Grundlagen der Computer-Tomographie

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1 Grundlagen der Computer-Tomographie

2 Quellenangabe Die folgenden Folien sind zum Teil dem Übersichtsvortrag: imbie.meb.uni-bonn.de/epileptologie/staff/lehnertz/ct1.pdf entnommen. Als Quelle für die mathematischen Grundlagen wurde benutzt: (dann wählen Labs, Computertomographie, Theorie (Seite ganz bis zum Ende durchlaufen) Mathematik ) Als Buch ist zu empfehlen: W.A. Kalender: Computertomographie Publicis MCD Verlag, 2000

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5 Erzeugung von Röntgenstrahlung

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7 Nachweis von Röntgenstrahlung

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19 Mathematische Grundlagen zur Bildrekonstruktion Radon-Transformation Die Grundlage der Bildrekonstruktion mittels der gefilterten Rückprojektion stellt die Radon-Transformation dar. Johann Radon konnte 1917 in einem Artikel "Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten" zeigen, dass eine zweidimensionale Objekteigenschaft f(x,y) exakt beschrieben ist, wenn eine unendliche Anzahl von Linienintegralen vorliegt. Eine zweidimensionale Objekteigenschaft wäre zum Beispiel im Falle der Computertomographie die Verteilung des Absorptionskoeffizienten µ(x,y), welche im CT-Bild in Form von unterschiedlichen Graustufen sichtbar gemacht wird.

20 Die Radon-Transformation hat folgende allgemeine Form: Das Linienintegral, welches entlang der Geraden g unter dem Winkel Θ und der Position s verläuft, wird im Folgenden als Projektion p(θ,s) zum Winkel und zur Position s bezeichnet. Die entsprechende Geradengleichung für die Gerade g, entlang derer die Projektion p(θ,s) verläuft, lässt sich wie folgt bestimmen:

21 Betrachte die Gerade g unter dem Winkel Θ und Position s als die Orthogonale der Ursprungsgeraden entlang s im Punkt s Mit: Wird daraus die Geradengleichung: Folgende Abbildung stellt die Aufnahme einer Projektion p(θ,s) unter dem Winkel Θ und entlang aller Positionen s [ s 0,s max ] dar:

22 Werden jetzt für alle Winkel Θ [0,180] und für alle Positionen s[s 0,s max ] die zugehörigen Projektionen p(θ,s) bestimmt, so geht - laut Radon- Transformation - keine Information über die Objekteigenschaft von f(x,y) verloren. Doch wie kann man anhand der Projektionen p(θ,s) die Funktion f(x,y) rekonstruieren? Die Antwort zu diesem Problem liefert das Fourier-Scheiben-Theorem. Der Anschauung wegen wird im Folgenden eine Projektion zum Winkel Θ = 0 gewählt. Die Projektion p(0,s) kann somit geschrieben werden als p(0,x) und die Integration geht über Geraden, die parallel sind zur y-achse. Daraus folgt: Die 1-dimensionale Fourier-Transformierte P(0,u) von p(0,x) lautet:

23 lässt sich umformen in: Die 1-dim. Fourier-Transformierte zum Winkel Θ = 0 ergibt demnach die Werte der 2-dim. Fourier-Transformierten F(u,0) von f(x,y) auf der u-achse. Auf diese Art und Weise ist also ein erster Zusammenhang zwischen Projektion p(θ,s) und der Funktion f(x,y) hergestellt.

24 Im Folgenden wird eine Projektion zum Winkel Θ 0 betrachtet. Diese Projektion p(θ,s) kann als eine Projektion auf der x -Achse eines gedrehten Koordinatensystems aufgefasst werden. Wendet man die gleichen Überlegungen wie beim Fall Θ = 0 an, so stellt die 1-dim. Fourier-Transformierte der Projektion die Werte auf der u -Achse im Fourierraum F(u,v) dar. Die u -Achse ist dabei um den gleichen Winkel Θ gedreht wie die x -Achse.

25 Allgemein gilt: Die Fourier-Transformierte einer um den Winkel Θ gedrehten Funktion f(x,y) ist um den gleichen Winkel Θ gegenüber der Fourier-Transformierten F(u,v) verdreht. Damit gilt das Fourier-Scheiben-Theorem: Gegeben sei eine Funktion f(x,y) und sei F(u,v) deren 2-dim. Fourier- Transformierte. Sei weiter P(Θ,w) die 1-dim. Fourier-Transformierte der Projektion p(θ,s). Dann beschreibt P(Θ,w) die Werte von F(u,v) auf einem Radialstrahl zum Winkel Θ. Das heißt also: Durch inverse Fourier-Transformation kann man die ursprüngliche Funktion f(x,y) aus den Projektionen p(θ,s) rekonstruieren.

26 Vorgehensweise:

27 Es gibt aber Probleme, die man mit der gefilterten Rücktransformation löst: a) Rückprojektion Die gesuchte Funktion µ(x,y) wird im Folgenden der Einfachheit halber mit f(x,y) bezeichnet. Durch inverse Fourier-Transformation berechnet sich f(x,y) dann zu: Im Fourier-Raum werden jetzt ebene Polarkoordinaten eingeführt:

28 Dann folgt: Mit kann man dies umschreiben in: mit Nach dem Fourier-Scheiben-Theorem gilt:

29 b) Rückprojektion mit Filterung Wäre der Faktor w nicht in der Gleichung, so würde man durch inverse Fourier-Transformation von P(Θ,w) die originale Projektion p(θ,s) zurück erhalten. Dieser Faktor w stellt eine so genannte Filterung im Fourier- Raum dar. ist daher eine gefilterte Projektion. Diese gefilterte Projektion kann man auf zwei Arten bestimmen: 1) Multiplikation der 1-dim. Fourier-Transformierten P(Θ,w) im Fourier- Raum mit w nach der Gleichung: 2) Faltung der gemessenen Projektion p(,s) mit Faltungsfunktion h(s):

30 Die folgende Tabelle soll die Operationen im Ort- bzw. Fourier- Raum verdeutlichen: Ortsraum Fourier-Raum f(x,y) gesuchte Funktion p(θ,s) Projektion p(θ,s)== ln(i 0 /I) F(u,v) 2-dim. Fourier-Transform. der Funktion f(x,y) P(Θ,w) 1-dim. Fourier -Transformierte von p(θ,s) h(s) Faltungskern w w Filterfunktion Faltung im Ortsraum Filterung im Fourier-Raum

31 Prinzipiell kann man beide Verfahren zur Bestimmung der gefilterten Projektionen verwenden. Entweder werden die durch Messungen bestimmten Projektionen p(θ,s) in den Fourier-Rraum transformiert, dort mit dem Faktor w multipliziert und wieder durch inverse Fourier- Transformation in den Ortsraum zurück transformiert, oder direkt im Ortsraum mit der Faltungsfunktion h(s) gefaltet. In der Praxis wird das erst genannte Verfahren verwendet, also die Filterung im Fourier-Raum. Dieses Verfahren ist um ein Vielfaches schneller als die Faltung im Ortsraum, da für die Fouriertransformation sehr schnelle Algorithmen existieren (Fast-Fourier-Transform, FFT). Bedeutung des Filters Die Daten P(Θ,w) liegen in Polarkoordinaten vor, während der Fourier- Raum F(u,v) ein kartesisches Koordinatensystem darstellt. Da die Werte P(Θ,w) aufgrund der Polarkoordinaten für kleine w dichter liegen als für große, liegen auch die Funktionswerte F(u,v) im kartesischen Koordinatensystem für kleine u und v dichter als für große. Dies hat zur Konsequenz, dass im Fourier-Raum tiefe Frequenzen (entspricht großen Abmessungen) stärker betont werden als hohe Frequenzen (entspricht kleinen Details).

32 Polarkoordinaten kartesische Koordinaten Durch die Faltung im Ortsraum, oder der Filterung im Fourier-Raum, wird dieser Fehler ausgeglichen. Hohe Frequenzen werden dadurch angehoben, während tiefe Frequenzen abgeschwächt werden. Folgende Abbildung zeigt anschaulich die Bedeutung der gefilterten Rückprojektion im Vergleich zur ungefilterten Rückprojektion:

33 Bedingt durch den Messprozess ist das Spektrum von P(Θ,w) mehr oder weniger stark verrauscht. Im Fourier- Raum F(u,v) liegt dieses Rauschen im hochfrequenten Bereich. Durch den Einsatz eines mathematisch korrekten Filters (wie w ) wird auch das Rauschen stark angehoben. Aus diesem Grund verwendet man praktische Filter, zum Beispiel den sog. Shepp-Logan-Filter. Dieser hat Tiefpasscharakter: zu hohe Raumfrequenzen, in deren Größenordnung das Rauschen liegt, werden abschwächt, gleichzeitig bleibt der Filter möglichst nahe an der mathematisch exakten Filterfunktion w. Durch dieses Verfahren wird zwar die räumliche Auflösung etwas schlechter, das hochfrequente Rauschen im Fourier- Raum jedoch stärker gedämpft.

34 Die mathematisch exakte Filterung: wird durch eine praktische Filterung ersetzt: mit Filterfunktion H(w). In folgender Tabelle sind der Filter im Fourierraum H(w) sowie der Faltungskern im Ortsraum h(s) der Shepp-Logan-Filterfunktion aufgelistet:

35 Graphisch dargestellt sehen beide Funktionen folgendermaßen aus: Shepp-Logan-Filter H(w) Faltungskern h(s) nach Shepp-Logan Da der Faltungsprozess mit dem Shepp-Logan-Faltungskern h(s) sehr zeitintensiv ist, verwendet man stattdessen eine Ersatzfunktion h s : Diese liefert an den Stellen s (diskret) die gleichen Funktionswerte wie h(s), ist aber viel schneller zu berechnen. In folgender Abbildung sind beide Funktionen - h(s) und die Diskretisierung h s - in einem gemeinsamen Koordinatensystem dargestellt:

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39 Zur Bildberechnung teilt das Computerprogramm den zu untersuchenden Körperabschnitt in ein quadratisches Raster, der Bildmatrix, auf. Je mehr Pixel dieses Raster enthält, desto höher ist die Auflösung. In der Praxis besteht die Bildmatrix bei den meisten Computertomographen aus 512 x 512 Pixel. Vor Beginn der Messwertaufnahme werden alle Werte in der quadratischen Bildmatrix auf den Wert Null gesetzt. Erst im Laufe des Aufnahmeverfahrens füllt sich die Bildmatrix mittels des Verfahrens der Rückprojektion mit Werten ungleich Null, welche bei der Ausgabe des CT-Bildes die exakte Funktion f(x,y) der Absorptionskoeffizienten approximiert. Je mehr Projektionen aufgenommen wurden, das heißt je kleiner die Winkelschrittweite Θ ist, um die sich das Quelle-Detektor-System dreht, desto besser wird die gesuchte Funktion f(x,y) den wahren Absorptionskoeffizienten angenähert. Nach Berechnung der approximierten Funktion f(x,y) werden die Matrixeinträge in entsprechende Graustufen umgewandelt. Diese approximierte Funktion f(x,y), umgesetzt in Graustufen, stellt letztendlich die gewünschte Schichtaufnahme des entsprechenden Körperabschnitts dar.

40 Die Idee der Rückprojektion ist, nach jeder Aufnahme einer Projektion, welche sich direkt aus dem Intensitätsmesswert I berechnen lässt, den gefilterten Projektionswert entlang des Strahlengangs unter dem Winkel Θ und der Position s über die Bildmatrix zu verschmieren. Dazu zieht man unter dem Winkel Θ alle gefilterten Projektionswerte wie einen Kamm über die Matrix, und trägt dabei in jedes getroffene Matrixelement den entsprechenden Wert ein. Nach Rotation des Quelle-Detektor-Systems um eine Winkelschrittweite Θ beginnt das Verfahren von Neuem, und die nächsten Werte werden in die gestreiften Matrixelemente hinzuaddiert. Auf diese Art und Weise wird allmählich die gesuchte Funktion f(x,y) der Absorptionskoeffizienten angenähert. Folgende Abbildung stellt das Verfahren schematisch für eine Projektion unter dem Winkel dar. In diesem Fall werden jeweils 10 Messwerte der Intensität I(,s) aufgenommen, direkt in gefilterte Projektionen umgerechnet und entlang des entsprechenden Strahls in die Bildmatrix eingetragen:

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