12 Aufgaben zu linearen Funktionalen

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1 Aufgaben zu linearen Funktionalen A B C 12 Aufgaben zu linearen Funktionalen 12.1 Stetige Funktionale (siehe auch 11.6.E, 12.2, 13.4.A) Sei E ein topologischer Vektorraum und ϕ: E K (ϕ ) linear. Man beweise die in Satz angegebenen Äquivalenzen zur Stetigkeit von ϕ. Ist ϕ(x) := k=1 x k ein stetiges Funktional auf l 1 bzgl. 1? (bzgl.?) Ist x [a, b], so ist die Punktauswertung π x : f f(x) auf C[a, b] bzgl der Sup-Norm stetig, bzgl der Integralnorm unstetig. D ϕ(f) := f() + f (1) ist ein lineares Funktional auf C 1 [, 1]. Berechne seine Norm bzgl f 1 := f + f und bzgl f 2 := max { f, f }. E Sei g C[, 1]. Bestimme ϕ für ϕ: C[, 1] K ; ϕ(f) := 1 f(t) g(t) dt. F Ein lineares Funktional ϕ: l R heißt Banachlimes, wenn gilt (i) für den Links-Shift S l (x 1, x 2,...) = (x 2, x 3,...) ist ϕ S l = ϕ, (ii) sind alle x k, so ist ϕ(x), (iii) für die Eins-Folge e = (1, 1,...) ist ϕ(e) = 1. Man beweise für Banachlimiten ϕ: l R : 1) Für alle x = (x n ) l gilt lim x n ϕ(x) lim x n. 2) ϕ ist stetig mit Norm ϕ = 1. 3) ϕ ist nicht multiplikativ, d.h. i.a. gilt ϕ(x y) ϕ(x) ϕ(y). 4) Es gibt Banachlimiten. G Sei < p < 1 und L p := { f : [, 1] R f messbar, 1 f(t) p dt < }. Mit der Metrik d(f, g) := 1 f g p ist L p ein metrischer Vektorraum. und L p sind die einzigen offenen konvexen Teilmengen von L p. Auf L p ist nur die Nullform stetig, d.h. es ist (L p ) = {}. H Sei E ein topologischer Vektorraum. Dann ist E {} genau dann, wenn es eine konvexe offene Menge A gibt mit A E. I Beweisen Sie den Darstellungssatz von Fréchet-Riesz (6.4-14) für Hilberträume. In nicht-vollständigen Innenprodukt-Räumen ist dieser Satz i.a. falsch. J Nimmt ϕ: c K, ϕ(x) := x n /2 n seine Norm auf der abgeschlossenen Einheitskugel B c an?

2 12.1 Stetige Funktionale 267 Lösungen: A Seien E ein topologischer Vektorraum und ϕ E, ϕ. Zu zeigen ist die Äquivalenz von: (i) ϕ ist stetig. (ii) Ker ϕ ist abgeschlossen. (iii) Ker ϕ ist nicht dicht in E. (iv) ϕ ist auf einer Null-Umgebung beschränkt. (v) Es gibt eine offene Teilmenge G E mit ϕ(g) K. (vi) Re ϕ ist stetig. (i) (ii) : Ist ϕ stetig, so ist N := Ker ϕ als stetiges Urbild der abgeschlossenen Menge {} K abgeschlossen. (ii) (iii) : Ist ϕ und N abgeschlossen, so ist N = N E. (iii) (iv) : Ist N E, so gibt es ein x E und eine kreisförmige Null-Umgebung U mit (x + U) N =. Dann muss ϕ auf U beschränkt sein. Da U kreisförmig und absorbierend ist, wäre nämlich sonst ϕ(u) = K. Also gäbe es ein u U mit ϕ(u) = ϕ(x) bzw ϕ(x + u) =. Dies widerspricht (x + U) N =. (iv) (i) : Ist ϕ auf der Null-Umgebung U durch M > beschränkt, so ist Also ist ϕ stetig in und damit in ganz E. ε M U ϕ 1( { t t ε } ). (1) (i) (v) : Wenn ϕ stetig ist, so gibt es eine offene -Umgebung G E mit ϕ(g) B 1 () K. (v) (iii) : Ist α K\ϕ(G), so ist ϕ 1 (α) nicht dicht in E. Für a ϕ 1 (α) ist Ker ϕ = ϕ 1 () = ϕ 1 (α) a. Also ist auch Ker ϕ nicht dicht. (i) (vi) : folgt aus (i) (iv). Ist nämlich ϕ auf einer Null-Umgebung beschränkt, so auch Re ϕ. (vi) (i) : klar wegen ϕ(x) = Re ϕ(x) ire ϕ(ix) für alle x E. B Wie üblich sei l 1 = { x = (x k ) K N x k < }. Dann ist wohl-definiert und linear. ϕ: l 1 K ; ϕ(x) := k=1 x k. (2) Bzgl der Sup-Norm auf l 1 ist ϕ ist aber nicht beschränkt, also nicht stetig! Zum Beweis seien die Folgen x (n) = (x n k ) k l 1 definiert durch x (n) k := 1 für k n und x (n) k := sonst. (3)

3 Aufgaben zu linearen Funktionalen Dann ist x (n) = 1. Also liegen alle x (n) in der Einheitskugel von ( l 1,. ). Aber es gilt ϕ(x (n) ) = k x(n) k = n. Also ist ϕ nicht beschränkt. Wegen ϕ(x) x k = x 1 ist ϕ bzgl der üblichen 1-Norm auf l 1 beschränkt und damit stetig. C Sei x [a, b] und π x (f) := f(x) für alle f C[a, b]. Wegen π x (f) = f(x) f = sup t [a,b] f(t) (4) ist die Punktauswertung π x stetig bzgl der Supremums-Norm. Es gibt aber stetige Funktionen f C[a, b] mit f 1 = b f(t) dt = 1 (5) a und beliebig großem f(x). Also ist π x bzgl der Integralnorm unstetig. D ϕ(f) := f() + f (1) ist ein Funktional auf C 1 [, 1]. Bzgl f 1 := f + f ist ϕ stetig mit ϕ = 1! 2/ε y x a a+ε b Für f C 1 [, 1] gilt ϕ(f) f() + f (1) f + f = f 1. Also ist ϕ 1. Für e(x) : 1 gilt andererseits e 1 = 1 und ϕ(e) = 1, also ist ϕ = sup { ϕ(f) f 1 = 1 } 1. Bzgl f 2 := max { f, f } ist ϕ stetig mit ϕ = 2! Für f C 1 [, 1] gilt ϕ(f) f() + f (1) f + f 2 f 2. Also ist ϕ = sup { ϕ(f) f 2 = 1 } 2. Für g(x) := (x 1 2 ) gilt andererseits g 2 = 1 und ϕ(g) = 2, also ϕ 2. Bemerkung: Die beiden Normen sind auf C 1 [, 1] äquivalent. Also ist ϕ genau dann bzgl der einen Norm stetig, wenn es bzgl der anderen stetig ist. E Sei g C[, 1] und M(g) := 1 g(t) dt. Sei ϕ: C[, 1] K def. durch ϕ(f) := 1 f(t) g(t) dt (6) und C[, 1] wie üblich mit der Sup-Norm versehen. Dann gilt für f C[, 1] ϕ(f) 1 f(t) g(t) dt f M(g). (7)

4 12.1 Stetige Funktionale 269 Also ist ϕ M(g). Für ε > sei f ε (t) := g(t) g(t) +ε. Dann ist f ε C[, 1] und f ε 1. Ferner ist ϕ(f ε ) = 1 Also ist ϕ M(g) ε. g(t) 2 g(t) + ε dt 1 g(t) 2 ε 2 g(t) + ε dt = M(g) ε. (8) F Wir betrachten l R N als Vektorraum über R. (F.1) Sei ϕ: l R ein Banachlimes, M := lim x n < und ε >. Dann ist M + ε x n ab einem n. Wegen ϕ S n l = ϕ ist ϕ ( (M + ε)e x ) = (M + ε) ϕ(e) ϕ(x). (9) Da ε beliebig war, folgt ϕ(x) M. Analog zeigt man ϕ(x) lim x n. Insbesondere gilt ϕ(x) = lim x n für alle x = (x n ) c l. (F.2) Ist x 1, so ist 1 lim x n lim x n 1. Wegen (F.1) folgt ϕ(x) 1. Also sind Banachlimiten ϕ stetig mit ϕ 1. Wegen ϕ(e) = 1 ist ϕ = 1. (F.3) Sei z.b. x := (a, b, a, b,...) und y := S l x = (b, a, b, a,...). Dann ist ϕ(x) = ϕ(y) und ϕ(x + y) = a + b, also ϕ(x) = a+b 2. Aber i.a. ist (ϕ(x)) 2 ϕ(x y) = ab. Also sind Banachlimiten nicht multiplikativ. (F.4) Für x = (x k ) R N sei µ x R N definiert durch µ x (n) := x1+...+xn n. Es gilt ( Analysis I) : lim x n lim µ x (n) lim µ x(n) lim x n. (1) n n n n q : l R sei definiert durch q(x) := lim µ x(n). n Funktional auf l. Sei q ist ein sublineares Y := { x l limn µ x (n) existiert } l (11) und f : Y R definiert durch f(x) := lim n µ x (n). f ist ein stetiges lineares Funktional auf Y und es ist f(x) q(x) für alle x Y. Nach Hahn-Banach (7.2-2) existiert ein lineares Funktional ϕ (l ) mit ϕ(x) q(x) für alle x l und ϕ(x) = f(x) für alle x Y. Wegen (1) gilt ϕ(e) = 1 und ϕ(x) falls alle x n. Ferner gilt ϕ(x) q(x) lim x n und lim x n = lim( x n ) lim µ x (n) = q(x) ϕ( x) = ϕ(x). (12) Dann muss aber ϕ S l = ϕ sein. (Beweis!) Also ist ϕ ein Banachlimes.

5 Aufgaben zu linearen Funktionalen G Dass L p := { f : [, 1] R 1 f messbar, f(t) p dt < } für < p < 1 mit der translationsinvarianten Metrik d(f, g) := 1 f g p ein metrischer Vektorraum ist, zeigt man analog wie für l p in Aufgabe 11.6.J. (G.1) Sei G L p offen und konvex und o.b.d.a. G. Sonst kann man G verschieben. Sei f L p beliebig. Z.z. f G. Sei ε > derart, dass B ε () G. Wegen < p < 1 gibt es ein n N mit f p := d(f, ) < ε n 1 p. (Achtung:. p ist für < p < 1 keine Norm!) Wegen der Stetigkeit von f x f(t) p dt existiert eine Zerlegung xj = x < x 1 <... < x n = 1 mit x j 1 f(t) p dt = 1 n f p (13) für j = 1,..., n. Sei f j L p def. durch f j (t) := { n f(t) für x j 1 t x j, sonst. (14) H Dann ist f j p = n p 1 f p < ε, also f j G. Da G konvex ist, ist dann auch f = n j=1 1 n f j G. (G.2) Auf L p ist nur die Nullform stetig, also (L p ) = {}. Dies folgt mit Aufgabe 12.1.H direkt aus (G.1). Bemerkung: Nach Hahn-Banach (7.2-6) gibt es in nicht-trivialen lokalkonvexen Räumen stets stetige lineare Funktionale ϕ. Also kann L p nicht lokalkonvex sein. Dies kann man auch direkt wie in Aufgabe 11.6.J für l p zeigen. Bemerkung: Auf dem Folgenraum l p mit < p < 1 (11.6.J) gibt es nichttriviale stetige Linearformen, z.b. sind die Projektionen π j (x) := x j stetig. Nachrechnen! Sei E ein topologischer Vektorraum. Ist ϕ E, so ist A := { x E ϕ(x) < 1 } nichtleer, offen und konvex. Ist ϕ, so ist A E. Sei umgekehrt A E offen und konvex. Sei zunächst K = R. Sei y A und o.b.d.a. A. Sei p A : E [, ] das Minkowski-Funktional (5.3-6) von A, also { inf {ϱ > x ϱa} falls ϱ > : x ϱa, p A (x) = (15) sonst. Wegen y A und der Konvexität von A ist p A (y ) 1.

6 12.1 Stetige Funktionale 271 Nach ist p A stetig. Sei Y der eindimensionale Unterraum Y := lin {y } und ϕ: Y R def. durch ϕ(t y ) := t p A (y ). (16) Dann ist ϕ(y) p A (y) für alle y Y, denn für t ist ϕ(ty ) p A (ty ) und für t > ist ϕ(ty ) = p A (ty ). Nach Hahn-Banach gibt es eine lineare Fortsetzung ϕ: E R von ϕ mit ϕ p A. Nach ist ϕ stetig und wegen ϕ(y ) = p A (y ) 1 ist ϕ. Der Fall K = C folgt mit Hilfe der Bemerkungen I (I.1) Sei H ein Hilbertraum und y H. Dann sei T y : H K definiert durch T y(x) := x, y. (17) Die Linearität von T y rechnet man nach. Die Stetigkeit folgt aus der Schwarzschen Ungleichung T y(x) = x, y x y, also T y y. (18) Also ist T y H und damit T : H H ; y T y (19) wohldefiniert. Dass T konjugiert linear ist, rechnet man direkt nach. Es ist T y(y) = y, y = y 2, und damit T y y. (2) Wegen (18) ist T isometrisch und infolgedessen auch injektiv. Bleibt die Surjektivität von T zu zeigen. Darin steckt - wie oft bei Darstellungssätzen - die Hauptarbeit. Sei x H und P die orthogonale Projektion auf den abgeschlossenen Unterraum Ker x (vgl ). Wähle y 1 H mit x (y 1 ) = 1 und definiere y 2 := y 1 P y 1 ; y := 1 y 2 y 2. (21) Dann ist x (y 2 ) = 1 und z, y 2 = für alle z Ker x. Für x H folgt x = x x (x)y 2 + x (x)y 2, (22) x, x = x (x)y 2, y 2 = x (x) y 2 2, (23) x (x) = x, y 2 2 y 2 = x, y = T y(x). (24) Also ist x = T y und wir sind fertig.

7 Aufgaben zu linearen Funktionalen (I.2) Wir betrachten den (nicht vollständigen) Unterraum c c := { x l 2 xk für höchstens endlich viele k } l 2 (25) mit dem üblichen inneren Produkt x, y = x k y k. Durch x : c c K ; x (x) := k= 1 k x k (26) wird ein stetiges lineares Funktional auf c c definiert. Es ist die Einschränkung eines Funktionals ϕ (l 2 ). Dies x lässt sich nicht in der Form x (x) = x, y mit einem y c c beschreiben. Jedes y c c ist ja von der Bauart y = n k=1 y ke (k) mit den Einheitsfolgen e (k) (j) = δj k. Dann ist aber e (n+1), y = 1 n+1 = x (e (n+1) ). (27) J ϕ: c K, ϕ(x) := x k /2 k nimmt seine Norm nicht auf der abgeschlossenen Einheitskugel von c an. Für die Einsfolge e = (1, 1, 1,...) und die Projektionen P n (A.7-1) gilt nämlich P n e = 1 und ϕ(p n e) = 1 2 n 1. Es ist aber ϕ(x) x k /2 k < 1 für alle x c mit x 1.