B) Lineare Operatoren 7. Algebra, Norm, Konvergenzen, Strukturen

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1 B) Lineare Operatoren 7. Algebra, Norm, Konvergenzen, Strukturen 7.1. Def: Linearer Operator: Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen A( ) AA A: V W Spezieller: zwischen normierten Räumen, Banachräumen Noch spezieller: H H von einem Hilbertraum in den selben Hilbertraum Auch: Transformation, z.b. Fourier Transformation (Verschiedene Interpretationen als aktive oder als passive Transformation) 7.2. Def: Stetigkeit Abbildung A ist stetig Jede normkonvergente Folge von Vektoren wird wieder in eine normkonvergente Folge abgebildet. 1

2 7.3. Lemma: Stetigkeit genügt bei Null Wie bei den linearen Funktionalen (Diese sind ja Spezialfälle von linearen Operatoren) 7.4. Def. und Lemma: Norm; Banachraum Operator A, zwischen normierten Räumen, heißt beschränkt, wenn A A: sup sup A, 1 Im Hilbertraum: A B(H). Ist W ein Banachraum, so bilden die beschränkten Operatoren V W selber einen Banachraum: (A + B)ψ = (Aψ) + Bψ, Norm A, Dreiecksungleichung gilt Beweis wie für lineare Funktionale, analog zum Beweis der Dreiecksungleichung für die Supremumsnorm von Funktionen Norm Limes von Operatoren ist wieder ein beschränkter Operator. 2

3 7.5. Satz: B.L.T. über Beschränkte Lineare Transformationen Ein Operator, der auf einem dichten Teilraum definiert und beschränkt ist, läßt sich eindeutig ohne Vergrößerung der Norm auf den ganzen Raum fortsetzen. Beweis: A definiert auf T V, ψ V, Folge ψn T konvergiert gegen ψ Die Vektoren Aψn bilden eine Cauchyfolge, denn A A A( ) A 0 m n m n m n Es existiert Aψ := Limes Aψn 7.6. Satz: Beschränkt stetig Beweis wie bei den linearen Funktionalen. 3

4 7.7. Beispiele a) mn Matrizen, reell m n, oder komplex m n b) Lineare Funktionale V c) X Operator, ist beschränkt auf C([a,b]), nicht auf C 0 () d) Differenzieren im Raum der Testfunktionen (Schwartzsche Klasse S) e) Verschiebung im Ortsraum T a : ψ(x) (x) = ψ(x a) L p L p f) Zeit Entwicklung durch Diffusion, für Funktionen im L 1 g) Fourier Reihen, C([a,b]) l p, L 2 ([a,b]) l 2 über B.L.T. definiert h) Fourier Transformation, L 1 L 7.8. Algebra B(H) : Produkte, Rechenregeln, Einheit Algebra = Vektorraum mit Produkt Es gelten die üblichen Rechenregeln. Aber: Produkte sind i.a. nicht kommutativ! B(H):= Algebra der beschränkten Operatoren H H In B(H) gibt es den Einheits Operator 4

5 7.9. Lemma: Norm des Produkts A B A B Beispiele a) 2 2 Matrizen. Jede mm Matrix ist beschränkt als Operator 2 2, aber es gibt keine einfache Rechenregel für die Norm , , , b) Dyaden in B(H): :, A c) Verschiebung im Ortsraum: T a : ψ(x) (x) = ψ(x a), L 2 L 2, Ta 1 d) Fourier Transformation F des L 2 (), über B.L.T. definiert, zuerst als Op. L 1 L, daher L 2 L 1 L, dann B.L.T., dann Beweis, dass auch die Fψ im L 2 sind, z.b. mit Transformationen der Energie Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators. 5

6 7.11. Def: Norm, stark, schwach konvergent a) Norm Konvergenz, n: n b) Starke Konvergenz, s: n A A 0 : (A A) 0, : (A A) 0 c) Schwache K. weak convergence, w: n Schwache Konvergenz und alles hier Folgende gibt es im Hilbertraum Bemerkung: Konvergenz aller Erwartungswerte A w; Beweis: jedes Matrixelement A kann man mit Erwartungswerten darstellen. (Üb. Aufgabe) Beispiele a) A n ist Multiplikation mit messbarem f n (x) im L 2 (); A n = ess sup{f n (x)}; f n f in Supremumsnorm (Gleichmäßige Konvergenz) Normkonvergenz der A n b) A n ist Multiplikation mit f n (x) = tanh(x n) starke Konvergenz c) Translation T n : ψ(x) n (x) = ψ(x n) schwache Konvergenz d) Multiplikation im X Raum mit exp(ixn) = Verschiebung im Impulsraum, ins Unendliche bei n schwache Konvergenz gegen den Null Vektor e) Verschiebung um a n, a n a,? (Übungsaufgabe) 6

7 7.13. Lemma: Norm stark schwach Lemma: Norm im Limes Wie bei den linearen Funktionalen: Norm kann im s oder w Limes nicht hinauf springen Konvergenz für Verknüpfungen in der Algebra n+n=n, s+s=s, w+w=w, s+w=w,... Das schwächste ist immer bestimmend nn=n, Produkte sonst diffizil, Produkte konvergenter Folgen sind nicht immer konvergent Def: Direkte Summe (Struktur!) A B AB Lemma: Norm, Konvergenz, bei direkten Summen AB sup A, B, nn = n,... nw =w, Das schwächste ist bestimmend 7

8 7.18. Beispiele a) Translationen im Fockraum b) Zeitentwicklung gebundener und freier Zustände Def: Tensorprodukt (Struktur!) AB ( ) (A ) (B ) Norm, Konvergenz beim Tensorprodukt AB A B, (Beweis folgt in 8.20, siehe auch Reed Simon VIII 10) Konvergenzen: normnorm = norm,..., Das schwächste ist bestimmend Beispiele a) Spin Operatoren für zwei Teilchen mit Spin b) Drehung eines Teilchens mit Spin, im Ortsraum und im Spin Raum 8