Existenzsatz von Lions

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1 II.4. Darstellung von Sesquilinearformen 37 Existenzsatz von Lions Im Satz von Lax-Milgram wurde mittels einer Sesquilinear- bzw. Bilinearform ein Operator T L (H) eines Hilbertraumes H und seine Invertierbarkeit untersucht. Im Wesentlichen wurde in diesem gezeigt, dass ein Operator invertierbar ist, falls er und seine Adjungierte injektiv sind. Die Stetigkeit der Inversen erhielt man aus einer Stabilitätsbedingung der Adjungierten. Dies legt den Schluss nahe, dass sich auch allgemeinere Charakterisierungen der Lösbarkeit bzw. Eindeutigkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems auf den Fall unendlichdimensionaler Räume verallgemeinern lassen. In endlichdimensionalen Räumen entspricht dem Spalten- bzw. Zeilenrang einer linearen Abbildung T : X Y genau der Zeilen- bzw. Spaltenrang der Adjungierten T. Somit ist T surjektiv bzw. injektiv genau dann, wenn T injektiv bzw. surjektiv ist. Der untersuchte Operator T des Theorems von Lax-Milgram II.4.2 und die Sesquilinearbzw. Bilinearform b stehen in Beziehung mittles Tu, x = b(u, x). Wir können daher auch den Operator T als Ausgangpunkt für den folgenden sehr allgemeinen Satz wählen. II.4.4 Theorem (Jacques-Louis Lions, Verallgemeinerung von II.4.2). Sei X ein normierter Raum, H ein Hilbertraum und T : H X eine nicht notwendigerweise stetige, aber lineare Abbildung. Sei T : X H definiert durch T x, u H H := x, Tu X X für x X und u H. Dann gilt für die folgenden Aussagen, dass (i) hinreichend ist für (ii). (i) Injektivität der Adjungierten und stetige Abhängigkeit der Inversen: Für ein λ > ist (2.4.1) T x λ x für alle x X. (ii) Der Operator T : H X ist surjektiv. Überdies erfüllt für f X die im Beweis konstruierte Lösung u H von Tu = f die Abschätzung u 1 λ f, welche die stetige Abhängigkeit der Lösung von den Daten beschreibt. Beweis. Sei nun (i) erfüllt. Somit liefert T x λ x zunächst die Injektivität von T. Damit ist aber T : X Bild T H nach Konstruktion auch bijektiv mit stetiger Inversen S : Bild T X : T x x, da diese nach Voraussetzung u λ Su für alle u Bild T erfüllt. Sei H := Bild T H die Vervollständigung des Bildes und X die Vervollständigung des normierten Raumes X. Dann hat S eine eindeutige und normgleiche Fortsetzung S : H X, und es existiert eine stetige Projektion P auf H, da H abgeschlossener Unterraum eines Hilbertraumes ist. Da überdies X dicht ist in seiner Vervollständigung X, gilt X = X. Um die Darstellung zu vereinfachen, kann außerdem X als Unterraum von X aufgefasst werden.

2 38 Kapitel II. Duale Räume Nun erhält man für ein f X als Kandidaten für eine Lösung u := ( SP) f, welches das Gewünschte leistet: Für alle x X, in der Schreibweise mit der jeweiligen dualen Paarung, liefern die Definitionen der Operatoren und die Wahl von u Tu, x = u, T f = ( SP) f, T x = f, ( SP)T x = f, ST x = f, x. Die behauptete Stetigkeit folgt aus der Operatornorm von S, denn es gilt u = P ( S) f P ( S) f 1 λ f. für diese spezielle Lösung u der linearen Gleichung Tu = f. Notation. Schreibt man die Operatornorm aus, so erhält man äquivalent zu der etwas kryptischen Schreibweise T x H Bedingung Bemerkungen. inf sup x X u H λ x X die so genannte Babuska-Brezzi oder inf-sup- T x, u H H x X u H >. (a) Ist X ebenfalls ein Hilbertraum, so sind die Rollen von T und T vertauschbar. Somit könnte man aus der Surjektivität der Adjungierten auf die Eindeutigkeit der Lösung schließen. Im Allgemeinen liefert der Satz von Lions aber nur die reine Existenz einer Lösung. (b) Es gilt sogar die Gleichwertigkeit der Aussagen (i) und (ii) in Theorem II.4.4. Um dieses einzusehen, benötigt man allerdings den Satz II.5.1 von Banach-Steinhaus des nächsten Abschnitts (siehe Seite 41). Folgerung. Sind die Anforderungen des Satzes erfüllt und außerdem X stetig in H eingebettet 1 mit x H M x X so folgt aus der so genannten Elliptizität von T auf X, d.h. für λ = m M die Stabilitätsbedingung (2.4.1) Tx, x X X m x 2 X für alle x X, T x H λ x X für alle x X. Beweis. Für alle x X gilt m x 2 X Tx, x X X = x, T x H H x H T x H M x X T x H. Hieraus folgt die behauptete Gleichung T x H m M x X. Es gilt sogar eine für die Numerik wichtige Verallgemeinerung dieses Satzes auf Approximationen der Gleichung Tu = f. 1 In dieser Situation kann man X mit seinem Bild in H identifizieren und somit als Prähilbertraum auffassen.

3 II.4. Darstellung von Sesquilinearformen 39 Folgerung (Stabilität und Konsistenz liefern Konvergenz). Der Operator T, u und f seien wie im Satz. Darüberhinaus sei eine Familie (T n ) n von linearen Operatoren gegeben, die alle die inf-sup-bedingung (2.4.1) zu eben diesem λ erfüllen. Sind (u n ) H die jeweiligen Lösungen der Probleme T n u n = fn zu einer Familie ( fn) X, so gilt (2.4.2) u n u H 1 λ ( f n f ) X + (T n T)u X. Konvergieren die Terme auf der rechten Seiten gegen Null, so nennt man die Approximationen von T und der Identität konsistent. Hierbei besteht die Konsistenz darin, dass das Approximationsverfahren eine richtige Lösung auch im Rahmen der Approximation als Lösung anerkennen würde. In diesem Sinne liefert hier die (gleichmäßige) Stabilität des Verfahrens und die Konsistenz die Konvergenz der approximativen Lösungen des Approximationsverfahrens. Da der Beweis eine Wiederholung des Beweises des Satzes darstellt, soll er hier unterbleiben. Siehe aber zum Beispiel Showalter (1997). Anwendungen des Satzes von Lions In den nächsten Beispielen sieht man, dass es meist eine Lösung unter vernünftigen Annahmen gibt, sofern man nur den Lösungsbegriff genügend verallgemeinert. Da diese Lösung aber auf eine Projektion aufbaut, ist plausibel, dass die Lösung ohne weitere Annahmen nicht eindeutig sein wird, da der Raum Kern T größer wird, je kleiner Bild T relativ zum umgebenden Raum H ist. Durch Abschwächen der Norm auf X, wird der Dualraum X größer und somit werden mehr rechte Seiten f zugelassen. Um also eine Lösung u zu finden, muss man X in diesem Sinne topologisch möglichst klein halten. Dem entgegen steht allerdings, dass man, um eine möglichst nützliche Stabilitätskonstante und vielleicht sogar die Eindeutigkeit der Lösung zu erhalten, den Raum X möglichst groß wählen muss. Daher wird man für ein gegebenes f auf der Suche nach einer Lösung normalerweise den Raum X mit der stärksten Norm versehen, für die ein gegebenes f gerade noch ein stetiges Funktional aus X darstellt. II.4.5 Beispiele (Evolutionsgleichungen). (a) Das Anfangswertproblem zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung t u(t) + u(t) = f (t) für t I u() = u im Zeitintervall I = (, T), kann in die Form des obigen Satzes überführt werden: Für jede Funktion φ C 1 c([, T)) und jede Lösung u muss formal gelten = = ( t u(t) + u(t) f (t))φ(t) dt ( ) u(t)( t φ(t) + φ(t)) dt f (t)φ(t) dt +u φ(). } {{ } =: b(u,φ) =: f (φ) } {{ }

4 4 Kapitel II. Duale Räume Wählen wir zum Beispiel die Räume H := L 2 (I) mit der üblichen L 2 -Norm und den üblichen Testraum X := C c ([, T)) mit noch nicht näher spezifizierter Norm, dann stellt die oben formal definierte Abbildung b eine Bilinearform dar. Diese erfüllt, da X mindestens ein algebraischer Unterraum von H ist, (2.4.3) b(φ, φ) = φ(t) 2 dt φ() 2 φ(t) 2 dt = φ 2 H. Die oben verwendeten Operatoren sind hier in einem noch zu spezifizierenden Sinn gegeben durch Tu = u + u und T φ = φ + φ. Für φ X gilt aber nach Konstruktion sogar T φ H, wohingegen Tu nur in einem verallgemeinerten Sinne definiert sein kann. Im Allgemeinen wird man daher genau den umgekehrten Weg wählen, und T mittels T definieren, sobald der normierte Raum X festgelegt wurde. Da für alle φ X aber T φ 2 H = φ (t) + φ(t) 2 dt = φ (t) 2 + 2φ (t)φ(t) + φ(t) 2 dt = φ 2 H φ (t)φ(t) dt = φ 2 H 1 + φ()2 gilt, können wir jede beliebige Norm X auf X wählen, für die φ 2 H 1 + φ() 2 M φ 2 X erfüllbar ist. Genau in diesem Fall liefert das Theorem II.4.4 die Existenz einer Lösung. Es gibt mindestens zwei naheliegende Normen auf X: Um im Falle einer elliptischen Form zu sein, hätten wir nach Gleichung (2.4.3) auf X zum Beispiel die Norm φ 2 X = φ(t) 2 dt φ() 2 wählen können. Wir wären in diesem Fall in der Wahl der möglichen f auf den Raum L 2 (I) R beschränkt, da dieser X enthält. Später werden wir aber auch sehen, dass H 1 sogar als Unterraum von C(I) aufgefasst werden kann. Daher könnten wir auch die Supremumsnorm auf X betrachten, die in diesem Falle schwächer ist. Somit könnten sogar beliebige rechte Seiten f C(I) gewählt werden und das Anfangswertproblem besitzt eine Lösung in einem nochmals verallgemeinerten Sinne. (b) Ebenso kann man auch im höherdimensionalen Fall eine Lösung zum Beispiel von t u(x, t) = u(x, t) λu(x, t) + f (x, t) für x, t I u(x, ) = u (x) für x u(x, t) = für x, t I finden. Sei hierzu R n eine hinreichend vernünftige Menge und I = (, T) ein Zeitintervall,

5 II.5. Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit 41 dann erhält man für φ C 1 c([, T); C c ()) für eine Lösung u = = ( t u(x, t) u(x, t) + λu(x, t) f (x, t) ) φ(x, t) dx dt ( u(x, t) t φ(x, t) + grad u(x, t) grad φ(x, t) + λu(x, t)φ(x, t) ) dx dt } {{ } =: b(u,φ) ( ) f (x, t)φ(x, t) dx dt + u (x)φ(x, ) dx. } {{ } =: f (φ) Wählen wir nun H := L 2 (I; H 1 ()) bzw. in Langform { } H = u : I R u L 2 ( I), grad u L 2 ( I) n und u = auf I mit der üblichen Norm u 2 H := = u(t) 2 H 1 () dt u(x, t) 2 + grad u(x, t) 2 dx dt und X := C 1 ( c [, T); C c () ), so gilt b(φ, φ) = grad φ(x, t) 2 + λ φ(x, t) 2 dx dt min{1, λ} u 2 H. Somit können wir für λ > auch dieses Anfangswertproblem lösen, indem wir auf X eine Norm wählen, welche nicht stärker als die Norm H ist. II.5. Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit Recht häufig verwendet man in endlichdimensionalen Räumen, dass aus der koordinatenweisen Konvergenz einer Folge deren Beschränktheit folgt. Glücklicherweise bleibt diese Aussage auch in unendlichdimensionalen Räumen richtig. Lesestoff zu diesem Abschnitt findet sich in Alt (26), (Leis, 1997, 3.1-2) und (Werner, 25, IV.2). II.5.1 Satz (Banach-Steinhaus). Sei X ein Banachraum und Y ein normierter Raum. Falls eine Menge M L (X, Y) gleichmäßig punktweise beschränkt ist, also für alle x X sup T(x) Y < gilt, so muss M schon beschränkt sein, denn es gilt sup T L <.

6 42 Kapitel II. Duale Räume Der Beweis verwendet ein auch für sich interessantes Lemma der Topologie, welches im Wesentlichen von 189 stammt. In diesem Umfeld haben sich die folgenden üblichen Bezeichnungsweisen eingebürgert. II.5.2 Definition. Sei X ein topologischer Raum und A X eine Teilmenge. (a) Man nennt A nirgends dicht, falls A keine inneren Punkte enthält. (b) Man nennt A von 1. Kategorie oder mager, falls A abzählbare Vereinigung nirgends dichter Teilmengen von X ist. (c) Man nennt A von 2. Kategorie, falls A nicht von 1. Kategorie ist. Damit kann die folgende wichtige Feststellung der Topologie recht kurz geschrieben werden. II.5.3 Lemma (Baire scher Kategoriensatz). Jeder Fréchetraum ist von 2. Kategorie in sich. Beweis. Angenommen der vollständige metrische Raum (X, d) wäre von 1. Kategorie. Dann müßte er sich als abzählbare Vereinigung X = k N A k abgeschlossener Mengen A k X ohne innere Punkte schreiben lassen, d.h. eine offene Menge B A k muss die leere Menge sein. Da X \ A 1 offen ist, existiert ein Punkt x 1 X und ein Radius r 1 >, sodass eine offene Kugel im Komplement von A 1 liegt: B(x 1, r 1 ) X \ A 1. Da aber auch A 2 keine inneren Punkte besitzt, kann B(x 1, r 1 ) keine Teilmenge von A 2 sein. Somit muss es einen Punkt x 2 und einen Radius r 2 < r 1 geben, sodass B(x 2, r 2 ) B(x 1, r 1 ) (X \ A 2 ) gilt. Induktiv erhalten wir so eine Folge (x k ) k X und eine Folge von Radien (r k ) k R +, die als Nullfolge gewählt werden kann (z.b. r k < 2 1 k r 1 ). Dann liegen aber alle Folgenglieder von (x k ) k ab einem N > in einer Kugel B(x N, r N ), d.h. (x k ) k ist eine Cauchyfolge. Diese besitzt einen Grenzwert x X. Nach Konstruktion gilt nun aber x A k für alle k. Somit muss aber auch gelten x A k = X, k im Widerspruch zur Vollständigkeit von X. Beweis. (Satz II.5.1) Nach Wahl ist jedes T M und die Norm stetig. Somit ist A k := T( ) 1 ([, k]) als Schnitt abgeschlossener Mengen selbst abgeschlossen. Da diese Mengen aber ebenfalls A k = { x X sup Tx k }

7 II.5. Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit 43 erfüllen und nach Voraussetzung für jedes x X sup T(x) Y < gilt, muss X = k A k gelten. Daher muss es nach dem Baire schen Kategoriensatz mindestens ein k geben, sodass A k eine Kugel B(x, r ) A k um einen inneren Punkt x besitzt. Nach Konstruktion gilt somit T(x) Y k für alle x B(x, r ) und alle T M. Dann gilt aber ebenso für alle x X ( T x + r x Y 2 x ) k für alle T M, beziehungsweise, da natürlich auch T(x ) k gilt, ( T r x Y 2k für alle T M 2 x ) und somit T(x) Y 4k r x für alle T M, woraus die Behauptung folgt. Beispiel. Der Baire sche Kategoriensatz kann häufig verwendet werden, um topologische Eigenschaften nachzuweisen oder auszuschließen. (a) Der Raum der durch Polynome definierten Funktionen P() := { f : K f (x) ist Polynom } kann mit keiner Norm vollständig sein: Es gilt { } P() = f : K f (x) ist Polynom vom Grad k, } {{ } k und die Räume P k der Polynome vom Grade höchstens k bilden einen (k + 1)-dimensionalen Unterraum. Als endlichdimensionale Räume sind diese abgeschlossen und haben ein leeres Inneres. Somit muss P() bezüglich jeder Norm von 1. Kategorie sein. (b) Der Raum der finiten Folgen =: P k d := { (x k ) k K xk für höchstens endlich viele k } kann mit keiner Norm vollständig sein. Der Nachweis wird als Übungsaufgabe überlassen. II.5.4 Satz (Vollständigkeit von L bezüglich starker Operatortopologie). Sei X ein Banachraum und Y ein normierter Raum. Sei (T k ) k L (X, Y) eine Folge, für die lim T k x für alle x X existiert. Dann definiert Tx := lim k T k x für x X einen linearen stetigen Operator T L (X, Y), und es gilt T lim T k. k

8 44 Kapitel II. Duale Räume Beweis. T ist eine lineare Abbildung, da der Grenzwert eine solche ist. Da jede Folge (T k x) k konvergent ist, muss diese auch beschränkt sein. Es gilt also sup k N T k (x) Y <. Nach dem Satz von Banach-Steinhaus folgt daher sup T k L <. k N Somit folgt aus die fehlende Behauptung. Tx = lim T k x lim T k x k k