Problemblatt. zur Linearen Funktionalanalysis. Stetigkeit von Funktionen?

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1 Universität Potsdam Sommersemester 2009 Steffen Fröhlich Problemblatt zur Linearen Funktionalanalysis Normen und Metriken 1. Definieren Sie den Begriff Vektorraum. 2. Nennen Sie die Normaxiome. 3. Wann heißen zwei Normen äquivalent? 4. Warum betrachtet man überhaupt äquivalente Normen? 5. Was ist ein normierter Vektorraum? 6. Nennen Sie drei Beispiele normierter Vektorräume. 7. Durch welche Eigenschaften ist eine Metrik bestimmt? 8. Nennen Sie drei Beispiele für Metriken. 9. Begründen bzw. widerlegen Sie: (i) Eine Norm induziert eine Metrik. (ii) Eine Metrik induziert eine Norm. Banachräume 10. Wie charakterisieren Sie Cauchyfolgen in normierten Räumen? 11. Geben Sie ein Beispiel einer solchen Cauchyfolge. 12. Was ist ein Banachraum? 13. Welche der folgenden Räume sind Banachräume: (i) Q bez. der Supremumsnorm. (ii) R bez. der Supremumsnorm. (iii) l 2 bez. der l 2 -Norm. (iv) C 0 bez. der L 1 -Norm. 14. Wie definiert man eigentlich Stetigkeit von Funktionen? 15. Welche wichtige Ungleichung entspricht der Dreiecksungleichung in Banachräumen? 16. Wie wurde diese Ungleichung bewiesen? 17. Wie wurden diese Ungleichungen in groben Zügen bewiesen? 18. Beweisen Sie, dass der Raum der beschränkten Funktion in R bez. der Supremumsnorm ein Banachraum ist. 19. Mittels welchen Satzes der Analysis folgt dann die Vollständigkeit von C 0 bez. der Supremumsnorm? Was ist die Beweisidee? Klassische Regularität 20. Was heißt Hölderstetigkeit? 1

2 21. Setzen Sie Stetigkeit, Hölderstetigkeit und Differenzierbarkeit reellwertiger Funktionen in gegenseitige Beziehung. 22. Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Funktionen, die Hilberträume (i) stetig, aber nicht hölderstetig ist; (ii) hölderstetig, aber nicht differenzierbar ist. 23. Was ist ein Hilbertraum? 24. Nennen Sie drei Beispiele für Hilberträume. 25. Wozu betrachtet man überhaupt Skalarprodukte? 26. Zeigen Sie, dass die Einheitskugel im l 2 nicht folgenkompakt ist. 27. Was können Sie ganz allgemein über Folgenkompaktheit und Dimension des zugrunde liegenden Raumes aussagen? Grundlagen der Maßtheorie 28. Charakterisieren Sie den Begriff Maß? 29. Was versteht man unter dem Maßproblem? 30. Erläutern Sie in groben Zügen Caratheodorys Konstruktion des äußeren Maßes. 31. Was ist das äußere Lebesguemaß? 32. Warum benötig man überhaupt σ-algebren? 33. Wann heißt nach Caratheodory messbar? Geben Sie die analytische Definition. 34. Sei nun µ das Lebesguesche äußere Maß auf einem Maßraum S. Zeigen Sie, dass dann auch und S im Sinne Caratheodorys µ-messbar sind. 35. Was ist eine Lebesguesche Nullmenge? 36. Welches äußere Lebesguemaß besitzt das Einheitsintervall [0, 1]? 37. Was ist eine Lebesguesche Nullmenge? 38. Zeigen Sie, dass Q in R eine Lebesguesche Nullmenge ist. 39. Was ist der Satz von Lusin? 40. Was ist der Satz von Egoroff? 41. Rekonstruieren Sie in groben Zügen Lebesgues Konstruktion des Lebesgueintegrals. Verdeutlichen Sie die Konstruktion an einer Skizze. 42. Setzen Sie Riemann- und Lebesgueintegral in Beziehung. 43. Berechnen Sie damit das Lebesgueintegral der charakteristischen Funktion von Q über [0, 1]. 44. Existiert für diese Funktion das Riemannintegral? Begründen Sie. L 1 -Theorie 45. Wann gehört eine Funktion zur Regularitätsklasse L 1? 46. Wie lautet der Satz von Fubini? 47. Wie lautet der Satz von Beppo Levi, d.h. der Satz der monotonen Konvergenz? 48. Wie lautet der Lebesguesche Konvergenzsatz, d.h. der Satz von der monotonen Konvergenz? 2

3 49. Verdeutlichen Sie die Voraussetzungen dieses Satzes an den Gegenbeispielen f k (x) = nx n und g k (x) = n 2 x n. 50. Wie lautet der Konvergenzsatz von Fatou? 51. Was ist die Tschebyschev-Ungleichung, und wie beweisen Sie diese? 52. Folgern Sie, dass Funktionen aus L 1 fast überall endlich sind. 53. Wie lautet der Lebesguesche Auswahlsatz? 54. Wie lautet der Satz von Fischer und Riesz für den L 1? L p -Funktionen 55. Definieren Sie die Funktionenklasse L p. 56. Wie lautet der allgemeine Satz von Fischer und Riesz? 57. Nennen Sie die Hölder- und die Minkowskiungleichung für den L p. 58. Beweisen Sie: Sind f, g L 2, so gilt für ihr Produkt fg L Was bedeutet Separabilität? 60. Ist der R n separabel und warum? 61. Für welche p ist der L p separabel? Was war die Beweisidee in der Vorlesung? 62. Was bedeuted Konvexität der Einheitskugel im L p? Ist die Einheitskugel in L p konvex? 63. Wozu haben wir in der Vorlesung die Clarksonschen Ungleichungen benutzt? 64. Ein Spezialfall der Clarksonschen Ungleichungen ist die Parallelogrammidentität. Was besagt sie analytisch und geometrisch? 65. Welche L p können durch klassische Funktionenräume in der L p -Norm approximiert werden? Lineare Funktionale 66. Was ist ein lineares Funktional? Geben Sie ein Beispiel. 67. Was versteht man unter dem Dualraum, hier insbesondere von L p? 68. Was ist der Darstellungssatz von Riesz im L p? Hilberträume 69. Was ist ein Skalarprodukt? 70. Was ist speziell ein Skalarprodukt im L Wie lautet der Rieszsche Darstellungssatz in Hilberträumen? 72. Wie lautet der Satz von Lax und Milgram? 73. Wann heißt eine Folge aus einem Hilbertraum schwach konvergent? 74. Warum betrachtet man überhaupt schwach konvergente Folgen? 75. Was können Sie speziell über die komponentenweise und über die schwache Konvergenz der Einheitsvektoren in l 2 aussagen? 76. Wie lautet der Hilbertsche Auswahlsatz? 77. Was heißt orthonormal im Hilbertraum? 78. Geben Sie ein orthonormales System im Hilbertraum l 2 an. 79. Was besagt die Besselsche Ungleichung? 3

4 80. Was besagt die Parsevallsche Gleichung? 81. Wann ist ein orthonormales System vollständig im Hilbertraum? 82. Was ist das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren? 83. Nennen Sie eine wesentliche Voraussetzung für die Existenz eines vollständigen orthonormalen Systems in einem Hilbertraum. 84. Was verstehen Sie unter orthogonaler Projektion? 85. Was besagt der Zerlegungssatz in Hilberträumen? 86. Verdeutlichen Sie die letzten Punkte anhand eines selbst gewählten Beispiels. 87. Geben Sie eine Beweisidee des Hilbertschen Auswahlsatzes. Sobolevräume und Distributionen 88. Wie lautet der Satz der partiellen Integration. 89. Wie lautet das Fundamentallemma der Variationsrechnung. 90. Erläutern Sie die wesentlichen Beweisideen dieses Satzes. 91. Wann heißt eine Funktion schwach differenzierbar? 92. Verdeutlichen Sie diese Definition am Beispiel der Funktion f(x) = x. 93. Definieren Sie den Sobolevraum H m,p. 94. Was sind die wesentlichen Ideen zum Beweis der Vollständigkeit von H m,p? 95. Wie lautet das Skalarprodukt in H m,2? 96. Geben Sie speziell das Skalarprodukte in H 1,2 an. 97. Was ist der Satz von Meyers und Serrin? 98. Was sind die wesentlichen Beweisideen? Erläutern Sie insbesondere folgende zwei Punkte: Friedrichs- Abglättung von L p -Funktionen, Zerlegung der Eins. 99. Mittels welcher Vervollständigung gelangt man von C zu H m,p? Was muss insbesondere p sein? 100. Was versteht man Konvergenz im distributiven Sinne? 101. Was ist eine Distribution? Definieren Sie Was ist eine reguläre Distribution? 103. Erläutern Sie in groben Zügen, weshalb die Zuordnung f T f im Falle regulärer Distributionen eineindeutig ist Was ist eine nichtreguläre Distribution? 105. Begründen Sie, warum die δ-distribution nicht regulär ist Was ist die distributive Ableitung der Heavyside-Funktion? Begründen Sie. Weitere Fragen 107. Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? 108. Gegeben sei das lineare Funktional F f (y) = Ω K(x, y)f(x)dx auf einem beschränkten Gebiet Ω R n. Hierin seien K L 2 (Ω Ω) und f L 2 (Ω). Zeigen Sie, dass dann auch F f L 2 (Ω). 4

5 109. Geben Sie eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Abbildung F f aus voriger Aufgabe eine Kontraktion ist. Wenden Sie dann den Banachschen Fixpunktsatz an Betrachten Sie in l 2 die Abbildung x = (x 1, x 2,...) F(x) = ( 1 x 2 l, x 2 1, x 2,...) (i) Zeigen Sie, dass F den abgeschlossenen Einheitsball B 2 = {x l 2 : x l 2 1} auf dessen Rand B abbildet. (ii) Zeigen Sie durch einen Widerspruchsbeweis, dass F in B 2 keinen Fixpunkt besitzt. (iii) Begründen Sie, dass die Abbildung F stetig ist in l 2. (iv) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den entsprechenden Sätzen aus der endlichdimensionalen Analysis, insbesondere mit dem Brouwerschen Fixpunktsatz und dem Retraktionssatz Auf dem abgeschlossenen Einheitskreis B R 2 betrachten wir das Dirichletfunktional D(f) = f 2 L 2 (B) = f 2 dxdy für Funktionen f H 1,2 (B). (i) Zeigen Sie: Damit D in f ein lokales Minimum annimmt, muss notwendig gelten f, ϕ = 0 für alle Testfunktionen ϕ C 0 (B). (ii) Zeigen Sie, dass das Dirichletintegral konvex ist, d.h. es gilt B D(λf + (1 λ)g) λd(f) + (1 λ)d(g). Was erwarten Sie in Bezug auf die Eindeutigkeit kritischer Punkte? (iii) Zeigen Sie, dass ein Minimierer im schwachen Sinne die folgende Laplacegleichung löst B f = f xx + f yy = 0. Nach dem Weylschen Lemma ist f dann sogar reell-analytisch. (iv) Anenommen, dass f C 2 (B). Dann kompletieren wir diese Differentialgleichung noch durch die Randbedingung f = g auf B mit einer vorgeschriebenen Funktion g C 2 ( B). Zeigen Sie, dass es höchstens eine Lösung der Laplacegleichung mit dieser Randbedingung geben kann. (v) Formulieren Sie dieses Randwertproblem im Raum H 1,2 (B). 5