k also λ = h p λ 1, E/eV Å (de Broglie-Wellenlänge) (nichtrel. Teilchen) 197 Davidson, Gerner: Streuung von e an Einkristall, Laue-Diagramm 198 G. P. Thomson, Rupp: Debye-Scherrer 1905 Rydberg-Ritz-Formel für Spektrallinien des H-Atoms ( 1 ν = R n 1 ) Æ m mit n, m Æ, m > n R ist die Rydbergkonstante 1913 N. Bohr: Energie-Quantisierung n E n = h R n Bohr-Sommerfeld-Quantisierung: klass. Bahn des e um Atomkern, Hamiltonfunktion H(p, q) = const. Annahme: Γ p dq = n h Ad-hoc-Quantisierung n = 1,,..., ; Γ ist eine Bahn im Phasenraum 7

8 1. Zustände, Observable, Operatoren 1 Grundbegriffe 1. Zustände, Observable, Operatoren klass. Physik } Welle Teilchen QM Zustand Photon mit Wellenzahlvektor k und Polarisation ε, wobei { } x- Richtung entspricht. y- { } ε = εx der Polarisation in ε = ε y Zustand: k, ε (3) Durch die Parameter ist das Photon vollständig charakterisiert: z.b. p = k, E = c k Betrachte zunächst nur die Polarisation Doppelbrechender Kristall: Kalkspat ε x ε y unpol. Licht Polarisationsfilter P ϕ Polarisiert in Richtung e x cosϕ + e y sin ϕ. P x := P ϕ=0 P y := P ϕ= π Beobachtung: Intensität ist bei B gegenüber A um cos ϕ abgeschwächt = klass. Wellenbild. Teilchenbild: Könnte die Photonenenergie abgeschwächt sein? = Nein E = h ν ist gleich. 8

9 1 Grundbegriffe 1. Zustände, Observable, Operatoren Statistische Interpretation Die Wahrscheinlichkeit, dass ein in ϕ-richtung polarisiertes Photon den Filter P x passiert ist cos ϕ. Kalkspat: ε x ε ε y Komponentenzerlegung: ε = α ε x + β ε y (4) math. Beschreibung: Zustände bilden einen komplexen Vektorraum H. Polarisationszustände dim H = Zustandsvektoren nennt man auch Kets. ε ϕ = Zustand eines in e x cosϕ + e y sin ϕ-richtung linear polarisierten Photons. Experiment zur statistischen Interpretation der QM D x Photon Detektoren ε D y Beobachtung: ε = cosϕ ε x + sinϕ ε y (5) Es klickt entweder D x oder D y. Welcher Detektor anspricht ist nicht vorhersehbar. Wiederholt man das Experiment oft, so findet man, dass bei N Versuchen D x etwa N cos ϕ-mal und D y etwa N sin ϕ-mal anspricht. Die Polarisationsfilter und der Kalkspatkristall vermitteln Abbildungen H H, z.b. Man schreibt: P x : ε ϕ := cosϕ ε x + sin ϕ ε y cosϕ ε x (6) P x ε ϕ := P x ε ϕ = cosϕ ε x (7) und nennt P x einen Operator auf dem Vektorraum H. { } Pϕ ε P ϕ : x = cosϕ ε ϕ P ϕ ε y = sin ϕ ε ϕ (8) 9

10 1. Zustände, Observable, Operatoren 1 Grundbegriffe check: P ϕ ε ϕ (6) = P ϕ [cosϕ ε x + sin ϕ ε y ]? = cosϕ P ϕ ε x + sin ϕ P ϕ ε y (9) (8) = cos ϕ ε ϕ + sin ϕ ε ϕ = ε ϕ (10) = (9) macht Sinn = P ϕ ist ein linearer Operator. Allgemein definieren wir für (zunächst) dim H = N < : 1. Skalarprodukt: Abb: ψ, χ H ψ χ mit: ψ λ 1 χ 1 + λ χ = λ 1 ψ χ 1 + λ ψ χ mit λ 1, λ (11) λ 1 ψ 1 + λ ψ χ = λ 1 ψ 1 χ + λ ψ χ (1) ψ ψ = { 0 für } ψ = 0 > 0 für ψ 0 ψ = ψ ψ Norm von ψ (13) Gilt ψ χ = 0, so heißen ψ und χ zueinander orthogonal. χ ψ = ψ χ. Orthonormalbasis (ONB) { e 1,..., e N } e i e j = δ ij (14) 3. linearer Operator A Abb: ψ H A ψ = A ψ H mit A λ 1 ψ 1 + λ ψ = λ 1 A ψ 1 + λ A ψ (15) 4. Zu A hermitesch konjungierter oder adjungierter Operator A für alle χ, ψ H. χ A ψ = χ A ψ =: A χ ψ = ψ A χ 5. Ein hermitescher oder sebstadjungierter Operator A ist ein Operator, der A = A erfüllt. (17) 6. Eigenket oder Eigenvektor von A ψ λ heißt Eigenket oder Eigenvektor zum Eigenwert λ von A, wenn (18) A ψ λ = λ ψ λ λ 10

11 1 Grundbegriffe 1. Zustände, Observable, Operatoren gilt. 7. Existiert ein Operator A 1 so, dass A 1 A ψ = A A 1 ψ = ψ (19) für alle ψ H gilt, so ist A invertierbar, und es heißt A 1 der zu A inverse Operator. 8. Gilt U 1 = U (also U U = U U = 1), so heißt U unitär. U χ U ψ = χ U U ψ = χ ψ 9. Matrixdarstellung Betrachte ONB { e 1,..., e N }: a ij := e i A e j 1 < i, j < N (0) definiert a N N die Matrixdarstellung von A bezüglich { e 1,..., e N }. Wiederholung Zustände (z.b. k, ε ) bilden komplexen Vektorraum H Operatoren Abbildungen H H Skalarprodukt ψ χ Eigenket A ψ λ = λ ψ λ Matrixdarstellung a ij = e i A e j Eigenschaften a) χ ψ = ψ χ (1) b) Dreiecksungleichung χ + ψ χ + ψ () Gleichheit für ψ, χ linear abhängig Schwarz sche Ungleichung ψ χ ψ χ (3) c) Mit A und B ist auch λ 1 A + λ B ein linearer Operator, wobei (λ 1 A + λ B) ψ := λ 1 Aψ + λ Bψ 11

12 1. Zustände, Observable, Operatoren 1 Grundbegriffe d) Für A B, definiert durch (A B) ψ = A Bψ gilt, i.a. e) Mit der Basiszerlegung gilt wobei c = c 1.. c N f) Aus (5) folgt: d = χ A ψ = d 1. d N AB BA ψ = N c n e n n=1 χ = N d k e k N k,n=1 a 1 ist Matrixdarstellung von A 1 a ist Matrixdarstellung von A k=1 (4) d kc n e k A e n } {{ } = d ac (5) a kn a b ist Matrixdarstellung von A B l 1 mit ψ λ = N l n e n in (18) ist. EV von a zum Eigenwert λ n=1 g) Unitärer Basiswechsel U U = 1 e i = U e i e i e j = Ue i Ue j = e i U }{{} U e j = e i e j = δ ij 1 { e 1,..., e n } ist auch ONB l N Wegen f) haben hermitesche Operatoren A die selben Spektraleigenschaften wie hermitesche N N Matrizen (i) Es gibt ONB aus Eigenkets { e 1,..., e n } (ii) Alle Eigenwerte λ i sind reell Eigenschaft (i) schreibt man üblicherweise als j=1 A = A e i = λ i e i (6) N λ j e j e j (7) j=1 e (j) Matrix a = N λ j e (j) e (j), wobei e (j) = 1. EV zu a Dabei ist e (j) N P j = e j e j (8) 1

13 1 Grundbegriffe 1. Zustände, Observable, Operatoren ein Projektionsoperator. P j ψ = e j ψ e j = ψ e j e j ψ e j P j = e j e j e j e j = e j e j = P j P j = P j, wie aus der Matrixdarstellung P = j-te Zeile [α ψ χ ] = α χ ψ für α (9) Zuordnung Entsprechung im n ket ψ bra ψ (30) Spaltenvektor c Zeilenvektor c aus dem englischen bra(c)ket = Klammer Aus (6) und (8) finden wir für unsere Polarisationsoperatoren P ϕ = P ϕ, P ϕ = P ϕ P ϕ ist Projektor cosϕ ε x ε ϕ = cosϕ ε x + sin ϕ ε y Photonen P x P ϕ P ϕ präpariert Photonzustand ε ϕ mit Polarisation ε ϕ, P x misst die x-komponente der Polarisation von ε ϕ. Statistische Interpretation 13

14 1. Zustände, Observable, Operatoren 1 Grundbegriffe Wahrscheinlichkeit, dass für ε ϕ die Polarisation P x gemessen wird W x = cos ϕ (7) = ε ϕ ε x (1) = ε ϕ ε x ε x ε ϕ = ε ϕ P x ε ϕ (31) wobei die Normierung ε ϕ ε ϕ = 1 verwendet wurde. Ersetzt man P x durch P y, so findet man W y + W x = 1, was in P x + P y =½und begründet ist. Messpostulate der Quantenmechanik W y = sin ϕ = ε ϕ P y ε ϕ (3) P x P y = P y P x = 0 (33) i) Observable (= messbare phsikalische Größe) werden durch selbstadjungierte Operatoren beschrieben. ii) Wiederholt man eine Messung mehrfach an im Zustand ψ präpariertes Teilchen, so ist der Mittelwert der durch den Operator A beschriebenen Observable durch den Erwartungswert von A im Zustand ψ W = ψ A ψ ψ ψ (34) gegeben. iii) Die statistische Varianz der wiederholten Messungen ist σ = ψ (A W½) ψ ψ ψ = ψ A ψ W ψ A ψ + W ψ ψ ψ ψ = ψ A ψ ψ A ψ ψ ψ (35) Die Standardabweichung σ := σ heißt Unschärfe von A im Zustand ψ Kurzschreibweise ψ A ψ =: A σ =: A (36) ψ ψ Im Fall der Polarisation P x sind die möglichen Messwerte 0 (kein Ansprechen des Detektors) und 1 (Detektor spricht an) Erwartungswert P x ε ϕ P x ε ϕ = cos ϕ (37) 14

15 1 Grundbegriffe 1. Zustände, Observable, Operatoren Unschärfe ϕ = 0 P x = 0 ε ϕ=0 = ε x ϕ = π P x = 0 ε ϕ= π y P x = ε ϕ P x ε ϕ cos 4 ϕ = cos ϕ cos 4 ϕ = cos ϕsin ϕ = 1 4 sin (ϕ) (38) } Zustand mininmaler Unschärfe ( EV von P x zum EW { 1 0}) ϕ = π 4 = P x = 1 Zustand maximaler Unschärfe Zirkular polarisierte Photonen ε L ε R Quarzkristall linkshändiges Photon: ε L = 1 ε x + i ε y (39) rechtshändiges Photon: ε R = 1 ε x i ε y (40) Orthogonal: ε R ε L = 1 ε x + i ε y ε x + i ε y = 1 ε x ε x + i ε y ε y = 0(4) Operatoren: } P L = ε L ε L P R = ε R ε R { } links- Polaristation bzw. präpariert rechts- strahl. Basiswechsel: misst { } links- rechts- zirkulare (4) zirkulare Photonen aus unpolarisiertem Licht- P L = ε L ε L = 1 ( ε x + i ε y ) ( ε x i ε y ) = 1 P x + 1 P y + i ε y ε x i ε x ε y (44) = Matrixdarstellung bzgl. { ε x, ε y } p L = 1 ( ) 1 i i 1 (44) 15

16 1. Zustände, Observable, Operatoren 1 Grundbegriffe links-zirkularer Polarisationsfilter ( Jones-Formalismus in der Optik) P R = 1 P x + 1 P y i ε y ε x + i ε x ε y P R = P L = 1 ( ) 1 i i 1 (45) Bemerke: P L = P L, P R = P R weil [α ψ χ ] = α χ ψ Messung der zirkularen Polarisation 1 Zähler ε L ε R ε 1. ε = ε L : ε L P L ε L (4) = ε L ε L ε L ε L = 1 ε L P R ε L = ε L ε R ε R ε L = 0 = Zähler 1 klickt immer, Zähler nie. check: Ergebnis in { ε x, ε y } -Basis (39)(40) = ε L P L ε L = 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 i i i 1 i } {{ } = 1 ( ) ( ) 1 i = 1 4 i ε L P R ε L = 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 i i i 1 i } {{ } =0 = 0 p L Unschärfe: ε L ( P L,R ) } {{ } P L,R PL,R ε L = 0 16

17 1 Grundbegriffe 1. Zustände, Observable, Operatoren. ε = ε ϕ, Basis { ε x, ε y } (6)(44) = ε ϕ P L ε ϕ = ( cosϕ sin ϕ ) 1 = ( cosϕ sin ϕ ) 1 Ebenso: ε ϕ P R ε ϕ = 1 ( 1 i i 1 ( ) e iϕ ie iϕ = 1 e iϕ ( cosϕ sin ϕ ) ( 1 i ) ( cosϕ sin ϕ ) = 1 ) (46) (47) = Jeder der beiden Zähler spricht in 50% der Fälle an. Unschärfe: ε ϕ ( P L,R ) ε ϕ = ε ϕ P L,R ε ϕ ε ϕ P L,R ε ϕ = = 1 4 P L,R (ε ϕ ) = 1 4 = 1 (48) Kopenhagener Interpretation des Messprozesses Messungen verändern das physikalische Objekt, das der Messung unterzogen wird. Hat die Messung der Observable A den Wert λ ergeben, so befindet sich das Objekt nach der Messung in einem Eigenzustand von A mit EW λ ( Spontane Zustandsreduktion ). Erwartungswerte selbstadj. Operatoren A sind reell. ψ A ψ = ψ A ψ antiselbstadjungierte Operatoren imaginäre EW = ψ A ψ (49) Kommutator [A, B] := AB BA (50) Anti-Kommutator {A, B} := AB + BA (51) A = A B = B = [A, B] = [A, B] (5) {A, B} = {A, B} (53) Betrachte Zustand ψ mit A := ψ A ψ und ψ ψ = 1 A = A A B = B B (54) 17

18 1. Zustände, Observable, Operatoren 1 Grundbegriffe Schwarz sche Ungleichung (3) Aψ B ψ Aψ B ψ = ψ AB ψ, da A = A = 1 ψ [ A, B ] ψ + ψ { A, B } ψ } {{ } } {{ } imagiär reell, wg (49) 1 ψ [ A, B ] ψ, da z Im z für z (54) = 1 ψ [A, B] ψ (55) Unschärfe: ( A) = ψ (A A ) ψ = Aψ Aψ = Aψ (55) A B 1 ψ [A, B] ψ (56) = Unschärferelation Gilt [A, B] = 0, so nennt man A und B kommensurabel (= gemeinsam messbar ) oder kompatibel. Es gibt dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenkets so dass α i β j α i, β j Ê, A α i β j = α i α i β j B α i β j = β j α i β j Für diese Zustände ist A = B = 0. Die Eigenwerte α i, β j nennt man auch Quantenzahlen von α i β j zu A und B. 18

19 1 Grundbegriffe 1. Zustände, Observable, Operatoren Stern-Gerlach-Versuch 19 O. Stern, W. Gerlach Silber-Atome: paramagnetisch mit magn. Moment µ. z S zwei Maxima N 47 Ag B = B(z) e z Detektoren klassisch: pot. Energie V = µ B Kraft F = V F z = µ z B z Atome können mit jedem Winkel nach oben oder unten abgelenkt werden, abhängig von µ z. 195: Goudsmit und Uhlenbeck entdecken den Elektronenspin (=Eigendrehimpuls) Silberatom 47 Ag: µ aus dem 47. Elektron (in der 5s-Schale). Die Maxima entsprechen den Werten µ = e m e S; e > 0 (57) S z = ± Schematisch: y SGZ Ofen x 19

20 1. Zustände, Observable, Operatoren 1 Grundbegriffe Zwei SG-Apparate: a) S z = SGZ SGZ Ofen Messung von S z Projektor P z+ auf S z = + -Komponente Elektron mit S z = : S z+ P z+ P z } { Sz + S z + = 0, S z S z + = 0 Spin-Operator: S z S z + = S z+ S z S z = S z (58) Erwartungswert: S z + S z S z + = (59) Unschärfe: S z + S z ( ) Sz + = 0 b) S x = S z = Gleich viele 47 Ag-Atome S x = SGX SGZ Ofen S x + = α S z + + β S z S x + S x + = 1 α + β = Experiment gleich große Komponenten SG-Apparat mit B, B x e x α = β = 1 0

21 1 Grundbegriffe 1. Zustände, Observable, Operatoren Allgemein: ψ und e iϕ ψ beschreiben den selben physikalischen Zustand, denn für alle A gilt: ψ A ψ = e iϕ ψ A e iϕ ψ o.b.d.a. wählen Phasen von S z +, S z so, dass α = β = 1 ist S x + = 1 S z S z S x = 1 S z S z (60) Projektoren: P x± = S x ± S x ± = 1 S z+ S z + ± 1 S z+ S z ± 1 S z S z S z S z (61) Matrixdarstellung bzgl.{ S z +, S z } p x± = ( 1 ) ±1 ±1 1 (6) Spin-Operator: S x S x ± = ± S x± (63) Darstellung bzgl.{ S z +, S z }: Invertiere (60): S z + = 1 ( S x + S x ) S z = 1 ( S x + + S x ) (64) Ebenso: S z + S x S z + = 1 ( S x + S x S x + S x S x S x + Erwartungswert = 0 S x + S x S x + S x S x S x ) = 1 ( ) = 0 S z S x S z = 0 Klar: Gleich viele 47 Ag- Atome mit S x = und S x = beobachtet. S z ± S x S z = 1 ( S x + S x )S x ( S x + ± S x ) = 1 [ ( )] (65) = 1

22 1. Zustände, Observable, Operatoren 1 Grundbegriffe Matrixdarstellung bzgl. { S z +, S z }: ( ) Sz + S s x = x S z + S z + S x S z = S z S x S z + S z S x S z ( ) (66) (65) entspricht: S z + S x S z = ( 1 0 ) ( ( ) = 1 0) 1 c) S z = S x = S z + gleiche Intensität SGZ ψ SGX SGZ Ofen S z = check: ψ = P x+ S z + = S x + S x + S z + (61) = 1 S z+ + 1 S z = 1 S x + Nun: SGY (Apperatur drehen) x Achse und y Achse gleichberechtigt Also (59a): S y + = α S z + + β S z S y = α S z + β S z mit α = β = 1 S y ± S z S y ± = 0 (67) S y + S y = 1 ( α β ) = 0 Weiter: 0 = S y ± S x S y ± = 1 (α, ±β ) ( ) ( ) 0 1 α 1 0 ±β = ± 4 (α β + β α) (68) = ± Re(α β)

23 1 Grundbegriffe 1. Zustände, Observable, Operatoren Zyklische Vertauschung (x, y, z) (z, x, y) S y ± S x S y = S x ± S z S x (60) = 1 ( ) (69) = Andererseits mit (67): (68)-(70) bedeuten: Lösung z.b. α = 1, β = i S y ± S x S y = 1 (α, ±β ) ( ( ) 0 1 α 1 0) β = ± 4 ( α β + β α) = Im(α β) Re(α β) = 0 Im(α β) = 1 (70) Also: S y ± = 1 S z + ± i S z (71) Inverse: S z + = 1 ( S y + + S y ) S z = i ( S x + + S x ) (7) Matrixdarstellung von S y bzgl.{ S z +, S z } (analog zu (66)): s y = ( ) 0 i i 0 Pauli-Matrizen: σ 1 = σ x = ( ) 0 1, σ 1 0 = σ y = ( ) ( ) 0 i 1 0, σ i 0 3 = σ z = 0 1 (73) (74) Spin-Operator: S j = σ j (75) Eigenschaften der Pauli-Matirzen (siehe Aufgabe 6) σ j σ k [σ j, σ k ] = i 3 = δ 3 jk½+ iǫ jkl σ l l=1 (76) ǫ jkl σ l l=1 3

24 1. Zustände, Observable, Operatoren 1 Grundbegriffe wobei ǫ jkl das Levi-Civita-Symbol ist. σ j = σ j ; tr σ j = 0 (77) Jede hermitesche -Matrix M lässt sich schreiben als 3 M = a 0½+ a l σ l (78) l=1 Aus (77) folgt: Aus (76) folgt: a 0 = 1 trm, da tr½= (79) 3 tr [M, σ n ] = a l tr[σ l, σ n ] l=1 3 = l=1 = a nalδln tr½ a l = 1 tr [M, σ l] (80) (75)/(76) implizieren die Vertauschungsrelation für Spinoperatoren [S j, S k ] = i 3 ǫ jkl S l (81) l=1 Wegen [S j, S k ] 0 für j k sind verschiedene Spinoperatoren inkommensurabel. Wegen (siehe (76)) σ1 = σ = σ3 =½ist jedoch (8) S = S x + S y + S z = 3 4 ½ Damit ist: [ ] S, S j = 0 für j = 1,, 3 (83) Der Gesamtspin S ändert sich durch Messungen von S x, S y oder S z nicht Seltsame Analogie: 4

25 1 Grundbegriffe 1. Zustände, Observable, Operatoren Elektron Photon S z + (58) ε x. (5) S z (59) ε y (5) S z ± = 1 ε ϕ= π 4 (± S z + + S z ) (60) ε ϕ= 3π (5) 4 S y ± = 1 ( S z + ± i S z ) (71) ε L,R (39)/(40) Basiswechsel =½ e j = Ue j, j = 1,..., N mit U U (85) üblich Schreibweise S z + =: spin up S z =: spin down (84) A = A A e j = λ j e j mit e j Eigenkets (86) Welcher Operator entspricht A in der Basis { e j }? mit (86) UAU U }{{} ½ e j = Uλ j e j (85) UAU e j = λ j e j A e j = λ j e j A = UAU (87) A und A sind unitär äquivalent. Sie beschreiben die selbe Physik, insbesondere haben sie das selbe Spektrum {λ j } Bsp: US x U = S z Matrixdarstellung von U bzgl. {, } (siehe Aufgabe 6a)): U = 1 ( ) 1 1 i i S z und S x sind physikalisch äquivalent (EW, ) basisunabhängige Spur eines Operators A: tr A := N e j A e j (88) j=1 5

26 1. Zustände, Observable, Operatoren 1 Grundbegriffe Beweis der Basisunabhängigkeit: N Vollständigkeitsrelation: e k e k = 1 k=1 tr A : = = = = N j,k,l=1 N j,k,l=1 e j e k e k A e l e l e j e k A e l e l e j e j e k N e k A e l e l e k } {{ } δ lk N e k A e k k,l=1 k=1 ebenso basisunabhängig: tr A n = N j=1 λ n j, n (90) tr A = N λ j Summe der Eigenwerte (89) j=1 6

27 1 Grundbegriffe 1.3 Ort, Impuls, Energie 1.3 Ort, Impuls, Energie de Broglie: Elektronen verhalten sich wie Wellen, wobei p = k. Ket für Elektronen mit Impuls p: p = e i k x = e i p x (ebene Welle) (91) Eigenwertgleichung: mit p j, der j-ten Komponente von p P j p = p j p (= k j p ) (9) Idee: mit P j Operator und p j Eigenwert P j ist ein Differentialoperator! P j e i p x = pj e i p x P j = i x j (93) Bildet eine Menge von Funktionen f : x f(x) einen Vektorraum, so spricht man von einem Funktionenraum. (Standard-)Beispiele: 1. C[a, b] = Menge der auf [a, b] stetigen Funktionen f : x [a, b] f(x) C[Ên ] = Menge der auf demên stetigen Funktionen allgemein C[T] wobei T eine beliebige Teilmenge desên ist Klar: mit f, g ist auch αf + βg mit α, β stetig C[...] ist Vektorraum. C n [T] = Menge der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen f : x [T] f(x) C [T] = Menge der -mal stetig differenzierbaren Funktionen f : x [T] f(x) 3. Schwartz-Raum: umfasst Funktionen, die selbst und deren Ableitungen für x schneller abfallen als jede Potenz: { [ ] } S = S[Ê] := f C [Ê] : max x p dk f dx k <, für alle p, k Æ0 Bemerkung: e αx S { ] } S[Ê] := f C [Ên ] : max[ k1+ +kn f xp x k1 1 <, für alle p, k1..., k n Æ0 xkn n 4. L [T]: Menge aller Funktionen, für die T f(x) dx existiert = Vektorraum der quadratintegrablen Funktionen. Es gilt: 7

28 1.3 Ort, Impuls, Energie 1 Grundbegriffe C [a, b] C n [a, b] C[a, b] L [a, b] S[Ên ] C [Ên ] C n [Ên ] C[Ên ] aber weder C[Ên ] L [Ên ] noch C[Ên ] L [Ên ]! Skalarprodukt (Innenprodukt) f g = T f (x) g(x)dx (94) sinnvoll für 1-3. Die Definitionseigenschaft (13) ist jedoch für L [T] verletzt, siehe z.b. für L [Ê] { 1 x = 0 f(x) = (95) 0 sonst f = f f = f(x) dx= 0, aber f 0 Trick: f und g heißen äquivalent, f g, wenn f(x) g(x) dx= 0 = f g (96) T Die Äquivalenzklassen erfüllen dann auch (13). Also: Zwei Funktionen f,g, die (96) erfüllen, werden identifiziert, sie beschreiben die selbe Physik. z.b: f aus (95) erfüllt f 0 (Nullfunktion) 5. L [T] = Menge aller Äquivalenzklassen bzgl. (96) in L [T]. (97) (94) ist ein Skalarprodukt in L [T]. Räume, auf denen ein Skalarprodukt definiert ist, heißen unitäre Räume, oder Innenprodukträume. D.h. die in 1,,3,5 behandelten Räume sind unitäre Räume. Es ist V ein unitärer Raum und (f n ) = (f 1, f,...) eine Folge in V. (f n ) heißt Cauchyfolge, wenn es für jedes ε > 0 ein N Ægibt, so dass für alle m, n N f m f n < ε (98) ist. Naiv: (f n É ) konvergiert gegen ein f. Problem: f muss nicht unbedingt in V liegen! Besitzt eine Cauchyfolge (f n ) einen Grenzwert f in V, so heißt V vollständig. Bsp mit Zahlenfolgen { É 1, 14 10, , 1414 } 1000,.. Éist nicht vollständig Êist vollständig 8

29 1 Grundbegriffe 1.3 Ort, Impuls, Energie Gibt es eine Basis von V, die aus höchstens abzählbar vielen Basisvektoren besteht, so heißt V separabel. Ein vollständiger, separabler, unitärer Vektorraum heißt Hilbertraum. Quantenmechanische Zustände entsprechen immer Vektoren (Kets) in einem Hilbertraum. Die drei wichtigsten Hilberträume 1. Jeder endlichdimensionale, unitäre Vektorraum ist Hilbertraum.. L [T] mit Skalarprodukt (94), siehe (97), diml = 3. quadratisch summierbare Zahlenfolgen { mit Skalarprodukt diml = l = (a n ) : } a n < n=0 (a n ) (b n ) = a n b n (99) Hilberträume gleicher Dimension sind isomorph, insbesondere L [T] l. math. Beschreibung in L : Wellenmechanik (Schrödinger) QM : math. Beschreibung in l : Matrizenmechanik (Heisenberg, Bord, Jordan) n=0 Nun ist und Also: T f(x) = k=0 d n x f j (x)f(x) = f j f = f = f f (101) = a k f k (x) mit a k k,n=0 f L [T] f f < k=0 a k a n f k f n = (101) a k f j f k } {{ } = a j (10) δ jk a n (103) k=0 a k (a n ) l k=0 Basis in L [T] = vollst. orthonormalisiertes Funktionalsystem {f 0 (x), f 1 (x),...}, also a) f j f k = T d n x f j (x)f k (x) = δ jk (100) b) Jedes f L [T] lässt sich entwickeln, als 9

30 1.3 Ort, Impuls, Energie 1 Grundbegriffe Analog: (a n ) ist also der -große Koeffizientenvektor von f bzgl. der Basis {f n (x)}. g(x) = Lineare Operatoren im Hilbertraum H b n f n (x) n=0 f g = A : f D(A) } {{ } Def-Bereich a n b n (104) n=0 H Af H (105) z.b: P j in (93) ist nicht für alle f L definiert, f muss fast überall differenzierbar sein. g P j f = d n x g (x) P j f(x) T = d n x g (x) f(x) i x j sinnvoll für f D(P j ) und g L. T Physikalische Zuständee ψ(x) L heißen Wellenfunktionen. Erwartungswert einer Messung von P j ψ P j ψ = d n xψ (x) ψ(x) (106) i x j T Impulsoperator Ortsoperator P = i x y z = i (107) X = x y bzw. X j = x j (108) z wobei X j : ψ(x) D(X j ) L [T] X j ψ(x) (109) X j, P j sind lineare Operatoren, z.b. X j (α ψ(x) + β χ(x)) = α X j ψ(x) + β X j χ(x) Heisenbergsche Vertauschungsrelation [X j, P k ] = i δ jk½auf D(X j ) D(P k ) (110) auch: [X j, X k ] = 0 = [P j, P k ] (111) 30

31 1 Grundbegriffe 1.3 Ort, Impuls, Energie (dies folgt aus dem Satz von Schwarz x j Beweis von (110) x k = x k x j ) [X j, P k ] ψ(x) = (X j P k P k X j ) ψ(x) = [ X j ψ(x) ] (X j ψ(x)) i x k x k = i ( ) X j ψ(x) x j ψ(x) X j ψ(x) x k x k x k } {{ } δ jk = i δ jk ψ(x) = i δ jk ψ(x) = [X j, P k ] = i δ jk Beschreibt man einen physikalischen Zustand durch eine Wellenfunktion ψ(x) mit P, X in (107),(108), so spricht man von der Ortsdarstellung. Für ψ ψ = 1 ist der Eigenwert der Ortsmessung gegeben durch ψ X ψ = ψ X 1 ψ ψ X ψ ψ X 3 ψ = d n x ψ (x) x ψ(x) T = d n x ψ x (11) T = Schwerpunkt einer Dichteverteilung ψ. Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Volumen V zu finden: P(V ) = d n x ψ(x) (113) Für den zu A adjungierten Operator A gilt für alle f D(A ) und g D(A). A heißt hermitesch (oder symmetrisch), wenn V A f g = f Ag (114) Af g = f Ag (115) für f, g D(A), d.h. A = A für f, g D(A). Gilt (115) und D(A ) = D(A), so heißt A selbstadjungiert, also A = A. 31

32 1.3 Ort, Impuls, Energie 1 Grundbegriffe Es kann passieren, dass (115) erfüllt ist, aber D(A ) D(A) und A A, d.h. (113) ist verletzt für f D(a), f D(A ). Dann ist A hermitesch, aber nicht selbstadjungiert. Impulsoperator in L [Ê]: Und wegen f P g = i = i = = P ist hermitesch. = P f g ist D(P) = D(P ). = P ist selbstadjungiert. dx f (x) d dx g(x) dx d f (x) dx dx (P f) g(x) dx (P f) g(x) = Ebenso: X ist selbstadjungiert in L [Ê]. g(x) + [ ] f (x)g(x) i } {{ } =0 dx g (x) P f(x) A heißt beschränkt, wenn es eine Zahl K > 0 gibt, so dass Af K f (116) für alle f Ê. λ½ Bsp: U unitär: U f = f K = 1 X und P sind in L [Ê] unbeschränkt. Das Spektrum σ eines Operators A besteht aus allen λ, für die A kein beschränktes Inverses besitzt. Für λ σ ist die Resolvente definiert und beschränkt. Jeder Eigenwert λ gehört zu σ. R λ (A) = (A λ½) 1 (117) (A λ½) f = 0 = (A λ½) 1 existiert nicht. Für A = A (d.h. selbstadjungiert) gilt: 3

33 1 Grundbegriffe 1.3 Ort, Impuls, Energie 1. σ = σ p σ c, wobei das Punktspektrum bzw. diskretes Spektrum σ p die Menge der Eigenwerte bezeichnet und σ c kontinuierliches Spektrum heißt.. σ enthält nur reelle λ, für Im λ 0. R(λ) 1 Im λ (Die Norm A eines Operators ist die kleinste Zahl K > 0, die Af K f erfüllt.) 3. Zu λ σ c kann man beliebig genaue approximative Eigenvektoren finden: Zu ε > 0 gibt es ein f ε H mit Veranschaulichung: (A λ½) f ε < ε (118) ( ) lim (A λ½) f ε = 0 lim R λ f ε = ε 0 ε 1. Ortsoperator X in L [Ê]: σ p = Inverses von wohldefiniert für λ Ê. Xψ(x) = xψ(x) λψ(x) für ψ(x) 0 R λ (x) = X λ R λ : ψ(x) Für λ Êbetrachte Wellenpakete (Aufgabe 8) 1 x λ ψ(x) ψ ε (x λ) := (π ε ) 1 4 exp( (x λ) ψ(x) ε ) L [Ê] (119) und R λ ψ ε (x λ) = σ = σ c =Ê ε 0 für alle λ Ê. λ x Approximative Eigenfunktion von X xψ ε (x λ) λψ ε (x λ) 33

34 1.3 Ort, Impuls, Energie 1 Grundbegriffe denn (x λ) ψ ε (x λ) = (π ε) 1 = ε ε 0 0 dx(x λ) (x λ) exp( ε ) = Die Wellenpakete ψ ε (x λ) sind approximative Eigenfunktionen von X zu λ Ê.. Impulsoperator: ψ p (x) = exp(i p x) P = i d dx (91),(93) = P ψ p (x) = p ψ p (x) jedoch: dx ψ p (x)ψ p(x) = in L [Ê] dx 1 = = ψ p (x) L [Ê] Eigenfunktionen sind nicht normierbar. Approx. Eigenfunktion zu p Ê: Breite Wellenpakete: ψ pε (x) = ψ 1/ε (x) exp (i p ) x ( = exp i p ) x ε π 1 4 exp ) ( ε x L [Ê] (10) ψ pε = 1 P ψ pε (x) = p ψ pε (x) + ( exp i p ) ( x ε ) 1 4 ( ε x ) exp ( ε x ) π = σ c =Ê = p ψ pε (x) + O( ε ε ) Ein Operator U heißt unitär, wenn er folgende Eigenschaften erfüllt: 1. D(U) = H (11). Der Wertebereich von U ist H, d.h. zu jedem f H gibt es ein g mit U g = f. (1) 3. Längen- und Winkeltreue U f U g = f g f, g H (13) 34

35 1 Grundbegriffe 1.3 Ort, Impuls, Energie Zu 3. äquivalent ist, dass U f U f = f f für alle f H erfüllt ist. Beweis: = Re f g = Re U f U g Mit f + i g analog: Im f g = Im U f U g Für einen unitären Operator gilt f + g + Re f g = f + g = U (f + g) + U f + U g + Re U f U g U 1 = U und U ist auch unitär (d.h. auch (11),(1) sind erfüllt). Stetige lineare Abbildungen ϕ : V heißen Linearformen, lineare Funktionale, Kovektoren oder Bras. ϕ αf + β g = α ϕ f + β ϕ g (14) = Die Bras bilden einen Vektorraum, den Dualraum V. Ist V ein Hilbertraum H mit Basis { e 1, e,...}, so gibt es eine Basis { e 1, e,...} in H mit e j e k = δ jk und H H mit α j e j j j α j e j (15) Für L [Ê] bedeutet dies: Jede Linearform ϕ : f L [Ê] ϕ[f] lässt sich schreiben als ϕ[f] = ϕ f = dx ϕ (x)f(x) (16) wobei ϕ[f] eine Funktion aus L [Ê] abbildet und ϕ (x) eine Funktion in L ist. Ist V kein Hilbertraum, so gilt dies nicht: Bsp: V = S[Ê] δ : f S[Ê] δ[f] := f(0) Punktauswertungsfunktional, linear und stetig. symbolische Schreibweise wie in (16): δ[f] := dx δ(x)f(x) = f(0) mit δ(x), der δ-distribution. Dualraum zu S[Ê]: S [Ê] = Vektorraum der gemäßigten Distributionen (tempered distributions, auch tempererierte Distributionen) 35

36 1.3 Ort, Impuls, Energie 1 Grundbegriffe ( S [Ê], L [Ê], S[Ê] ) ist ein Beispiel für ein Gel fandsches Raumtripel. S [Ê] L [Ê] S[Ê] (17) Mehr Bras, Bras Kets, weniger Kets Vorteil: In S [Ê] können wir für A = A jedem λ σ(a) eine Eigendistribution finden. z.b. ψ p (x) = exp (i p ) x L [Ê] aber: ψ p(x) p mit p P = p p (18) denn für alle f S[Ê] ist p f = dx ψ p(x)f(x) = dx exp ( i p ) x f(x) (19) wohldefiniert und (19) beschreibt eine stetige lin. Abbildung von S[Ê] auf. D.h. ebene Wellen sind gemäßigte Distributionen. Flexible Notation: f g = g f Achtung: Für f, g S [Ê] ist f g nicht immer definiert! Bsp: ψ b ψ b Ê = dx 1 = verallgmeinerte Eigenfunktionen (Eigenbras) zu X: gesucht: X ψ x0 (x) = x 0 ψ x0 (x) mit x 0 Lösung: ψ x0 (x) = δ(x x 0 ) S [Ê] (131) Auch hier ist nicht definiert. ψ x0 ψ x0 = δ(x x 0 )δ(x x 0 ) = Die verallgemeinerten Eigenfunktionen selbstadjungierter Operatoren A sind vollständig: Die Entwicklung nach Eigenvektoren f = λ σ λ λ f (wobei A λ = λ λ ) im endlichdimensionalen Falle, liest sich nun (ohne entartete Eigenvektoren): f = λ λ f + d λ λ λ f (13) λ σ σ c p 36

37 1 Grundbegriffe 1.3 Ort, Impuls, Energie Ortsoperator: X ψ = x ψ (133) verallg. Eigenfunktion X δ(x x 0 ) = x 0 δ(x x 0 ) bzw. X x 0 = x 0 x 0 symbolisch ψ = Êdx 0 x 0 x 0 ψ (134) entspricht: ψ(x) = = ψ(x) dx 0 δ(x x 0 ) } {{ } x 0 dx δ(x x 0 )ψ(x ) } {{ } x 0 ψ Impulsoperator: P N exp (i p ) x = p N exp (i p ) x } {{ } p N ist die Normierung. ψ = dp p p ψ ψ(x) = dp exp (i p ) x N } {{ } inverse Fouriertransformation = ψ(x) für N = 1 π dx exp ( i p ) x ψ(x) } {{ } Fouriertransformation (135) Speziell für ψ = x 0 p x 0 = 1 exp ( i p ) π x (136) Ortseigenzustand in Impulsdarstellung In (134) mit ψ = p : p = Êdx x x p (136) = dx x 1 exp (i p π x ) 37

38 1.3 Ort, Impuls, Energie 1 Grundbegriffe Konsistenzcheck (der Vollständigkeit): 1 exp (i p ) π x = x p = = 1 exp (i p ) π x dx x x 1 ( exp i p π x ) (137) da x x = dx δ(x x )δ(x x ) = δ(x x ) (138) Normierung der Impulseigenzustände p p = dx exp ( i p x) exp ( i p x) π π = 1 ( ) p π π δ p = 1 ( ) p p δ = δ(p p ) (139) weil δ( x a ) = a δ(x). Gleichung (139) ist also analog zu (138). Projektion eines Zustands ψ auf Ortseigenzustand: x ψ = dx δ(x x 0 )ψ(x) = ψ(x) (140) Das ist die Wellenfunktion in Ortsdarstellung. Projektion auf Impulseigenzustand: p ψ = dx 1 exp ( i p ) π x ψ(x) =: ψ(p) (141) Die Impulsdarstellung (Fouriertransformierte der Ortsdarstellung ψ(x)) Umkehrfunktion ψ(x) = x ψ = = 1 π dp x p p ψ } {{ } eψ(p ) ) dp exp (i p x ψ(p ) (14) 38

39 1 Grundbegriffe 1.3 Ort, Impuls, Energie Ortsoperator in Impulsdarstellung: p X ψ = = dp p X p p ψ dp p X p ψ(p ) (143) Nun ist p X p = = 1 π i = i dx exp ( i p x) π p x ) exp (i p x π dx exp (i p ) ) x exp (i p x p δ(p p ) (144) Einsetzen in (143): p X ψ P.I. = + = i Impulsoperator in Impulsdarstellung: Zusammenfassung: ( dp δ(p p ) ) i p ψ(p ) p ψ(p) (145) p P ψ = p p ψ = p ψ(p) Ortsdarstellung Impulsdastellung Ortsoperator X xψ(x) i p ψ(p) Impulsoperator P i x ψ(x) p ψ(p) Energie: klassische Mechanik Hamiltonfunktion H(x j, p k ) Quantenmechanik Hamiltonoperator H(X j, P k ), wobei X j in kartesischen Koordinaten Teilchen im Potential: Eigenzustände E zum Eigenwert E H( X, P) = P m + V ( X) (146) H( X, P) E = E E (147) 39

40 1.3 Ort, Impuls, Energie 1 Grundbegriffe Energie-Eigenzustände heißen auch stationäre Zustände. Die diskreten Eigenwerte E n (= Elemente von σ p ), n = 0, 1,,..., von H ( Energieniveaus ) entsprechen Bindungszuständen E n, da E n E n <. Die uneigentlichen Eigenwerte (= Elemente von σ c ) von H entsprechen Steuzuständen E, da E E =. Ortsdarstellung (147) : x H E = E x E d 3 x x H x x E } {{ } :=ψ E( x ) = E x E } {{ } :=ψ E( x) (148) x H x = x P m + V ( X) x P = x m x + x V ( X) x } {{ } V (x) x x } {{ } δ (3) ( x x ) und 3-dim Version (137) Einsetzen in (149): P x m x = 1 m = 1 m d 3 p x P p p P x d 3 p p x p p x (149) 1 x p = e i p x (π ) 3 (150) P x m x = 1 m 1 (π ) 3 d 3 p p e i p( x x ) } {{ } e i p( x x ) = m 1 (π) 3 d 3 ke i k( x x ) } {{ } δ (3) ( x x ) Einsetzen in (148) ] d 3 x ψ E ( x ) [ m δ(3) ( x x ) + V ( x)δ (3) ( x x ) = Eψ e ( x) partielle Integration: [ ] d 3 x m ψ E( x ) + V ( x)ψ E ( x ) δ (3) ( x x ) = Eψ E ( x) (151) ] [ m + V ( x) ψ E ( x) = Eψ E ( x) (15) 40

41 1 Grundbegriffe 1.3 Ort, Impuls, Energie zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung Die Lösungen ψ E (x) von (15) sind die Energie-Eigen-Funktionen Salopp: Hψ E ( x) = Eψ E ( x) (153) Dabei ist H der Hamilton-Operator in Ortsdarstellung H = m + V ( x) Impulsdarstellung: Mit p = p x p y p z : [ ] p m + V (i p ) ψ( p) = E ψ( p) (154) praktisch für z.b. lineare Potentiale V ( x) = α x und für Streuprobleme Mathematische Literatur 1. Robert D. Richtmayer: Priciples of Advanced Mathematical Physics, Vol.1, Springer. Siegfried Großmann: Funktionalanalysis, Aula-Verlag 3. Harro Heuser: Funktionanalysis, Teubner-Verlag 4. Hans Triebel: Höhere Analysis, Verlag Harri Deutsch / Dt. Verlag der Wissenschaft 41

42 α kl e n e k mit α kl 1.4 Tensorprodukt 1 Grundbegriffe 1.4 Tensorprodukt Hilberträume H = [ e 1, e,...] H = [ e 1, e,...] Tensorprodukt meist schreibt man für [ e j e k ], e j e k oder e je k Für dimh = N, dimh = N ist H H = [ e j e k ] (155) dim[h H ] = N N Für α = k α k e k ; α = l α l e l ist α α = k,l α k α l e k e l (156) Analogie:(aus der Elektrodynamik) r = x 1 x ; r = x 1 x T kl = x k x x 3 x l 3 Bras: χ H H = n,l (157) Nicht jedes Element von H H lässt sich als α α schreiben. Allgemein gilt für ( β β )( α α ) = β α β α (158) ( ) ( ) = α k β k α l β l k l für β = l β l e l usw. Zu Operatoren A auf H, A auf H sind Operatoren auf H H mit A ½und½ A (A ½) ( α α ) = Aα α (½ A) ( α α ) = α A α Salopp: Statt ½ [ ] [ ] A A ½ A schreibt man A (159) 4

43 1 Grundbegriffe 1.4 Tensorprodukt Allerdings nur wenn man weiß auf was der Operator wirkt! Insbesondere gilt: denn AA α α = Aα Aα = A A α α [A, A ] = 0 (160) Anwendung: H = [, ] beschreibt Spin-Freiheitsgrad (ist innerer Freiheitsgrad) H = L Êbeschreibt äußere Freiheitsgrade (z.b. Orts-Wellenfunktion) beliebiger Zustand in H H für H = [ ψ 1, ψ,...] χ (157) = k=, α kl k ψ l l = α l ψ l + α l ψ l l l =: ψ + ψ (161) Pauli-Spinor = zwei komponentige Wellenfunktion ( ) ( ) ψ ( x) ( x ) χ := ψ ( x) ( x ) χ (158),(161) = ( ) x ψ x ψ (16) Interpretation: d 3 x x ψ = Wahrscheinlichkeit, im Volumen V ein Elektron mit s z = v zu finden 43

44 1.5 Zeitentwicklung 1 Grundbegriffe 1.5 Zeitentwicklung klassische Mechanik: Symmetrie unter Translation: x x + a Impuls p ist erhalten: d p dt QM: p Symmetrien Noether-Theorem Erhaltungsgröße ist Generator der Translationen (Ü-Aufgabe 7c)) T a = e i a P : T a ψ( x) = ψ( x + a) (163) Analogie: Symmetrie bzgl. t t + t Hamiltonfunktion H ist zeitlich konstant d H dt = 0 U(t 0 + t, t 0 )ψ( x, t 0 ) = ψ( x, t 0 + t) U(t 0 + t, t 0 ) ψ, t 0 = ψ, t 0 + t (164) mit dem Zeitentwicklungsoperator (= Translationsoperator der Zeit) U(t 0 + t, t 0 ) = e i th für d H dt = 0 (165) Differziell: i t ψ( x, t 0 + t) (164) = i t U(t 0 + t, t 0 )ψ( x, t 0 ) (165) = i t e i th ψ( x, t 0 ) = He i th ψ( x, t 0 ) = Hψ( x, t 0 + t) Für t 0 = 0: (166) heißt zeitabhängige Schrödinger-Gleichung Für d H d t i ψ( x, t) = Hψ( x, t) t i (166) t ψ, t = H ψ, t 0 sind (165) und (166) nicht mehr äquivalent. (166) stimmt auch für d H d t 0. 44

45 1 Grundbegriffe 1.5 Zeitentwicklung Gilt [H(t 1 ), H(t )] = 0 für alle t 1, t, so ist U(t + t 0, t 0 ) = e i t 0 R+t t 0 dt H(t ) (167) Zeitgeordnetes Produkt: ëa(t 1 )B(t ) =ëb(t )A(t 1 ) = Θ(t 1 t )A(t 1 )B(t ) + Θ(t t 1 )B(t )A(t 1 ) [ ] A(t1 )B(t = ) für t 1 > t B(t )A(t 1 ) für t > t 1 (168) Analog: ëb(t 1 )B( )C(t 3 )... = Θ(t 1 t )Θ(t t 3 )...A(t 1 )B(t )... + Θ(...)... Für t 1 = t istëa(t 1 )B(t ) i.a. nur für A = B definiert Anwendung: t 0+t t 1+t dt 1 dt ëh(t 1 )H(t ) (169) t 0 t 0 t 0+t t 1 t 0+t = dt 1 dt ëh(t 1 )H(t ) + dt ëh(t )H(t 1 ) t 0 t 0 t 1 d dt (169) = t 0+t t 0 dt ëh(t 0 + t)h(t ) + = H(t + t 0 ) t 1+t Zeitordnung trivial wegen t 0 + t t 1 Dabei wurde bei folgende Regel verwendet: t 1+t t 0 dt ëh(t 1 )H(t 0 + t) (170) t 0 dt 1ëH(t 1 ) (171) d t t b t dt dt f(t)g(t ) = dt f(t)g(t ) + dt f(t )g(t) dt a b t a Zeitgeordnete Exponentialreihe = Dyson-Reihe t 0+t t 0+t t 0+t t 0+t ëexp A(t )dt 1 := 1 + dt 1 dt... dt nëa(t 1 )...A(t n ) (17) n! t n=1 0 t 0 t 0 t 0 45

46 1.5 Zeitentwicklung 1 Grundbegriffe Gilt [A(t), A(t )] = 0, so istëexp = exp t 0+t t 0+t t 0+t ëexp A(t )dt 1 = dt... dt nëa(t 0 + t)...a(t n ) n! t n=1 0 t 0 t 0 n-mal der selbe Term! + t 0+t t 0+t t 0+t dt 1 dt 3... dt nëa(t 1 )A(t 0 + t)...a(t n ) t 0 t 0 t 0 t 0+t t 0+t + dt 1... dt n 1ëA(t 1 )...A(t n 1 )A(t 0 + t) t 0 t 0 = A(t 0 + t) n=1 1 (n 1)! t 0+t t 0 dt 1... mit n n + 1 findet man: t 0+t d A(t dtëexp )dt = A(t 0 + t)ëexp t 0 t 0+t t 0+t t 0 dt n 1ëA(t 1 )...A(t n 1 ) A(t )dt (173) t 0 Sehr praktisch für gekoppelte Differentialgleichungen: also c = A(t) c Lösung: denn (173) c(t) = A(t)ëexp Im allgemeinen Fall ist t 0 ċ 1 = A 11 (t)c A 1n (t)c n. ċ n = A n1 (t)c A nn (t)c n c(t) =ëexp A(t )dt c(0) } {{ } c(t) t 0 A(t )dt c(0) (174) t 0+t U(t 0 + t, t 0 ) =ëexp i dt A(t ), (175) t 0 denn i t U(t 0 + t, t 0 ) (173) = H(t 0 + t)u(t 0 + t, t 0 ) 46

47 1 Grundbegriffe 1.5 Zeitentwicklung Zum Vorzeichen in (165) bzw (166) Erfüllt ψ( x, t) i ψ( x, t) = Hψ( x, t), t so erfüllt ψ ( x, t) die zeitgespiegelte Schrödinger-Gleichung: i ψ ( x, t) = Hψ ( x, t) (176) } {{ t } i ( t) Das Vorzeichen in (165) ist zunächst willkürlich zum relativen Vorzeichen zu (163): Freies Teilchen ψ p ( x, t = 0) = e i p x = Tx 1 i t ψ p = P m ψ p ψ p ( x, t) = e i Et ψ p ( x, 0) mit E = P m = e i ( p x Et) ebene Welle (177) Das relative Vorzeichen ist so gewählt, dass die Wellenfroten in p-richtung und nicht in p-richtung laufen. Ein Standardlösungsweg der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ψ, t = c n (t) E n + dec(e, t) E n σ c mit H E = E E = H ψ, t = n c n (t)e n E n + dec(e, t)e E Und hat für d H d t = 0 die Lösung ψ, t = n i ψ, t = H ψ, t t c n (0)e i i Ent E n + de c(e, 0)e i Et E (178) σ c d.h. c n (t) = c n (0)e i Ent c(e, t) = c(e, 0)e i Ent 47

48 1.5 Zeitentwicklung 1 Grundbegriffe Energie Eigenzustände i E, t = E E, t t = E, t = e i Et E }{{} E,0 1 = E, t E, t = E E stationäre Zustände Schrödinger-Bild i ψ, t = H ψ, t ψ, t = U(t, 0) ψ, 0 [ mit U(t, 0) =ëexp i ] t dt H(t ) 0 (179) Zeitentwicklung steckt in den Zuständen, nicht in den Operatoren, die jedoch eine explizite, von außen vorgegebene Zeitabhängigkeit haben können. (z.b. Magnetfeld B(t) im Labor H(t)) Heisenberg-Bild ψ H : = U (t, 0) ψ, t S } {{ } U(0,t) (179) = U (t, 0)U(t, 0) ψ, 0 S = ψ, 0 S (180) A H (t) = U (t, 0)A S (t)u(t, 0) (181) d dt A H(t) (173) = i ( ) d H(t)A H(t) + U (t, 0) dt A S(t) U(t, 0) i A H(t)H(t) = i [[H, A H(t)]] + t A H(t) (18) wobei [ ] d t A H(t) = U (t, 0) dt A S(t) U(t, 0) Aus (18) folgt auch H S (t) = H H (t) = H(t). (18) ist die gesuchte Bewegungsgleichung im Heisenberg-Bild. klass. Mechanik: i [, ] Poisson-Klammer 48

49 1 Grundbegriffe 1.5 Zeitentwicklung (18) für A H = X H und A H = P H H = P H m + V (X H ) X H (t) = i [H, X H(t)] = i [ ] P H m, X H = i m ( i )P H = 1 m P H (183) P H (t) = i [H, P H] = i [V (x), P H] = V (X H) (184) X H (*): siehe Aufgabe 7b) (183),(184) entsprechen den Lösungen der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen! 49

50 Teilchen im Potenzial.1 V = 0 (freies Teilchen) Zeitentwicklung: H = P m H p, t = E p, t mit E = p m i p, t = E p, t (185) Impulsdarstellung: Gaußsches Wellenpaket: p, t = e i Et p = e ip m t p (186) }{{} p,0 p p, t = e ip m t δ(p p ) (187) ( d ϕ(p, t = 0) : = p ϕ, t = 0 := π ) 1 ϕ(p, t) = p ϕ, t = p e i Ht ϕ, t = 0 = e i Ht p ϕ, 0 = e i p t m p ϕ, 0 4 exp ( (p p 0) d ) (188) Ortsdarstellung: ϕ(x, t) (14) = (189) = = e i p t m p ϕ, 0 = e i p t m ϕ(p, 0) ( ) 1 d 4 exp ( (p p 0) d (188) = 1 π ( d π 3 4 π ( ) 1 d 4 1 = π 3 dp ϕ(p, t)e i px ) i p t m ) 1 ( ) 4 i dp exp[ p x p t (p p 0) d ] m } {{ } quadrat. Ergänzung + dpexp [ a ( p b ) + b a a c ] (189) (190) mit a = d + i t m, b = d p 0 + i x, c = d p 0 (191) 50

51 Teilchen im Potenzial.1 V = 0 (freies Teilchen) Variablentransformation: p = p b a Im(p ) alter Integrationsweg Im( b a ) neuer Integrationsweg Re(p ) Die Ränder tragen nicht bei für Re(p ) ±. Integrand analytisch ohne Singularitäten im Gebiet zw. altem und neuem Integrationsweg. = ϕ(x, t) (190) = ( d π 3 ) ] dp exp [ a p + b a c } {{ } s 3 π a exp 4 b a c 5 (19) ϕ(x, t) = d π [ ( ) ] 1 b a exp Re a c (193) } {{ } b a a c Mit ist und V = p 0 m (t) = t m d (194) a = d4 4 + t 4m = d4 [ (t) ] (195) ( b a ) Re a c (x v t) = d (1 + (t)) (196) Einsetzen von (195) und (196) in (193) ϕ(x, t) = 1 [ ] 1 π d 1 + (t) exp (x v t) d (1 + (t)) (197) Das Wellenpaket bewegt sich nach rechts mit der Geschwindigkeit v und zerfließt, d.h. die Breite d(1 + (t) wächste linear mit t. 51

52 .1 V = 0 (freies Teilchen) Teilchen im Potenzial t 1 t > t 1 Zerfließen ist Folge der Impulsunschärfe un (183) analog zu einer Ladung Schrotkugeln Aus (197) finden wir: x = ϕ, t x ϕ, t = mit Aufgabe 8, wobei b = d(1 + (t) + dxx ϕ(x, t) = v t (198) x = ϕ, t (x x ) ϕ, t = d 1 + (t) (199) p und ( p) findet man am einfachsten aus (189) p = (189) = + ( d dp p ϕ(p, t) π ) + dp p exp [ (p p 0) d ] ( ) p =p p 0 d + = π dp (p + p 0 )exp [ p d ] = p 0 unabhängig von t (00) ( p) = p p 0 = d mit Aufgabe 8 (01) (199),(01) x p = 1 + (t) (0) maximale Unschärfe für t = 0 5

53 Teilchen im Potenzial. Kastenpotential = Potentialtopf. Kastenpotential = Potentialtopf V (x) = V 0 Θ(a x ); V 0 > 0 (03) V (x) a a x V 0 Anwendung: abgeschirmte Störstellen in Halbleitern Kernphysik Dimensionsloser Parameter: ζ = mv0 a (04) Bindungszustände ψ n (x) : Hψ n (x) = E n ψ n (x) also d m dx ψ n(x) = { En ψ n (x) für x > a (E n + V 0 )ψ n (x) für x < a } (05) ψ n (x) ist unstetig bei x = a mit Sprung ± V 0 = ψ n (x) ist stetig mit Knick bei x = a ψ n (x) ist stetig Lösung von (05) für x > a: nicht normierbar Streuzustände E n > 0 : ψ n (x) sin(qx), cos(qx) { Nn e E n < 0 : ψ n (x) = κnx für x < a N n e κnx für x > a } mit κ = m( En ) (06) und Normierungskonstanten N n, N n. 53

54 ungerade Funktion: (EW = -1)áψ(x) = ψ( x) = ψ(x). Kastenpotential = Potentialtopf Teilchen im Potenzial Paritätsoperator = Raumspiegelungsoperator áψ(x) = ψ( x) (07) In unserem Falle: [ Háψ(x) = Hψ( x) = d ] m dx + V (x) ψ(x) [ áhψ(x) = d ] m d( x) + V ( x) ψ( x) = Hψ( x) wegen V ( x) = V (x) = Háψ(x) [H,á] = 0 (08) nur für symmetrische Potentiale Es gibt eine Basis aus gemeinsamen Eigenfunktionen von H undá gerade Funktion: (EW = 1) á =½ Eigenwerte ± 1 (09) áψ(x) = ψ( x) = ψ(x) ψ(x) x ψ(x) x 54

55 Teilchen im Potenzial. Kastenpotential = Potentialtopf gerade Lösung: N n = N n in (06) oszillierend ψ n (x) = C n cos(q n x) für a a mit q n = m(en + V 0 ) (10) (06) und (10) V 0 < E < 0 Exponentielle Lösung (E < V 0 ) im x a erfüllen nicht die Stetigkeit von ψ n (x) und ψ n (x) bei x = ±a Stetigkeit (06), (10) ψ n (x) = N n e κna! = C n cos(q n a) (11) ψ n(x) = κ n N n e κna = C n q n sin(q n a) (1) (1) (11) = κ n = q n tan(q n a) κ n q n = tan(q n a) (13) Wegen ζ (04) = a mv 0 = a m(v 0 + E E) = a [ qn + κ ] n bedeutet: (13) tan(q n a) = ζ (q n a) q n a (14) (14) bestimmt q n a und damit E n Graphische Lösung: 55

56 . Kastenpotential = Potentialtopf Teilchen im Potenzial tan(qa) ζ (qa) q 0 qa q q4 ζ π 3π 5π π π qa Zahl der geraden Lösungen: n g = [ ] ζ π + 1 (15) Je kleiner ζ desto weniger Eigenwerte gibt es. Energie-Eigenwerte: E n (10) = q n m V 0 (16) Insbesondere E 0 existiert immer und V 0 < E 0 < π 8ma ungerade Lösungen: N n = N n in (06) und ψ n (x) = S n sin(q n x) (17) Setigkeitsbedingungen liefern analog zu (11)-(13): cot(q n a) = κ n ζ (q n a) = q n q n a (18) 56

57 Teilchen im Potenzial. Kastenpotential = Potentialtopf ζ (qa) cot(qa) qa q 0 q π 3π 5π π π ζ qa Ungerade Lösungen gibt es nur für ζ π, also mv 0a > π 4 Lösungen: n = 1 n = a a n = 3 Zustand [ q n a ] Symmetrie Knotenzahl Grundz n = 0 0, π [ gerade 0 n = 1 π [, π] ] ungerade 1 n = π, 3π gerade 57

58 .3 Harmonischer Oszillator Teilchen im Potenzial.3 Harmonischer Oszillator d.h. Federkonstante k = m ω H = P m + m ω X (19) Algebraische Lösungen (M. Borne, N. Wiener) charakteristische Längenskala des Problems x 0 := m ω [ 1 P x 0 = H = ω + 1 ( ) ] X x 0 Vernichtungsoperator (=Absteigeoperator, annihilation operator) a = 1 ( X + i P x ) 0 x 0 Erzeugungsoperator (=Aufsteigeoperator, creation operator) a = 1 ( X i P x ) 0 x 0 (0) (1) () (3) = Besetzungszahloperator () und (3) liefern: [ a, a ] = 1 i (110) = 1 N = 1 ( X i P x 0 x 0 = 1 [ X x 0 = H ω 1 ] [ ([P x 0, Xx0 X ]), P x 0 x 0 i ( i i ) = 1 (4) N := a a (5) + P x 0 + i ) ( X + i P x 0 x 0 ] [X, P] } {{ } i ) = H = ω ( N + 1 ) (6) Also: Eigenzustände von H sind Eigenzustände von N mit n Êwegen N = N N n = n n (7) 58

59 Teilchen im Potenzial.3 Harmonischer Oszillator n ist ein Eigenket zum Eigenwert n. Betrachte a n : n = n n n = n N n (5) = n a a n = an an = a n 0 (8) [ N, a ] = [ a a, a ] = a [ a, a ] + [ a, a ] a = a (9) } {{ } } {{ } =1 s.(4) =0 [N, a] = [ a, N ] (9) = ( a ) = a (30) N a n = ([N, a] + a N) n (30)(7) = a n + a n n = (n 1)a n (31) = a n ist Eigenket zu N mit Eigenwert n 1 oder a n = 0. Ist a n = 0 ist N n = a a n = 0 n = 0 Achtung: 0 0! N 0 = 0 (3) Aus (31) folgt durch vollst. Induktion, dass a k n Eigenvektor zu N mit Eigenwert n k ist, außer wenn k n Æ. Wegen (8) muss für Eigenwerte n k 0 sein. Wäre n Æ0, so könnten wir mit hinreichend großen k (8) verletzen. Konstruktion der Eigenkets - zwei Möglichkeiten: 1. Grundzustand 0 ist nicht entartet. Grundzustand 0 ist entartet = n Æ0 (33) Welche Möglichkeit realisiert ist, hängt vom Hilbertraum H ab. (9) = N a n = a N n + [ N, a ] n } {{ } } {{ } n n a s.(9) = (n + 1)a n Somit ist a n Eigenzustand zu N mit Eigenwert n + 1. Normierung: a n = a n a n = n aa n = n [ a, a ] n + n a a n } {{ } =1s.(4) = 1 + n 59

60 .3 Harmonischer Oszillator Teilchen im Potenzial = n + 1 := Im Fall 1 (nicht entarteter GZ 0 ) definieren wir rekursiv: n (34) = 1 n a n 1 = 1 n + 1 a n ist normiert. (34) 1 n (n 1) ( a ) n = 1 n! ( a ) n 0 (35) Weiter: a n (34) = 1 n a a n 1 = 1 [ a, a ] n n } {{ } n }{{} a a n 1 =1 =N = 1 n n 1 = n n 1 (36) n Zusammenfassung von (34) und (36) a n = } n + 1 n + 1 a n = n n 1 (37) und a n n = n! 0 (38) Haben wir im Fall 1 mit (35) alle Eigenzustände gefunden? Ja! Beweis: Annahme: Es gibt außer n in (35) noch einen weiteren Ket n mit N n = n n und n n = 0, d.h. n ist entartet. Wegen (31) ist a n n EZ von N zu n = 0. Nicht entarteter Grundzustand a n n = e iϕ n! 0 (39) 1 n! (a ) n a n n = e iϕ 1 (a ) n 0 (35) = e iϕ n n! = Im Fall haben wir Grundzustände mit Entartungsindex λ. Analog findet man: 1 n! n (a ) n a n n = e iϕ n n = 0 = a n n = 0 Widerspruch zu (39) 0, λ n, λ = 1 n! (a ) n 0, λ 60

61 Teilchen im Potenzial.3 Harmonischer Oszillator Sind alle Eigenzustände zum Eigenwert n von N. Wegen (6) sind die Energieeigenwerte ( E n = ω n + 1 ) n Æ0 (40) V (x) 3 E E 1 1 E x x0 Streuzustände gibt es nicht. H = L (Ê), Ortsdarstellung: a 0 (37) = 0 Standard-Lösungsweg: Ansatz: 0 = x a 0 () = 1 x X + i Px 0 x 0 0 = 1 [ x i x 0 d x 0 i dx ] x 0 } {{ } ψ 0(x) [ d dx + x ] x ψ 0 (x) = 0 (41) 0 DGL 1.Ordnung! [ Produktregel d = dx + f (x) + x x 0 } {{ } ( d e f(x) dx + x ) x ψ 0 (x) = 0 0 ] e f(x) ψ 0 (x) = 0! =0 61

62 .3 Harmonischer Oszillator Teilchen im Potenzial Wähle f (x) = x, also f(x) = 1 x 0 ( ). x x 0 d dx [ ] e 1 x x 0 ψ 0 (x) = 0 ψ 0 (x) = c e 1 x x 0 Normierung: 1 = 0 0 = c + dxe x x 0 = c x 0 π Wähle: Grundzustands-Wellenfunktion c = (x 0 π) 1 ψ 0 (x) = ( x 0 π ) 1 e 1 x x 0 (4) Übrige n > 0: ψ n (x) = (35) = = x n 1 x a 0 n! [ ] n 1 1 x d x 0 ψ 0 (x) n! n x 0 dx Dimensionslose Variable: ξ := x x 0 [ 1 1 ψ n (x 0 ξ) = ξ d n ψ n (x 0 ξ) n! n dξ] (4) = ( [ ) x 0 π ξ d ] n e ξ n! n dξ = ( x 0 π n! n ) 1 H n (ξ)e ξ (43) mit H n (ξ) = e ξ [ ξ d ] n e ξ (44) dξ 6

63 Teilchen im Potenzial.3 Harmonischer Oszillator Opperator-Identität: denn A ξ ψ(ξ) = e ξ A ξ := e ξ = e ξ = d dξ ( ξ d ) e ξ d = dξ dξ ( ξ d ) e ξ ψ(ξ) dξ [ ] ξe ξ ξ ψ(ξ) ξe ξ ψ(ξ) e d dξ ψ(ξ) ( 1) n dn dξ n = An ξ ξ := e [ ξ d ] n e ξ (45) dξ Einsetzen von (45) in (44): H n (ξ) = ( 1) n dn ξ e dξ n e ξ ist die Definitions-Gleichung der Hermite-Polynome. H 0 (ξ) = 1 H 3 (ξ) = 8ξ 3 1ξ H 1 (ξ) = ξ H 4 (ξ) = 16ξ 4 48ξ + 1 H (ξ) = 4ξ H 5 (ξ) = 3ξ 5 160ξ ξ (46) (47) Aus δ nm = n m = + dxψ n(x)ψ m (x) folgen mit (43) die Orthogonalitätsrelation: + dξe ξ H n (ξ)h m (ξ) = π n n!δ nm (48) Wobei e ξ die sogenannte Gewichtsfunktion ist. Ihre Wahl definiert die Orthogonalitätspolynome. In unserem Falle die Hermite-Polynome Aus n n = 1 folgt die Vollständigkeitsrelation n=0 ψ n (x)ψn (x ) = x n n x = x x = δ(x x ) (49) n=0 n=0 Mit (43): H n (ξ)h n (ξ ) = π n! n e ξ δ(ξ ξ ) (50) n=0 63

64 .3 Harmonischer Oszillator Teilchen im Potenzial Weitere Eigenschaften: Erzeugende Funktionen e t +tξ = n=0 1 n! tn H n (ξ) (51) Hermite sche DGL [ d dξ ξ d ] dξ + n H n (ξ) = 0 (5) klassische Physik: niedrigste Energie E = 0 QM: niedrigste Energie E 0 = ω Nullpunktsenergie Ein Zustand mit E = 0 würde x p verletzen. X = x 0 (a + a ) (53) P = i x 0 (a a) (54) n X n (53) = x 0 n a + a n (37) = x 0 = 0 klar HO schwingt um Ruhelage [ n n n 1 } {{ } =0 + ] n + 1 n n + 1 } {{ } =0 Ebenso: n P n = 0 ( X) = n X n (53) = x 0 = x 0 = x 0 = x 0 n (a + a ) n [ n a n + n aa + a a n } {{ } } {{ } [ =0 = n a, a ] } {{ } =1 [ n n + n N n ] +N n ] + n a n } {{ } =0 (n + 1) (55) 64