Merkblatt zur Funktionalanalysis

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1 Merkblatt zur Funktionalanalysis Literatur: Hackbusch, W.: Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen. Teubner, 986. Knabner, P., Angermann, L.: Numerik partieller Differentialgleichungen. Springer, 2. Triebel, H.: Höhere Analysis. Harri Deutsch, 98.. Banach- und Hilbert-Räume Im Folgenden ist V ein reeller Vektorraum. Norminierter Raum: Eine Norm ist eine Abbildung : V [, ), für die gilt: u = u =, (Definitheit) αu = α u, α R, u V, u + v u + v, u, v V. (Dreiecksungleichung) Das Paar (V, ) wird als normierter Raum bezeichnet. Halbnorm (= Seminorm): Es gilt im Gegensatz zur Norm nicht die Definitheit, d.h. es gilt zwar immer noch u = für u =, es kann aber auch Elemente mit u geben, für die u = gilt. Begriffe zu Normen: Zwei Normen und 2 bezeichnet man als äquivalent, wenn eine Konstante C existiert, so dass gilt: C u u 2 C u, u V. Gilt dagegen, dass nur eine einseitige Beschränkung vorliegt, u 2 C u, u V, bezeichnet man die Norm als stärker als die Norm 2, bzw. 2 als schwächer als. Topologie: Jeder normierte Raum besitzt eine natürliche Topologie. Eine Teilmenge U V ist offen, falls für alle u U ein ε > existiert, so dass der Ball B ε (u) = {v V : u v < ε} in U enthalten ist. Konvergenz: Eine Folge v n konvergiert gegen v bzgl. der Norm, falls lim v n v =. n Eine Folge v n V heißt Cauchy-Folge, wenn sup{ v n v m : n, m k} für k. Ein Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge gegen ein Element v V konvergiert. Ein Banach-Raum ist ein normierter und vollständiger Raum. Bilinearform: Eine Bilinearform ist eine Abbildung (, ) : V V R mit der Eigenschaft a(u, v + λv 2 ) = a(u, v ) + λa(u, v 2 ), u, v, v 2 V, λ R, a(u + λu 2, v) = a(u, v) + λa(u 2, v), u, u 2, v V, λ R.

2 Die Bilinearform (, ) heißt symmetrisch, falls (u, v) = (v, u), u, v V, positiv, falls (v, v), v V, definit, falls (u, u) = u =. Hilbert-Raum: Eine symmetrische und positiv definite Bilinearform wird als Skalarprodukt bezeichnet. Ein Skalarprodukt definiert eine Norm auf V durch u := (u, u). Fehlt die Definitheit, wird nur eine Halbnorm erzeugt. Ein mit einem Skalarprodukt versehener und bzgl. der induzierten Norm vollständiger Raum wird als Hilbert-Raum bezeichnet. Besondere Eigenschaften einer von einem Skalarprodukt erzeugten (Halb-)Norm: Es gilt die Cauchy Schwarz-Ungleichung (u, v) u v, u, v V, Außerdem gilt die Parallelogrammgleichung: u v 2 + u + v 2 = 2( u 2 + v 2 ). Wenn eine Norm diese Gleichung erfüllt, dann wird die Norm von einem Skalarprodukt induziert: (u, v) = 4 ( u + v 2 u v 2 ). 2. Sobolev-Räume Im folgenden ist eine offene, beschränkte Teilmenge des R d mit Lipschitz-Rand Γ. Lipschitz-Gebiet: Das Gebiet hat einen Lipschitz-Rand, wenn es ein N N und offene Mengen U, U 2,..., U N gibt, sodass a) N i= U i b) Für jedes i =,..., N ist U i darstellbar als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion. Ein Gebiet mit einem Lipschitz-Rand heißt Lipschitz-Gebiet. Ein Beispiel für ein Gebiet, welches kein Lipschitz-Gebiet ist, ist das folgende 2

3 L loc (): Zu L loc () gehören alle Lebesgue-meßbaren Funktionen, die auf jeder kompakten Teilmenge von Lebesgue-integrierbar sind. L 2 (): Der Raum L 2 () besteht aus allen Lebesgue-meßbaren Funktionen, deren Quadrate auf Lebesgue-integrierbar sind. Er bildet einen Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt (u, v) = uv, und der Norm v = (v, v). Schwache Ableitung: Eine Funktion u L loc () besitzt eine α-te schwache (verallgemeinerte) Ableitung, falls eine Funktion v L loc () existiert mit vϕ = ( ) α ud α ϕ, ϕ C (). Man setzt D α u := v. Dabei ist D α ϕ = α ϕ x α,... x αn und α ist ein Multiindex, α = (α... α n ), mit α = α i N. Der Raum C () enthält alle unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger in. Sobolev-Raum: Sei k N. H k () := {v L 2 () : D α v L 2 (), α k}. Man sieht: H () = L 2 (). Sei = B(, 2 ), s R und u(x) = x s, dann gilt Für s = ist u(x) H () und die erste schwache Ableitung lautet {,.5 < x < Du(x) =., < x <.5 n s = ; alpha = s = ; alpha =

4 Für s = 2 gilt u / H () und die erste schwache Ableitung lautet Du(x) = x s =.5; alpha = 4 s =.5 ; alpha = Der Raum H k () ist ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt (u, v) k = (D α u, D α v), und der Norm Beispiele: α k v k = (v, v) k. H -Norm : u 2 = u2, H -Halbnorm : u 2 = u 2, H -Norm : u 2 = u 2 + u 2, H -Halbnorm : u 2 = u 2, H k -Norm : u 2 k = u 2 k + D α u 2. Es gilt: Die Menge C () H k () liegt dicht in H k (). Also ist H k () die Vervollständigung des Raumes {v C () : v k < } in L 2 () bezüglich der Norm k. Null-Randbedingungen: Der Raum H k () ist die Vervollständigung des Raumes C () in L 2 () bezüglich der Norm k. Poincaré-Friedrichs-Ungleichung: Es existiert eine Konstante C mit α =k v k C v k, v H k (). Demzufolge sind auf H k () die Norm k und die Halbnorm k äquivalent. Weitere Normäquivalenzen: ( v 2 v 2 + v wobei Γ D Γ ein positives Maß besitzt. ) 2 (, v 2 v 2 + Γ D v ) 2, 4

5 3. Spur-, Fortsetzungs- und Einbettungssätze, Dualräume Sobolev-Slobodeckij-Raum: Sei s mit s = k + t, k N, < t <. Sei = (, ) und v(x) = H s () = {v H k () : I t (D α v) <, α = k}, (w(x) w(y)) 2 mit I t (w) = dxdy. x y d+2t {, x >, x. Frage: Für welche s gilt v H s ()? Bereits bekannt ist v H (), v / H (). I s (v) = =... + }{{} = 2 = 2 = s = (v(x) v(y)) 2 dx dy x y +2s + dx dy x y +2s 2s (x y) 2s dy ( dy y 2s ) dy. y 2s +... }{{} Damit gilt I s (v) < für s < 2 und somit ist v Hs () für s < 2. Spursatz: Es gibt genau eine stetige lineare Abbildung Bemerkungen: tr : H () H /2 (Γ) mit tr (u) = u Γ, falls u H () C( ). Sei u H (), dann existiert eine Folge u n C() mit u n u, tr (u n ) tr (u). Die Abbildung tr ist surjektiv, jedoch nicht injektiv. Für s > /2 gilt tr : H s () H s /2 (Γ). Es gilt H () = {v H () : tr v = }. = 5

6 Es sei = { (x, y) R 2 < x < < y < x 4} Γ = (, ) {} ein Gebiet, welches kein Lipschitz-Gebiet ist. Dann gilt für die Funktion u : R mit u / L 2 (Γ), aber u H (). Denn: u(x, y)dx dy = aber Γ Du(x, y) 2 dx dy = = u(x, y) = x, = x 4 {} x 2 dx = x 2 dy dx x 2 2 dy dx x 2 2 x 4 dx = [ ] =, x dx = <. Insbesondere gelten hier die Spursätze nicht! Fortsetzungssatz: Für jedes u H /2 (Γ) existiert ein v H () mit Bemerkungen: tr (v) = u und v, C u /2,Γ Der Fortsetzungsoperator ist nicht eindeutig. Für s > /2 gilt u H s /2 (Γ) v H s (). Lemma von Sobolev: H s (R d ) C k (R d ), H s () C k (), s > k + d/2, s > k + d/2. Kompakte Einbettungen: Ein Banachraum V ist kompakt eingebettet in einen Banachraum W (V K W ), falls jede Folge v n V mit v n V eine in W konvergente Teilfolge enthält. Es gilt: H s () K H t (), s, t R, s > t, H k () K H l (), k, l N, k > l, für genügend glatt: H s () K H t (), s, t R, s > t. 6

7 Dualraum: Für einen reellen Vektorraum V bezeichnet V den Dualraum, d.h. die Menge der stetigen linearen Abbildungen von V nach R. Ist V normiert, so wird für ein Element φ V durch φ V = sup v V φ(v) v V eine Norm auf V definiert, die Operatornorm. Der Dualraum zu H s () wird mit H s () bezeichnet. Riesz scher Darstellungssatz: Jeder Hilbertraum ist zu seinem Dualraum isometrisch (d.h. Normen bleiben erhalten) isomorph. Sobolevräume für elliptische Randwertprobleme 2. Ordnung sind der H () für den unrestringierten Lösungsraum, der H /2 (Γ) für die Dirichletdaten und der H /2 (Γ) für die Neumanndaten. 4. Das Lemma von Lax-Milgram Banachscher Fixpunktsatz: Seien V ein Banachraum und T : V V eine Kontraktion, also T v T w L v w, v, w V, mit einer Konstanten L [, ). Dann besitzt T einen eindeutigen Fixpunkt. Stetigkeit: Eine Bilinearform a(, ) heißt stetig, wenn eine Konstante M existiert, so dass gilt: a(u, v) M u v. Ein lineares Funktional F : V R heißt stetig, wenn eine Konstante C existiert, so dass gilt: F (v) C u. V -Elliptizität: Eine Bilinearform a(, ) heißt V -elliptisch, wenn eine Konstante α > existiert, so dass gilt: a(v, v) α v 2. Die Bilinearform a(u, v) := u v dx ist symmetrisch, stetig auf H () H () und H elliptisch, da die Poincaré Friedrichs Ungleichung a(v, v) = v 2 α v 2 auf H() liefert. Die Bilinearform ist aber nicht H elliptisch, denn a(, ) =. Sei ein beschränktes Gebiet; dann ist die Bilinearform a(u, v) = u v dx + ( x 2 + ) u v dx 7

8 stetig auf H () H () und H elliptisch, denn es gilt: a(v, v) = v 2 + ( x 2 + ) v 2 dx v 2 + v 2 = v 2 }{{}. Sei = (, ) und a(u, v) = x 2 u v dx. Es stellt sich die Frage, ob a(u, v) L 2 elliptisch ist. Dazu ist zu untersuchen, ob es ein α > gibt mit a(u, u) α u 2. Sei + nx für x n u n (x) = nx für < x n sonst. Es gilt u n 2 = 2 a(u n, u n ) = 2 n Daraus folgt, dass es kein α > geben kann mit ( nx) 2 dx = 2 3 n, x 2 ( nx) 2 dx = 5 n. 3 a(u, u) α u 2 u L 2 (). Denn dann müsste α 2, also α 5 n 3 3 n n2, für alle n gelten, was für ein von n unabhängiges α nicht möglich ist. Also ist a(u, v) nicht L 2 elliptisch. Lemma von Lax-Milgram: Gegeben seien ein Hilbert-Raum (V, (, )), eine stetige, V - elliptische Bilinearform a(, ), und ein stetiges, lineares Funktional F : V R. Dann existiert genau ein u V so, dass a(u, v) = F (v), v V. () Beweis: Für u V beliebig wird durch Au(v) = a(u, v), v V, ein stetiges, lineares Funktional Au V definiert. Insbesondere ist die Stetigkeitskonstante von Au gleich der Stetigkeitskonstante M von a(, ). Nach dem Riesz schen Darstellungssatz existiert zu jedem φ V ein eindeutiges τφ V so, dass φ(v) = (τφ, v), v V. Da τ : V V ein Isomorphismus ist, lässt sich das Variationsproblem () äquivalent formulieren als: Es existiert genau ein u V so, dass τau = τf. (2) Für die Lösung von (2) suchen wir eine Kontraktion T in der Form T v = v ρ(τav τf ) mit dem zu bestimmenden Parameter ρ. Nach Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes existiert dann genau ein u V so, dass u = T u = u ρ(τau τf ) gilt, 8

9 woraus (2) und damit die Behauptung folgt. Es bleibt also zu zeigen, dass ein entsprechendes ρ existiert. Seien v, v 2 V und v = v v 2. Es gilt T v T v 2 2 = v ρ(τav) 2 = v 2 2ρ(τAv, v) + ρ 2 τav 2 (τ, A linear) = v 2 2ρa(v, v) + ρ 2 a(v, τav) (Definition von τ, A) v 2 2ρα v 2 + ρ 2 M v τav ( 2ρα + ρ 2 M 2 ) v 2 = L 2 v v 2 2, (a stetig, elliptisch) (A stetig, τ isometrisch) mit L 2 = 2ρα + ρ 2 M 2. Für ρ (, 2α/M 2 ) gilt L <. 9