Theoretical Biophysics - Quantum Theory and Molecular Dynamics. 6. Vorlesung. Pawel Romanczuk WS 2016/17

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1 Theoretical Biophysics - Quantum Theory and Molecular Dynamics 6. Vorlesung Pawel Romanczuk WS 2016/17

2 Zusammenfassung letzte VL Streuzustände Potentialschwelle Potentialbarriere/Tunneleffekt Endlicher Potentialtopf Gebundene Zustände Streuung

3 Formalismus der Quantentheorie In den vergangenen VL-en haben wir einige einfache quantenmechanische Modellsysteme kennengelernt, und erste Erfahrungen mit Wellenfunktionen und Operatoren gemacht. Allgemeine Eigenschaften der Quantentheorie, wie z.b. die Orthogonalität von Eigenfunktionen, ergeben sich direkt aus der grundlegenden mathematischen Struktur der Theorie (Operatorentheorie auf dem Hilbertraum). Im folgenden wollen wir diesen Formalismus kurz kennenlernen, mit Rückgriffen auf die Inhalte der letzten Vorlesungen und Analogien zur linearen Algebra (streng genommen handelt es sich um eine Generalisierung der bekannten linearen Algebra) Kennenlerenen der sogenannten Dirac-Notation (Bra-Ket Notation)

4 Zustandsraum Hilbertraum klassisch: als Vektorraum der physikalischen Zustände QM: Die Zustände leben in einem potentiell unendlich dimensionalen Vektorraum komplexer Funktionen Hilbertraum QM: Zwei 'Vektoren' im Hilbertraum die sich um einen konstanten skalaren Faktor unterscheiden, entsprechen dem gleichen physikalischen Zustand

5 Eigenschaften - Hilbertraum Sei ein komplexer, linearer Vektorraum Dann gelten folgende Beziehungen: Addition: Multiplikation: Assoziativität: Nullvektor: Inverse bezüglich Addition: Distributivität:

6 Dimension Hilbertraum Die Menge von Vektoren heißt linear unabhängig falls nur durch für alle i erfüllt ist. Die Dimension von ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in. Analog zum linear abhängig linear unabhängig

7 Skalarprodukt Der Hilbertraum ist ein unitärer Vektorraum. Einem paar von Vektoren ist ein Skalarprodukt zugeordnet mit folgenden Eigenschaften: (Index * bedeutet komplex konjugiert) Für komplexe Funktionen Skalarprodukt als Faltung:

8 Orthogonalität und Norm 1) Zwei Vektoren heißen orthogonal wenn 2) Die Norm von wird durch das Skalarprodukt bestimmt: Die Norm erfüllt die Schwartz'sche Ungleichung Dreiecksungleichung

9 Orthonormalbasis Für endlich dimensionale Orthonormalbasis mit Dimension n existiert eine vollständige mit Jeder beliebige Vektor dargestellt werden: kann als linear Kombination von Basisvektoren mit

10 Vollständigkeit und Separabilität ist vollständig: Jede Cauchy-Folge konvergiert in. hat keine Löcher ist separabel: Für jedes Element existiert eine Cauchy-Folge mit als Grenzvektor.

11 Unendlich Dimensionaler Raum ist abzählbar unendlich dimensional Entwicklung beliebiger Elemente

12 Dualer Raum bra Element von ket Element von Dualer Raum zu : Die Menge aller linearen Abbildungen von auf. Analogie zu Spalten- und Zeilenvektoren im :

13 Uneigentliche Diracvektoren Formal: Übergang möglich von diskreten ( eigentliche Vektoren ) zu kontinuierlichen uneigentliche Vektoren Erweiterter Hilbertraum die Menge der eigentlichen und uneigentlichen Vektoren Einheitliche Schreibweise:

14 Lineare Operatoren Lineare Operatoren lineare Abbildungen auf dem Hilbertaum Eigenschaften: Nulloperator: Einheitsoperator: Analogie zu : Lineare Operatoren Matrizen

15 Adjungierte Operatoren Adjungierter Operator zu : mit Es gilt: Der adjungierte Operator wirkt im wie in Analogie zur linearen Algebra: adjungierter Operator korrespondiert zu transponierter Matrix.

16 Hermitische Operatoren Hermitischer (selbt-adjungierter) Operator: QM: Observablen werden durch hermitesche Operatoren dargestellt. Eigenwertproblem für hermitesche Operatoren: Eigenvektor Eigenwert

17 Eigenschaften Hermitische Operatoren Erwartungswerte ( Messungen ) eines hermiteschen Operators sind reel : Eigenwerte sind reel: Die Eigenzustände sind vollständig und zueinander orthogonal ( Basis): Eigenvektoren zu korrespondieren zu sogenannten determinierten Zuständen: Die Messung des Erwartungswertes ergibt immer die gleiche Zahl.

18 Spektrum eines Hermiteschen Operators Die Menge aller Eigenwerte eines hermiteschen Operators bezeichnet man als dessen Spektrum. diskret Beispiel: unendl. Potentialtopf, harm. Oszillator kontinuierlich Beispiel: freies Teilchen diskret+ kontinuierlich Beispiel: endl. Potentialtopf

19 Paar wichtige Operatorentypen Projektionsoperator: Projiziert einen beliebigen Zustand auf einen anderen: Projektion über eine vollständiges Set von Eigenfunktionen: Inverser Operator zu :

20 Paar wichtige Operatorentypen Unitäre Operatoren: häufig dargestellt mit Hilfe eines hermiteschen Operators : Sie definieren unitäre Transformationen: Unitäre Transformationen lassen Skalarprodukte, Erwartungswerte, und Eigenwerte unverändert. Unitäre Transformationen lassen die Physik unverändert! Beispiel aus der linearen Algebra: Rotation des Raumes um einen festen Winkel (Rotationsmatrix) is eine unitäre Transformation.

21 Matrixdarstellung eines Operators Gegeben sei eine abzählbare Orthonormalbasis Dann können wir einen Operator als Matrix in der Basis darstellen:

22 Der Messprozess als Determinator Gedankenexperiment Messung von : Die Messaparatur ist ein Trenner mit Blenden der den Zustand auf die Eigenzustände projiziert alle Blenden offen keine Messung nur ein Blende geöffnet Messung von Messergebnis Zustand wurde präpariert als

23 Der Messprozess als Determinator Trenner mit zwei geöffneten Blenden Endzustand: Überlagerung zweier Eigenzustände

24 Der Messprozess als Determinator Wiederholte Messung der Observable Die gleiche Blende geöffnet ( veträglich ) liefert das gleiche Ergebnis

25 Der Messprozess als Determinator Wiederholte Messung der Observable Verschiedene Blenden geöffnet ( unveträglich ) Nullzustand

26 Messung zweier verträglicher Observablen Hinteinanderschaltung von Messung zweier simultan messbarer Observablen und Observablen sind verträglich, wenn die entsprechenden Operatoren kommutieren Schaltet man alle möglichen verträglichen Trenner hintereinander erhält man einen sogenannten reinen Zustand.