Lineare Funktionalanalysis

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1 Hans Wilhelm Alt Lineare Funktionalanalysis Eine anwendungsorientierte Einführung Zweite, verbesserte Auflage mit 19 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest

2 Einleit ung 1 0. Strukturen Topologie 0.2 Metrik 0.3 Abstand zweier Mengen 0.4 Topologie metrischer Räume 0.5 Offene und abgeschlossene Mengen 0.6 Vollständigkeit 0.7 Vervollständigung 0.8 Frechet-Metrik 0.9 Norm 0.10 Folgenräume 0.11 Skalarprodukt Übungen 0 16 Ü 0.5 Hausdorff-Abstand 1. Funktionenräume Maße 1.2 Meßbare Funktionen 1.3 Raum meßbarer Funktionen.1.4 Raum beschränkter Funktionen 1.5 Stetige Funktionen. 1.6 Räume stetiger Funktionen 1.7 Klassische Funktionenräume 1.9 Beispiele von Maßen 1.10 Lebesgue-Räume 1.12 Hölder-Ungleichung 1.13 Minkowski-Ungleichung 1.14 Satz von Fischer-Riesz 1.15 Sobolev-Räume 1.17 H m >P(Q)-Rä,ume 1.19 Räume additiver Maße 1.20 Räume regulärer Maße 1.21 Integral stetiger Funktionen 1.22 Funktionen beschränkter Variation Übungen 1 38 A 1. Lebesgue-Integral 43 A 1.2 Elementares Lebesgue-Maß A 1.3 Äußeres Maß A 1.4 Treppenfunktionen A 1.5 Elementares Integral A 1.7 Lebesgue-integrierbare Funktionen A 1.8 Lebesgue-Integral A 1.13 Integrierbare Mengen A 1.14 Maßerweiterung A 1.16 Meßbare Funktionen A 1.18 Satz von Egorov A 1.20 Lemma von Fatou A 1.21 Konvergenzsatz von Lebesgue A 1.22 Vitali-Konvergenzsatz A 1.23 Allgemeiner Lebesgue- Konvergenz satz i " x

3 VIII Teilmengen von Funktionenräumen Faltung 2.9 Dirac-Folge 2.12 Lokale Approximation von if m ' p -Funktionen 2.13 Partition der Eins 2.15 Produktregel und Kettenregel für Sobolev-Funktionen 2.16 Konvexe Mengen 2.17 Projektionssatz 2.18 Fast orthogonales Element 2.19 Kompaktheit 2.22 Satz von Heine-Borel 2.23 Satz von Arzela-Ascoli 2.24 Satz von Riesz Übungen 2 90 Ü 2.2 Gleichmäßige Stetigkeit Ü 2.3 Stetige Fortsetzung Ü 2.4 Kompaktheit bzgl. Hausdorff-Metrik Ü 2.5 Kompakte Mengen in l 2 Ü 2.6 Beschränkte und kompakte Mengen in L^lMD Ü 2.7 Vergleich der Hölderräume Ü 2.8 V mit p < 1 Ü 2.9 Trennungssatz im ET Ü 2.10 Konvexe Funktionen Ü 2.11 Charakterisierung konvexer Funktionen Ü 2.12 Stützebenen Ü 2.13 Jensen'sche Ungleichung Ü 2.15 Satz von Dini Lineare Operatoren Neumann-Reihe 3.7 Analytische Funktionen von Operatoren 3.9 Distributionsableitungen 3.10 Distributionen i Übungen Ü 3.2 Eindeutige Fortsetzung linearer Abbildungen Ü 3.3 Limes linearer Abbildungen Lineare Funktionale Satz von Hahn-Banach Lemma von Zorn 4.2 Satz von Hahn-Banach 4.6 Riesz'scher Darstellungssatz 4.7 Satz von Lax-Milgram 4.9 Anwendung auf elliptische Differentialgleichungen 4.10 Poincare-Ungleichung 4.11 Satz von Riesz-Radon 4.12 Satz von Radon-Nikodym 4.13 Dualraum von L p für p < oo Übungen Ü 4.1 Unstetige lineare Abbildungen Ü 4.2 Beispiele für Elemente aus C ([0,1])' Ü 4.3 Duale Norm auf ET Ü 4.4 Kreuzprodukt normierter Vektorräume Ü 4.5 Dualraum des Kreuzprodukts Ü 4.6 Dualraum von C m (I) Ü 4.7 Dualraum von Co und c Ü 4.9 Positive Funktionale auf C Ü 4.10 Funktionen mit beschränkter Variation Ü 4.11 Darstellung von C ([a, &])'

4 IX A 4. Aussagen aus der Maßtheorie 143 A 4.1 Jordan-Zerlegung A 4.2 Hahn-Zerlegung A 4.5 Lemma von Alexandrov A 4.7 Satz von Lusin A 4.8 Produktmaß A 4.10 Satz von Fubini 5. Schwache Konvergenz Schwache Konvergenz 5.6 Reflexivität 5.11 Trennungssatz 5.13 Anwendung auf Minimumprobleme 5.14 Variationsungleichung 5.15 Allgemeine Poincare-Ungleichung Übungen Ü 5.4 Schwache Konvergenz in C Ü 5.5 Schwache Konvergenz im Hilbertraum Ü 5.6 Lemma von Mazur Ü 5.7 Schwache Konvergenz oszillierender Funktionen Ü 5.8 Variationsungleichung A 5. Eigenschaften von Sobolev-Funktionen 180 A 5.1 Rellich-Einbettungssatz A 5.3 Lipschitz-Rand A 5.4 Rellich-Einbettungssatz A 5.6 Randintegral A 5.7 Schwache Randwerte A 5.9 Gauß'scher Satz A 5.12 Fortsetzungssatz A 5.14 Einbettungssatz auf den Rand A 5.15 Schwache Folgenkompaktheit in L 1^) A 5.16 Satz von Vitali- Hahn-Saks x 6. Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit Baire'scher Kategoriensatz 6.2 Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit t 6.3 Satz von Banach-Steinhaus 6.6 Satz von der offenen Abbildung 6.7 Satz von der inversen Abbildung 6.8 Satz vom abgeschlossenen Graphen Übungen U 6.1 Beschränktheit von Teilmengen von L(X, Y) Ü 6.2 Zur adjungierten Abbildung Ü 6.3 Punktweise Konvergenz in L(X,Y) Ü 6.4 Sesquilinearformen 7. Projektionen Satz vom abgeschlossenen Komplement 7.6 Approximation durch Unterräume 7.14 Bessel'sche Ungleichung 7.15 Orthonormalbasis 7.17 Weierstraß'scher Approximationssatz Übungen Ü 7.1 Hamelbasis Ü 7.2 Projektoren Ü 7.3 Endliche Projektoren U 7.6 Orthogonalsystem

5 X 8. Kompakte Operatoren Ehrling-Lemma 8.5 Sobolev-Zahl 8.6 Einbettungssatz in Holder-Räumen 8.7 Einbettungssatz in S ob olev-räumen 8.8 Einbettungssatz von Sobolev-Räumen in Hölder-Räume 8.9 Hilbert-Schmidt-Integraloperatoren 8.10 Schur-Integraloperatoren 8.11 Singulare Integraloperatoren 8.12 Hölder- Kom-Lichtenstein-Ungleichung 8.13 Calderon-Zygmund-Ungleichung 8.14 Fredholm-Operatoren Übungen Ü 8.1 Anwendung des Ehrling-Lemmas Ü 8.2 Zum Ehrling - Lemma Ü 8.3 Kompakter Operator in Co U 8.4 Nukleare Operatoren Ü 8.5 Kompakter Operator ohne Eigenwerte Ü 8.6 Dimensionsabschätzung für Eigenräume Ü 8.7 Norm von Hilbert-Schmidt-Operatoren A 8. Sobolev-Sätze und Calderon-Zygmund-Ungleichung 264 A 8.2 Satz von Sobolev A 8.7 Satz von Morrey 9. Spektrum kompakter Operatoren Spektralsatz für kompakte Operatoren 9.8 Fredholm- Alternative 10. Adjungierte Abbildung Adjungierter Operator 10.2 Hilbertraum-Adjungierte 10.3 Algebraische Eigenschaften 10.4 Annihilator 10.6 Satz von Schauder 10.8 Satz von Fredholm 10.9 Normale Operatoren Spektralsatz für kompakte normale Operatoren Eigenwertproblem als Variationsproblem Anwendung des Spektralsatzes Satz von Friedrichs Übungen Ü 10.2 Adjungierte Abbildung auf C Literaturverzeichnis 319 Symbolverzeichnis 320 Sachverzeichnis 323