Denition eines Orthonormalsystems (ONS) Eine Teilmenge M eines Prähilbertraums V mit dim(m) = n dim(v ) = m heiÿt Orthonormalsystem, wenn gilt:
|
|
- Holger Richter
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Hilbertraum Durch Verallgemeinerung der aus der Linearen Algebra bekannten Konzepte wie Basis, Orthogonalität und Projektion lassen sich die Eigenschaften des Hilbertraumes verstehen. Vorweg eine kurze Wiederholung der Linearen Algebra. Lineare Algebra Ein Orthonormalsystem ist eine Menge von Vektoren in einem euklidischen oder unitären Vektorraum mit deniertem Skalarprodukt (Prähilbertraum), die bestimmte Eigenschaften erfüllen. Denition eines Orthonormalsystems (ONS) Eine Teilmenge M eines Prähilbertraums V mit dim(m) = n dim(v ) = m heiÿt Orthonormalsystem, wenn gilt: O1: v, w M : v w v w = Je zwei Vektoren aus M sind zueinander Orthogonal O2: M Der Nullvektor ist in M nicht enthalten O3: v M : v = 1 Jeder Vektor in M hat die Norm 1 Eine zu O1-O3 äquivalente Denition lautet {v 1, v 2,..., v n } M : v i v j = (δ ij ) m,n Im Allgemeinen gilt für ein ONS dim(m) dim(v ), im Fall dim(m) = dim(v ) spricht man von einem vollständigen Orthonormalsystem (VONS). Das VONS bildet eine Orthonormalbasis (ONB) des Vektorraums V. 1
2 Denition einer Orthonormalbasis Eine Teilmenge B eines Prähilbertraums V mit dim(b) = dim(v ) = m heiÿt Orthonormalbasis, wenn gilt: {b 1, b 2,..., b m } B : b i b j = (δ ij ) m,m Mit der m m Einheitsmatrix (δ ij ) m,m Jedes Element von V muss sich als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen lassen und diese Darstellung muss eindeutig sein. Denn sei {b 1, b 2,..., b m } eine ONB des Prähilbertraums V, dann lässt sich jedes ψ V darstellen als m ψ = b i c i wobei die Entwicklungskoezienten c i C eindeutig durch gegeben sind. Dann ist ψ gegeben als Der Ausdruck ψ = i=1 c i = b i ψ = b i ψ m b i b i ψ i=1 ψ V m b i b i = (δ ij) m,m = 1 i=1 heiÿt Vollständigkeitsrelation. Beispiel 1 B =, 1/ 2 i/ 2, i/ 2 1/ 2 ψ = 2 Sobald man eine Basis gewählt hat, ist die Darstellung des Vektors ψ in dieser eindeutig. Die Entwicklungskoezienten c i ergeben sich zu {, i, 1}. Die Darstellung dieses Vektors wäre sogar ohne den Basisvektor b 1 möglich, allerdings wäre dann die Vollständigkeitsrelation nicht mehr erfüllt, da m=3 i=2 b i b i = 1/2 i/2 + 1 /2 i/2 i /2 1/2 i /2 1/2 = 1 1 2
3 keine vollständige m x m Einheitsmatrix ist. Auÿerdem lieÿe sich nicht jeder Vektor in C 3 in dieser Basis entwickeln. Die Matrizen 1 b 1 b 1 = b 2 b 2 = 1 /2 i/2 i /2 1/2 b 3 b 3 = 1/2 i/2 i /2 1/2 heiÿen Projektionsoperatoren. Sei M ein Teilraum eines unitären Vektorraumes U mit ψ M M. Dann bezeichnet man ψ M als die orthogonale Projektion von ψ auf den Teilraum M (dimm=n). n M = ϕ i ϕ i ψ (1) i=1 Was heiÿt das denn genau? Wie kommt man darauf? Für Vektoren in R 2 wird es anschaulich klar. Wir projizieren den Vektor ψ auf den Vektor ϕ. Die Projektion p wird ein vielfaches des Vektors ϕ sein p = x ϕ und der Fehler (error) Vektor e = ψ p. Abbildung 1: Projektion Wie groÿ ist der Faktor x? Die wichtige Eigenschaft in diesem Fall ist, dass die Vektoren e und p orthogonal zu einander sind. Wir benutzen das und schreiben ϕ T (ψ xϕ) = xϕ T ϕ = ϕ T ψ x = ϕt ψ ϕ T ϕ 3
4 so erhalten wir schlieÿlich für die Projektion mit dem Projektionsoperator p = ϕx = ϕϕt ϕ T ϕ ψ P = ϕϕt ϕ T ϕ in unserem vorigen Beispiel sind die Vektoren normiert, der Nenner wird also zur Zahl 1. Dieses Konzept lässt sich, wenn man sich von der Anschaulichkeit löst, auf den C n übertragen. Orthogonale Funktionen Auch das Konzept der Orthogonalität lässt sich erweitern. Haben wir im vorigen Abschnitt Vektoren betrachtet, möchten wir nun orthogonale Funktionen verstehen. Wenn jemand bereits mit Fourier Reihen gearbeitet hat, hat er implizit bereits die Orthogonalität von sin(x) bzw. cos(x) Funktionen benutzt. Periodische Funktionen können als Summe von sin(x) und cos(x) Funktionen geschrieben werden. f(x) = k a k cos(kx) + b k sin(kx) (2) Die gerade Funktion oder korrekter Distribution δ(x) kann als Summe der geraden cos(kx) Funktionen geschrieben werden. δ(x) = a + a 1 cos(x) + a 2 cos(2x) + a 3 cos(3x) +... Wie bestimmt man nun die Koezienten? Wieder ist die wichtige Eigenschaft die wir benutzen Orthogonalität. Aber was heiÿt das bei Funktionen? Betrachten wir zunächst den Koezienten a 1. Wir multiplizieren die Gleichung mit cos(x) und integrieren über das Intervall [, π] δ(x)cos(x)dx = = {}}{ a cos(x)dx + =a 1 π {}}{ a 1 cos 2 (x)dx + a 3 cos(2x)cos(x)dx + + a k cos(kx)cos(x)dx +... } {{ } } {{ } = = 4
5 Wir erhalten für a u. a 1 a = 1 2π a 1 = 1 π δ(x)cos(x)dx = 1 2π δ(x)cos(x)dx = 1 π bzw. allgemein für a k a k = 1 π δ(x)cos(kx)dx = 1 π Alle Integrale auf der rechten Seite sind Null, auÿer das integral von a k cos 2 (kx)dx = π bzw. a dx = 2π Allgemein gilt: 2π für k = l = cos(kx)cos(lx)dx = π für k = l > für k l = sin(kx)sin(lx)dx = für k = l = π für k = l > für k l = (3) (4) sin(kx)cos(lx)dx = für alle k und l (5) Die Fourier Reihen Entwicklung der Delta Distribution ergibt also δ(x) = 1 2π + 1 π cos(x) + 1 π cos(2x) + 1 π cos(3x) +... Man nennt die a k 's das Spektrum der Fourier Reihe. Es sagt uns "wie viel vom cos(kx)" in unserer Funktion steckt. In unserem Beispiel sind die a k 's konstant. Wenn wir die cos(kx) Funktionen als e Funktionen darstellen, sehen wir unmittelbar, das dieses Ergebnis mit der komplexen Formulierung der Fourier Reihen Entwicklung äquivalent ist. δ(x) = 1 ( ) 1 + e ix + e ix + e i2x + e i2x + + e ikx + e ikx π komplexe Formulierung der Fourier Reihen Entwicklung f(x) = c k e ikx (6) k= Analog zu den Gleichungen (3) (4) (5) gilt im komplexen { e ikx e ilx 2π für k = l = = für k l = so könne die Koezienten bestimmt werden. (7) 5
6 Ich möchte nach der Wiederholung bereits bekannter Konzepte eine neue Sichtweise einführen. Dazu betrachten wir analog zur Projektion in der Linearen Algebra, die Fourier Reihen Entwicklung als die Projektion einer Funktion in den Raum der orthogonalen Funktionen. Die Koezienten übernehmen dann die Bedeutung der Koordinaten in der Linearen Algebra. Wir denieren das Skalarprodukt zur Multiplikation zweier Funktionen: u i u j = b a dr u i (r) u j (r) (8) Eine Menge von Funktionen {u 1 (r), u 2 (r),... } mit u i (r) F bildet eine Basis wenn jede Funktion ψ auf eindeutige weise in dieser entwickelt werden kann. ψ(r) = i c i u i (r) (9) mit Komponenten c i u j ψ = u j i c i u i = i c i u i u j = i c i δ ij = c j (1) Haben wir eine Basis gewählt, ist die Angabe der Komponenten c i zur Angabe von ψ(r) äquivalent. Man sagt die Menge der c i sei eine Darstellung der Funktion ψ(r). Als Basis können wir alle Funktion benutzen, die orthonormiert sind u i u j = b a dr u i (r) u j (r) = δ ij (11) und die Vollständigkeitsrelation erfüllen. (vergl. LinAlg) [ ] dr u i (r ) ψ(r ) u i (r) ψ(r) = i = c i u i (r) = i u j ψ u i (r) = i [ ] dr ψ(r ) u i (r ) u i (r) = i dr ψ(r ) δ(r r ) (12) 6
7 Auÿer sin(x) und cos(x) bzw. e Funktionen, gibt es noch andere wichtige Basen (Legendre- Chebyshev- Bessel- Laguerre- Hermite-Polynome). Das Grundproblem der Elektrostatik z.b., die Lösung der Poisson-Gleichung mit Randbedingungen, ist bei komplexeren Aufgaben nur durch die Orthogonalität der Legendre Polynome möglich. Wir möchten hier aber den Zusammenhang mit der Quantenmechanik besprechen. Und auch hier benutzt man die Lösung der Legendre Dierentialgleichung, die Legendre Polynome welche Teillösung der dreidimensionalen Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten sind (Kugelächenfunktion). Wir haben im Laufe der Verallgemeinerung verschiedener Konzepte bereits die endlich dimensionalen Vektorräume verlassen, als wir die Fourier Reihen von i = bis entwickelt haben. Jetzt möchten wir auch die diskrete Basis verlassen und unsere Konzepte auch auf die kontinuierlichen Basen erweitern. Kontinuierliche Basen Um konkret zu werden betrachten wir nun die ebene Welle v p (x) = 1 2πħ e ipx/ħ (13) wobei k = p/ħ der Wellenvektor ist (der Einfachheit halber in einer Dimension). Wir haben nun keine diskrete Basis mehr, denn wir erlauben jeden möglichen Impuls p R. Wir integrieren ein Spektrum von Wellen ψ(x) = 1 2πħ dp ψ(p) e ipx/ħ dieses Spektrum ist ebenfalls ein kontinuierliches Spektrum durch die Fourier Transformierte. ψ(p) = 1 2πħ dp ψ(x) e ipx/ħ ψ(p) gegeben Wie die Koezienten bei den Fourier Reihen sagt uns die Fourier Transformierte, "wie viel von einem bestimmten Impuls p " in der Welle ψ(x) steckt. Wir verlieren nun also auch die Anschaulichkeit der Koordinaten in Form der Koezienten unserer Reihen Entwicklung und erhalten dafür kontinuierliche Basen. Man spricht bei diskreten Spektren von abzählbar unendlich vielen Koezienten und bei kontinuierlichen Spektren von überabzählbar unendlich vielen Koezienten, Begrie die in der Mengenlehre exakt deniert sind. 7
8 Wir berechnen die Fourier Transformierte der δ Distribution f(p) = f(x) = 1 2π δ(p) = δ(x) = 1 2π f(x)e ipx dx f(p)e ipx dp δ(x)e ipx dx = 1 e ipx dp (14) Jedes ψ(x) lässt sich eindeutig also Kombination von v ps darstellen ψ(x) = mit "kontinuierlichen Komponenten" ψ(p) = dp ψ(p) v p (x) (15) ψ(x) dx ψ(x) v p(x) (16) Wenn wir nun unsere neue Basis v p betrachten erhalten wir in Analogie zur ONB von u i 's mit u i u j = δ ij unter Verwendung von (14) den Ausdruck 1 vp v p = e i x ħ (p p) dx = δ(p p) (17) 2πħ sowie die kontinuierliche Form der Vollständigkeitsrelation ψ(x) = 1 [ ] dx ψ(x ) v 2πħ p(x ) dp v p (x) (18) = = dx ψ(x ) vp (x ) v p (x) = 1 2πħ dp v p(x ) v p (x) dx ψ(x ) δ(x x ) e i p ħ (x x ) dp = δ(x x ) (19) 8
9 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein Teilchen zum Zeitpunkt t im Volumenelement d 3 r um den Punkt r aufhält ist ψ(r, t) 2 d 3 r. Man muss das Teilchen auf jeden Fall irgendwo im Raum antreen. Also ψ ψ = d 3 r ψ (r, t)ψ(r, t) = d 3 r ψ(r, t) 2 = 1 (2) Soll ψ ein Zustand repräsentieren macht es physikalisch also nur Sinn, wenn gilt ψ ψ mit ψ F F L 2 (21) nur dann können wir ψ normieren. Da Gleichung (17) für p = p divergiert, kann v p kein physikalischer Zustand eines Teilchens sein. Der Formalismus ist allerdings ein wichtiges Hilfsmittel für Berechnungen die man im Zusammenhang mit ψ durchführen muss. Betrachten wir die zur Erläuterung die diskrete Darstellung der Wellenfunktion ψ(r) = c i u i (r) i ψ ψ = i c i c i u i (r)u i (r) dr = i c i 2 Das entspricht in der Basis {u i } gerade der Norm 2 zum c i 2 = ψ(r) 2 < i Wenn also die Länge des Vektors < ist, gilt ψ L 2. Ein Prähilbertraum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Metrik (Abstand) ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert, heiÿt Hilbertraum. Insbesondere können Hilberträume auch unendlichdimensional sein (Wikipedia). ε N N m, n N : c m c n < ε (22) Eine Folge (c i ) i N heiÿt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > einen Index N gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als ε voneinander entfernt sind. 9
u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume
MehrLineare Algebra - alles was man wissen muß
Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger
MehrHöhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik
Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :
MehrPhysik 4, Übung 8, Prof. Förster
Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)
MehrCodes und Codegitter. Katharina Distler. 27. April 2015
Codes und Codegitter Katharina Distler 7. April 015 Inhaltsverzeichnis 1 Codes 4 Codegitter 14 Einleitung Die folgende Seminararbeit behandelt das Konzept von Codes und Codegittern. Da sie bei der Informationsübertragung
MehrErinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen
Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend
Mehr6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische
MehrGNS-Konstruktion und normale Zustände. 1 Rückblick. 2 Beispiel für einen Typ-II 1 -Faktor
GNS-Konstruktion und normale Zustände 1 Rückblick Wir betrachten von-neumann-algebren M B(H), d.h. Unteralgebren mit 1 H M, die in der schwachen Operatortopologie (und damit in jeder der anderen) abgeschlossen
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
MehrOrthogonale Funktionenräume
Orthogonale Funktionenräume Richard Küng February 27, 24 Contents Vektorräume mit Skalarprodukt 2 2 Lineare Abbildungen: Matrizen und Operatoren 8 2. Matrizen................................ 8 2.. Diagonalisieren
Mehrklar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s
Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen
MehrII. Klein Gordon-Gleichung
II. Klein Gordon-Gleichung Dieses Kapitel und die zwei darauf folgenden befassen sich mit relativistischen Wellengleichungen, 1 für Teilchen mit dem Spin 0 (hiernach), 2 (Kap. III) oder 1 (Kap. IV). In
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrMathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen
Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Integralrechnung 03.12.08 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral als Umkehrung der Ableitung Idee:
MehrEinführung in die Funktionalanalysis
Einführung in die Funktionalanalysis Bernhard Gsell Skriptum zur Vorlesung gelesen von Prof. Wolfgang Woess 21. August 2014 Dies ist die Umsetzung meiner Vorlesungsmitschrift zu Einführung in die Funktionalanalysis,
MehrEinführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
MehrMathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011
Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h
MehrMathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.
Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrSO(2) und SO(3) Martin Schlederer. 06. Dezember 2012
SO(2) und SO(3) Martin Schlederer 06. Dezember 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 2 Wiederholung 2 2.1 Spezielle Orthogonale Gruppe SO(n)..................... 2 2.2 Erzeuger.....................................
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität
MehrGrundlagen der Mathematik II
Wintersemester 204/205 - Aufgabenblatt I Abgabe: bis Donnerstag, den 6. November 204, 9:00 Uhr Aufgabe : Untersuchen Sie, für welche 2 C die folgende Matrix c diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie für
Mehr13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
MehrDie Klein-Gordon Gleichung
Kapitel 5 Die Klein-Gordon Gleichung 5.1 Einleitung Die Gleichung für die Rutherford-Streuung ist ein sehr nützlicher Ansatz, um die Streuung von geladenen Teilchen zu studieren. Viele Aspekte sind aber
MehrEine divergenzfreie Rekonstruktion für eine nicht-konforme Diskretisierung der inkompressiblen Stokes-Gleichungen
Eine divergenzfreie Rekonstruktion für eine nicht-konforme Diskretisierung der inkompressiblen Stokes-Gleichungen von Christian Brennecke Bachelorarbeit in Mathematik vorgelegt der Fakultät für Mathematik
Mehr0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )
Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,
Mehr34 5. FINANZMATHEMATIK
34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.
MehrHauptprüfung Fachhochschulreife 2013. Baden-Württemberg
Hauptprüung Fachhochschulreie 3 Baden-Württemberg Augabe 3 Analysis Hilsmittel: graikähiger Taschenrechner Beruskolleg Alexander Schwarz www.mathe-augaben.com Dezember 3 3. Das Schaubild einer Funktion
MehrGrundlagen der Computer-Tomographie
Grundlagen der Computer-Tomographie Quellenangabe Die folgenden Folien sind zum Teil dem Übersichtsvortrag: imbie.meb.uni-bonn.de/epileptologie/staff/lehnertz/ct1.pdf entnommen. Als Quelle für die mathematischen
MehrReelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013
Reelle Analysis Vorlesungsskript Enno Lenzmann, Universität Basel 7. November 2013 6 L p -Räume Mit Hilfe der Masstheorie können wir nun die sog. L p -Räume einführen. Diese Räume sind wichtig in vielen
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com
MehrInduktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010
Induktive Limiten Arpad Pinter, Tobias Wöhrer 30. Jänner 2010 1 Inhaltsverzeichnis 1 Induktiver Limes von Mengen 2 2 Induktiver Limes von Vektorräumen 4 3 Lokalkonvexe topologische Vektorräumen 7 4 Induktiver
MehrH. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der
MehrGleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien
Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 25, A-6020 Innsbruck, Österreich. Franz.Pauer@uibk.ac.at 18. Juli 2006 1 Einleitung
MehrBitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben.
Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur für alle gemeldeten Fachrichtungen außer Immobilientechnik und Immobilienwirtschaft am 9..9, 9... Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht
Mehrx 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt
- 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +
MehrLineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme
Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie
MehrVorlesung. Funktionen/Abbildungen 1
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
MehrGeometrische Maße oder,... wie kann man quantitative Aussagen über geometrische Objekte erhalten?
In der euklidischen Geometrie der Mittelstufe ging es zumeist um geometrische Konstruktionen und um qualitative Aussagen über geometrische Objekte in Bezug zueinander. Möchte man, insbesondere im dreidimensionalen
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel
Mehr2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also
Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx
MehrGitterherstellung und Polarisation
Versuch 1: Gitterherstellung und Polarisation Bei diesem Versuch wollen wir untersuchen wie man durch Überlagerung von zwei ebenen Wellen Gttterstrukturen erzeugen kann. Im zweiten Teil wird die Sichtbarkeit
MehrRekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)
Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied
MehrBestimmung einer ersten
Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,
MehrEinführung in die Tensorrechnung
1. Definition eines Tensors Tensoren sind Grössen, mit deren Hilfe man Skalare, Vektoren und weitere Grössen analoger Struktur in ein einheitliches Schema zur Beschreibung mathematischer und physikalischer
Mehr3.1. Die komplexen Zahlen
3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
MehrLINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow
LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9
Mehrx 2 x 1 x 3 5.1 Lernen mit Entscheidungsbäumen
5.1 Lernen mit Entscheidungsbäumen Falls zum Beispiel A = {gelb, rot, blau} R 2 und B = {0, 1}, so definiert der folgende Entscheidungsbaum eine Hypothese H : A B (wobei der Attributvektor aus A mit x
MehrÜbungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS
Doz.Dr. Norbert Koksch TU DRESDEN Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Logik: Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage
Mehr2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen
2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )
MehrBasis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.
Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren
MehrBeispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 15 0 6 1. 15 12 x + 3 y 3 z = 15 12 3 3. 15 2 x 3 y = 4 2 3 0.
Beispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 5 0 6 5 2 x + 3 y 3 z = 5 2 3 3 5 2 x 3 y = 4 2 3 0 4 z2 /3 z : 3 2 x 3 y = 4 2 3 0 4 4 x + y z = 5 4 5 6 y + z = 5 0 6 5 z2 + 2 z 2 x 3 y = 4 2
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
MehrMinimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie
Notation Die in dieser Arbeit verwendete Notation ist im Wesentlichen Standard, so wie sie beispielsweise in [As] zu nden ist. Einige Abweichungen hiervon, Klarstellungen und zusätzliche Notationen (sofern
MehrDie Cantor-Funktion. Stephan Welz
Die Cantor-Funktion Stephan Welz Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemester 2009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In dieser
Mehr2.1 Codes: einige Grundbegriffe
Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 2. Mai 2009 51 2.1 Codes: einige Grundbegriffe Wir stellen die wichtigsten Grundbegriffe für Codes über dem Alphabet F q, also über einem endlichen Körper mit q Elementen
MehrDefinition 27 Affiner Raum über Vektorraum V
Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,
MehrAbiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann
Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden
Mehr4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043
Lineare Algebra I 1. Name: Bleeck, Christian 4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043 Abgabe: 15.11.06 12 Uhr (Kasten D1 320) Übungsgruppe: 03 Patrick Schützdeller 2. Name: Niemann, Philipp Matrikelnr.: 6388613
Mehr11 Normalformen von Matrizen
11 Normalformen von Matrizen Wir wenden uns in diesem Kapitel noch einmal der Untersuchung linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Vektorräumen und deren Darstellung mittels Matrizen zu Speziell
MehrBrückenkurs Mathematik Mathe: Das 1x1 der Ingenieurwissenschaften
Brückenkurs Mathematik Mathe: Das x der Ingenieurwissenschaften Gewöhnliche Differentialgleichungen, lineare Algebra oder Integralrechnung vertiefte Kenntnisse der Mathematik sind Voraussetzung für den
MehrLineare Algebra für Informatiker TUM Sommersemester 2011 Dozent: Christian Pötzsche
Lineare Algebra für Informatiker TUM Sommersemester 20 Dozent: Christian Pötzsche Janosch Maier 3. Juli 20 Herzlichen Dank an Lucas Westermann, Florian Scheibner (https://github. com/lswest/lamitschrift)
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
MehrAusgewählte Aufgaben zum Grundbereich des Staatsexamens in Mathematik. Lineare Algebra. zusammengestellt von
Ausgewählte Aufgaben zum Grundbereich des Staatsexamens in Mathematik Lineare Algebra zusammengestellt von Sabine Giese, Josef Heringlehner, Birgit Mielke, Hans Mielke und Ralph-Hardo Schulz 98 Aufgaben,
Mehr9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
MehrMatrixalgebra. mit einer Einführung in lineare Modelle. Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@stat.uni-muenchen.
Matrixalgebra mit einer Einführung in lineare Modelle Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@statuni-muenchende 25 August 24 Vielen Dank an Christiane Belitz, Manuela Hummel und
MehrMatrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.
Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen
Mehrf : C C, z f(z) = zz komplex differenzierbar? Gibt es ein Gebiet G so dass f G analytisch ist?
Tutor: Martin Friesen, martin.friesen@gmx.de Klausurvorbereitung - Lösungsvorschläge- Funktionentheorie Hier eine kleine Sammlung von Klausurvorbereitungsaufgaben vom Sommersemester 008 aus der Vorlesung
MehrMathematische Methoden der Physik: Funktionalanalytische Methoden. Technische Universität Clausthal WS 1998/99
Mathematische Methoden der Physik: Funktionalanalytische Methoden Technische Universität Clausthal WS 1998/99 W. Lücke 3 Vorwort Als Funktionalanalysis bezeichnet man die Analysis von Funktionen, deren
MehrLineare Algebra und Computer Grafik
Lineare Algebra und Computer Grafik Vorlesung an der Hochschule Heilbronn (Stand: 7 Mai ) Prof Dr V Stahl Copyright 6 by Volker Stahl All rights reserved Inhaltsverzeichnis Vektoren 4 Vektoren und Skalare
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
Mehr(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n
Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen 1. (Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1898, S. 309 316.)
MehrVorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter
Vorwort Günter M. Gramlich Lineare Algebra Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-43035-8 sowie im Buchhandel. Carl Hanser
MehrEinführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009
Einführung Vita Rutka Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Was ist FEM? Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung,
MehrBachelorarbeit. Signaltrennung in akustischen Signalen
Universität Passau Fakultät für Informatik und Mathematik Bachelorarbeit zum Thema Signaltrennung in akustischen Signalen Verfasser: Florian Schlenker schlenke@fim.uni-passau.de Universität Passau Prüfer:
MehrNumerische Behandlung des Eigenwertproblems
Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Zusammenfassung Das Ziel dieses Vortrages ist, zwei gute Methoden für die numerische Bestimmung der Eigenwerte zu zeigen und wie man diese mit Matlab anwenden
Mehr2 Was ist Theoretische Chemie?
2 Was ist Theoretische Chemie? 2.1 Motivation Slide 12 Theoretische Chemie Paul Adrian Maurice Dirac (1902-1984, Nobelpreis 1933) 10 wird der Satz zugeschrieben, dass Once the laws of quantum mechanics
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie
MehrAbituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y
MehrZuammenfassung: Reelle Funktionen
Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,
MehrSeminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie
Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrBeispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =
Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.
MehrKochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf
Kochen mit Jordan Vorbereitungen Man nehme eine Matrix A R n n und bestimme ihr charakteristisches Polynom p(λ) = (λ c ) r (λ c j ) rj C[X] Dabei gilt: algebraische Vielfachheit r j ˆ= Länge des Jordanblocks
MehrWelche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?
Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrEinführung in Maple. Version 0.2. Tobias Müller
Version. Tobias Müller Ammerbuch, den 5. April 5 Inhaltsverzeichnis Einfaches Rechnen mit Maple 3. Grundlagen................................................ 3. Einfaches Rechnen mit Maple.......................................
MehrLösungen zum 3. Aufgabenblatt
SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.
MehrErgänzungen zur Analysis I
537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.
MehrII.2 Lösung der freien Klein Gordon-Gleichung
II. Lösung der freien Klein Gordon-Gleichung II..1 Allgemeine Lösung Da die Klein Gordon-Gleichung eine lineare partielle Differentialgleichung ist, kann man als Lösungsansatz eine ebene Welle φ(x) N e
MehrTensorrechnung. Prof. Thomas Apel Institut für Mathematik und Bauinformatik Fakultät für Bauingenieurwesen und Umweltwissenschaften
Tensorrechnung Prof. Thomas Apel Institut für Mathematik und Bauinformatik Fakultät für Bauingenieurwesen und Umweltwissenschaften Wintertrimester 2015 Inhaltsverzeichnis Literatur 2 1 Tensoren 3 1.1 Tensoren
MehrProbestudium der Physik: Mathematische Grundlagen
Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Ludger Santen 1. Februar 2013 Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken 1 Einführung Die Mathematik ist die Sprache der
MehrHamilton-Formalismus
KAPITEL IV Hamilton-Formalismus Einleitung! IV.1 Hamilton sche Bewegungsgleichungen IV.1.1 Kanonisch konjugierter Impuls Sei ein mechanisches System mit s Freiheitsgraden. Im Rahmen des in Kap. II eingeführten
MehrLineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung In diesem Kapitel... Erkennen, wie Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen en für Differentialgleichungen erster Ordnung und ohne -Terme finden Die
MehrVisualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation
Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation Vorlesung: Mi, 9:00 11:00, INF 368 532 Übung: Do, 14:00 16:00, INF 350 OMZ R U011 JProf. Heike Jänicke http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/covis/
MehrTeil II. Nichtlineare Optimierung
Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene
MehrHöhere Mathematik I. 1. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel. Winter 2007/08
Dr. A. App Dr. M. Pfeil. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik I Winter 7/8 Aufgabe P. Binomialkoeffizienten Berechnen Sie ohne Taschenrechner: ( ) (a) x = 5 ( ) ( ) ( ) (b)
MehrDefinition und Eigenschaften Finiter Elemente
Definition und Eigenschaften Finiter Elemente 1 Das letzte Mal Im letzten Vortrag haben wir zum Schluss das Lemma von Lax Milgram präsentiert bekommen, dass ich hier nocheinmal in Erinnerung rufen möchte:
Mehr