L p Räume und der Satz von Riesz-Fischer

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1 Kolloqium Partielle Differentialgleichungen Carsten Erdmann L p Räume und der Satz von Riesz-Fischer 1.1. Definition. Sei p R, p >, dann setzen wir p :=, p :=. Sei f : K meßbar, dann ist f M + (, A) und N p (f) := ( f p dµ) 1/p (p R, p ) ist sinnvoll definiert. Weiterhin ist Für p = definieren wir N p (αf) = α N p (f) (α K). N (f) := inf{α [, ] : f α µ f.ü.}. Dann ist f N (f) µ -f.ü., denn für N (f) < ist { f > N (f)} = n=1 { f > N (f) + 1/n} eine µ -Nullmenge. Mann nennt N (f) das essentielle oder wesentliche Supremum von f und schreibt N (f) = ess sup f(x). x Weiterhin ist N (αf) = α N (f) (α K) und N (f + g) N (f) + N (g), falls f, g : K meßbar Definition L p. Sei L p := L p (µ) := L p (, A, µ), < p die Menge aller meßbaren Funktionen f : K mit N p (f) <, und weiterhin f p := N p (f) f L p. Falls p >, ist L p also genau die Menge aller meßbaren Funktionen f : K, für die f p µ -integrierbar ist und f p = ( f p dµ) 1/p (f L p ). Falls p =, ist L p die Menge aller meßbaren Funktionen f : K, für die gilt dass f := ess sup f(x) <. x 1

2 Eine Funktion x : [a, b] K ist genau dann essentiell beschränkt, wenn es zu jedem x L ([a, b]) eine positive Konstante M x gibt, für die x(t) M x fast überall auf [a, b] gilt. Das kleinste M x, das man in einer solchen Abschätzung wählen kann, wird als essentielles Supremum von x bezeichnet. Bemerkungen zu 1.2. L p ist ein K -Vektorraum für p >, da L p nur Funktionen mit Werten in K enthält. Soll der Skalarenkörper besonders hervorgehoben werden, so schreibt man auch L p R oder L p C. Für alle f L p gilt f p = f = µ -f.ü Satz. Für 1 p ist L p ein halbnormierter Vektorraum bezüglich p und für < p < 1 ist eine Halbmetrik auf L p. d p (f, g) := f g p p (f, g L p ) Nachzuprüfen sind die Eigenschaften einer Halbnorm, da durch eine Halbnorm eine Halbmetrik induziert wird. 1. Positivität: 2. Homogenität: f p = ( f p dµ) 1/p αf p = ( αf dµ) 1/p = α( f dµ) 1/p = α f p 3. Dreiecksungleichung: f + g p = ( Minkow. ( f + g p dµ) 1/p f p dµ) 1/p + ( = f p + g p g p dµ) 1/p 2

3 Bemerkungen zu 1.3. L p ist für < p < 1 ein topologischer Vektorraum. Das heißt bezüglich der durch d p definierten Topologie sind die Addition L p L p L p und die skalaren Multiplikation K L p L p stetig. Der topologische Raum L p erfüllt nicht das Hausdorffsche Trennungsaxiom, wenn es eine nicht-leere µ -Nullmenge gibt. Jedoch lässt sich dies wie folgt beheben. Die Menge N aller meßbaren Funktionen f : K mit f = µ -f.ü. ist ein Untervektorraum von L p, also ist der Quotientenraum sinnvoll definiert L p := L p (µ) := L p /N ( < p ) Elemente von L p sind die Nebenklassen F = f + N (f L p ). Dabei liegen 2 Funktionen f, g L p genau dann in der selben Nebenklasse, wenn sie fast überall gleich sind. Addition und skalare Multiplikation werden mit Hilfe von Nebenklassenvertretern definiert, somit ist L p ein K -Vektorraum. Ist F L p, so hat f p für alle f F den selben Wert, daher ist die Definition F p := f p (f F ) sinnvoll. Für alle F L p ist F p = F =, das heißt L p erfüllt das Hausdorffsche Trennungsaxiom Satz. Für 1 p ist L p bezüglich p ein normierter Vektorraum und für < p < 1 ist eine Metrik auf L p. d p (f, g) := f g p p (f, g L p ) 3

4 2.1. Definition. Sei < p und f n L p (n N). Die Folge (f n ) n 1 heißt im p-ten Mittel konvergent gegen f L p, falls lim f n f p =, also wenn (f n ) n 1 L p gegen f L p konvergiert. Die Folge (f n ) n 1 heißt eine Cauchy-Folge in L p oder eine Cauchy-Folge für die Konvergenz im p-ten Mittel, falls zu jedem ɛ > ein n (ɛ) N existiert, sodass f m f n p < ɛ für alle m, n n o (ɛ). Ist p = 2 so spricht man von Konvergenz im quadratischen Mittel. Ist p = 1 so spricht man von Konvergenz im Mittel. in 2.2. Definition. Sei A, dann verstehen wir unter der charakteristischen oder Indikatorfunktion von A eine Funktion χ A : R { 1 x A χ A (x) := x A c Für A, B gilt A B genau dann, wenn χ A χ B ist. Daher ist eine Folge (A n ) n N von Teilmengen genau dann monoton wachsend (fallend), wenn die Folge (χ An ) n N wachsend (fallend) ist. Weiterhin gilt χ A B = χ A χ B χ A + χ B = χ A B + χ A B χ A c = 1 χ A χ A\B = χ A (1 χ B ) 2.3. Satz. Für jede wachsende Folge (u n ) n N von Funktionen aus T + und jedes v T + mit v lim u n gilt vdµ lim u n dµ. Sei v = m α jχ Aj mit α 1,..., α m und disjunkten A 1,..., A m A. Für ein festes β > 1 und n N setzen wir B n := {βu n v} ( A). Ist x und v(x) =, so ist x B n n N. Im Falle v(x) > ist lim k βu k (x) > v(x), also x B n für hinreichend große n N. Es folgt B n und nach Definition von B n ist βu n v χ Bn. Weiterhin folgt dann, dass vdµ = m α j µ(a j ) = lim m α j µ(a j B n ) = lim v χ Bn dµ lim β Der Grenzübergang β 1 liefert die Behauptung. u n dµ = β lim u n dµ. 4

5 2.4. Korollar. Für alle f M + gilt fdµ = sup{ udµ : u T +, u f}. Für alle u T + mit u f gilt fdµ udµ, also fdµ sup{ udµ : u T +, u f}. Die Umkehrung gilt aufgrund der Integraldefinition ebenfalls Satz. (monotone Konvergenz) Für jede wachsende Folge (f n ) n N von Funktionen aus M + gilt ( lim f n )dµ = lim f n dµ. : Zunächst ist f := lim f n M +. Für alle k N ist f k f, also f kdµ fdµ und daher lim f k dµ fdµ. k Sei u T +, u f. Für β > 1 setzen wir B n := {βf n u} und erhalten: B n A, B n und βf n u χ Bn. Hier gilt u χ Bn T + und u χ Bn u. Nun impliziert Satz 2.3. udµ lim u χ Bn dµ β lim f n dµ, und da β > 1 beliebig, folgt weiter udµ lim f n dµ Satz. (Lemma von Fatou) Für jede Folge von Funktionen f n M + (n N) gilt: lim f n dµ lim f n dµ. 5

6 Es gilt, dass f := lim f n M + und für g n := inf k n f k M + gilt g n f. Der Satz der monotonen Konvergenz liefert lim g n dµ = fdµ. Für alle k n ist aber g n f k und daher g ndµ inf k n f kdµ,also fdµ lim inf f k dµ = lim f n dµ. k n 2.7. Satz. (majorisierte Konvergenz) Die Funktionen f, f n : K (n N) seien meßbar und es gelte lim f n = f µ -f.ü.. Ferner gebe es eine integrierbare Funktion g M +, so dass für alle n N gilt f n g µ -f.ü..dann sind f und alle f n (n N) integrierbar und es gilt lim f n dµ = fdµ und lim f n f dµ =. Wir wissen, dass f und f n (n N) integrierbar sind. Daher können wir annehmen, dass f, g und alle f n (n N) überall Werte in K haben und dass überall gilt, dass lim f n = f, f n g (n N). Dann ist g n := f + g f n f M + (n N), und das Lemma von FATOU liefert ( f + g)dµ = = lim g n dµ lim g n dµ ( f + g)dµ lim f n f dµ. Hier ist das Integral von f + g endlich. Daher folgt: lim f n f dµ =. Wegen f n dµ fdµ f n f dµ. folgt die Behauptung. 6

7 2.8. Satz. (von Riesz-Fischer) Die Räume L p ( < p ) sind vollständig, das heißt: Zu jeder Cauchy-Folge (f n ) n 1 in L p gibt es ein f L p, sodass f n f p (n ). 1 p < :. Es gibt eine Teilfolge (f nk ) k 1 von (f n ) n 1, sodass f nk f m p 2 k m n k, k 1. Mit g k := f nk f nk+1 gilt dann für alle n 1 : n n n k=1 g k p k=1 g k p k=1 2 k < 1. Der Satz der monotonen Konvergenz impliziert N p ( k=1 g k ) 1, also konvergiert die Reihe k=1 g k µ -f.ü. absolut. Daher konvergiert die Folge (f n1 f nk ) k 1 µ -f.ü. gegen eine meßbare Funktion K, das heißt es gibt eine meßbare Funktion f : K, sodass f nk f (k ) µ -f.ü. Wir zeigen, dass f L p und f n f p (n ). Dazu sei ɛ >, dann gibt es ein n (ɛ), sodass f l f m p < ɛ l, m n o (ɛ). Eine Anwendung des Lemmas von FATOU auf die Folge ( f nk f m p ) k 1 ergibt: Für alle m n (ɛ) ist f f m p dµ = Falls 1 p < folgt die Behauptung. lim k f nk f m p dµ lim k f nk f m p dµ ɛ p. < p < 1 : p p genügt der Dreiecksungleichung und die obigen Schlüsse liefern bei Ersetzung von p durch p p die Behauptung. p = : Sei (f n ) n 1 eine Cauchy-folge in L. Dann ist N := { f n > f n } n=1 eine Nullmenge und x N c gilt m,n=1 { f m f n > f m f n } f m (x) f n (x) f m f n (m, n N). Daher konvergiert (f n ) n 1 auf N c gleichmäßig gegen f := lim χ N c f n L. Insbesondere ist f L und lim f n f = Korrolar. Für 1 p ist L p ein Banach-Raum und für < p < 1 ist L p ein vollständiger metrischer Raum. 7

8 2.1. Korrolar. Es sei < p. (a) Zu jeder Cauchy-folge (f n ) n 1 in L p gibt es eine Teilfolge (f nk ) k 1 und ein f L p sodass f nk f µ -f.ü. (b) Konvergiert die Folge (f n ) n 1 gegen ein f L p, so existiert eine Teilfolge (f nk ) k 1, die µ -f.ü. gegen f konvergiert. (a) folgt unmittelbar aus dem Beweis des Satzes von RIESZ-FISCHER (b) (f n ) n 1 ist eine Cauchy-Folge in L p. Nach dem Beweis des Satzes von RIESZ-FISCHER gibt es ein g L p mit f n g p und eine Teilfolge (f nk ) k 1, die µ -f.ü. gegen g konvergiert. Wegen f n f p ist aber f = g µ -f.ü Beispiel. Es seien = [, 1], A := B 1, µ = β1. Wir zählen die Intervalle [, 1], [, 1 2 ], [ 1 2, 1], [, 1 3 ], [ 1, 2], [ 2, 1], [, 1],.. ab zu einer Folge von Intervallen I n (n 1). Dann gibt es zu jedem x unendlich viele n N mit x I n und unendlich viele n N mit x / I n. Die Folge der Funktionen f n := χ In (n N) divergiert daher in jedem Punkt x. Andererseits gilt für < p < f n p p = f n p dβ 1 = β 1 (I n ) (n ), das heißt (f n ) n 1 konvergiert in jedem L p (µ) ( < p < ) gegen Null Beispiel. Jede Cauchy-Folge (f n ) n 1 in L p ( < p ) ist beschränkt in dem Sinne, dass die Folge ( f n p ) n 1 in R beschränkt ist. Es stellt sich nun die Frage, ob jede beschränkte Folge von Funktionen aus L p eine fast überall konvergente Teilfolge hat. Die Antwort ist negativ: Es seien (, A, µ) wie in Beispiel und f n (x) := exp(2πinx). Dann ist f n p = 1 n N und < p. Angenommen, es gebe eine streng monoton wachsende Folge (n k ) k 1 natürlicher Zahlen und eine Funktion f : K mit f nk f f.ü.. Offenbar gilt f nk+1 f nk dβ 1 = k 1, und der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert f nk+1 f nk dβ 1 f 2 dβ 1 Daher ist f = f.ü. im Widerspruch zu f nk = 1. (k ). 8

9 2.13. Satz. Ist < p < p und µ() <, so ist L p L p und f p µ() 1/p 1/p f p f L p, das heißt Konvergenz in L p impliziert Konvergenz in L p (mit gleichem Limes). Der Fall p = ist klar. Für < p < p < setzen wir r := p /p, s := (1 1/r) 1. Wir wenden die Höldersche Ungleichung, unter Verwendung der Exponenten r, s, auf die Funktionen f p, 1 an, wobei f L p. Dann folgt f p dµ ( f pr dµ) 1/r (µ()) 1/s. Es folgt: f L p und f p (µ()) 1/p 1/p f p. 9

10 3.1. Definition. Ein Banach-Raum (V, ) über K heißt eine Banach-Algebra, wenn eine Multiplikation : V V V erklärt ist, die V zu einer K -Algebra macht, sodass x y x y (x, y V ). Eine Banach-Algebra mit kommutativer Multipliaktion heißt kommutativ Beispiel. Für jedes Kompaktum R n ist die Menge C() der stetigen Funktionen f : K mit der Supremumsnorm f := sup { f(x) : x } und den üblichen punktweisen Verknüpfungen eine kommutative Banach-Algebra mit Einselement Definition. (Faltung auf L 1 (R p, B p, β p ) ) Die Faltung zweier Funktionen f, g L 1 (β p ), ist die Funktion f g : R p K { f(x y)g(y)dβ p (y) x A c R f g(x) := p x A Diese Funktion ist Borel-meßbar und f g L 1 (β p ). Weiterhin ist sie kommutativ, assoziativ und distributiv Definition. (Fourier-Transformation) Anstelle von β p verwenden wir nun µ p := (2π) p/2 β p als Maß. Für komplexwertiges f L 1 (µ p ) heißen ˆf, ˇf : R p C ˆf(t) := e i t,x f(x)dµ p (x) R p (t R p ) die Fourier-Transformierte von f und ˇf(t) := e i t,x f(x)dµ p (x) = ˆf( t) R p (t R p ) die inverse Fourier-Transformierte von f. Die C -lineare Abbildung, die jedem f L 1 (µ p ) seine Fourier-Transformierte ˆf zuordnet, heißt Fourier-Transformation Satz. L 1 (R m, B m, β m ) ist bezüglich der Faltung als Multiplikation eine kommutative Banach-Algebra ohne Einselement. 1

11 4.1. Definition: Hilbert-Raum L 2 (µ). Für f, g L 2 (µ) ist fg L 1 (µ), denn fg ist meßbar und fg 1 2 ( f 2 + g 2 ). Offenbar ist, : L 2 L 2 K, f, g := fgdµ (f, g L 2 ) eine positiv semidefinite hermitesche Form auf L 2 (das heißt es ist f, f, αf +βg, h = α f, h + β g, h und f, g = g, f f, g, h L 2, α, β K), und es gilt f 2 = f, f 1/2 (f L 2 ). Die Form, hat alle Eigenschaften eines Skalarproduktes mit Ausnahme der Definitheit, denn es ist f, f = genau dann, wenn f = f.ü.. Die Definitheit wird nun durch Übergang zu L 2 (µ) hergestellt: Sind F, G L 2, so hat f, g für alle Vertreter f, g von F bzw. G denselben Wert und F, G := f, g definiert ein Skalarprodukt auf L 2, welches durch F 2 = F, F 1/2 die Norm von L 2 induziert. Ein Banach-Raum (H, ) auf dem ein Skalarprodukt,, das kann z.b. x = x, x 1/2 (x H) sein, die Norm von H induziert, heißt Hilbert-Raum Satz. L 2 (µ) ist ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt f, g = fgdµ (f, g L 2 (µ)) Bemerkung. Wählt man insbesondere µ gleich dem Zählmaß auf I = N oder Z, so folgt: Der Hilbertsche Folgenraum { l 2 (I) := x K I : j I x j 2 < } ist ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt x, y = j I x j y j (x, y l 2 (I)) Definition Orthonormalsystem Es sei H ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt,. Eine Familie (e j ) j I Elementen von H heißt ein Orthonormalsystem, falls e j, e k = δ jk j, k I. (I Z) von 11

12 Ein Orthonormalsystem (e j ) j I liegt. in H heißt vollständig, falls Span(e j : j I) dicht in H 4.5. Satz von der besten Approximation. Ist (e j ) 1 j n ein Orthonormalsystem in H, so gibt es zu jedem f H genau ein g Span(e 1,..., e n ) mit und zwar f g = inf { f h : h Span(e 1,..., e n )}, Für dieses g gilt: g = n f, e j e j. n f g 2 = f 2 f, e j 2. Für λ 1,..., λ n K ist n 2 f λ j e j = f 2 2Re n n n n λ j f, e j + λ j 2 = f 2 f, e j 2 + f, e j λ j Besselsche Ungleichung. Sind (e j ) j I es gilt ein Orthonormalsystem in H und f H, so konvergiert j I f, e j 2, und f, e j 2 f 2. j I 4.7. Korollar. Sind (e j ) j I ein Orthonormalsystem in H und λ j K (j I), so gilt: Es gibt ein f H mit f, e j = λ j (j I) genau dann, wenn j I λ j 2 <. Die Notwendigkeit der Bedingung folgt aus (1.3). Ist umgekehrt j I λ j 2 < und E eine endliche Teilmenge von I, so ist 2 λ j e j = λ j 2. j E j E 12

13 Das heißt das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz der Reihe j I λ je j ist erfüllt. Wegen der Vollständigkeit von H definiert die Reihe also ein Element f H und die Stetigkeit des Skalarproduktes impliziert f, e j = λ j (j I) Satz. Ist (e j ) j I ein Orthonormalsystem in H, so sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) (e j ) j I ist vollständig. (b) Für jedes f H gilt der Entwicklungssatz f = f I f, e j e j (c) Für alle f, g H gilt die Parsevalsche Gleichung f, g = j I f, e j e j, g. (d) Für alle f H gilt die Vollständigkeitsrelation f 2 = j I f, e j 2. (e) (e j ) j I ist ein maximales Orthonormalsystem. (f) Ist f H und f, e j = für alle j I, so gilt f =. (a) (b) : Zu jedem ɛ > gibt es eine endliche Menge E I und Elemente λ j K (j E), so dass f j E λ je j < ɛ. Nach dem Satz von der besten Approximation gilt daher für jede endliche Menge J mit E J I : f f, e j e j f λ j e j < ɛ. j J j E (b) (c) : Für jede endliche Menge E I ist nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung für das Skalarprodukt f, g f, e j e j, g = f e j e j, g j E j E f, f f, e j e j g. j E (c) (d) : offensichtlich. (d) (a) : Für jede endliche Menge E I ist nach (1.2) f, g 2 f, e j e j = f 2 f, e j 2. j E j E 13

14 (b) (f) : offensichtlich. (f) (e) : Ist (e j ) j I nicht maximal, so existiert ein f H, f = 1 mit f, e j = j I im Widerspruch zu (f). (e) (b) : Für jedes f H ist g := j I f, e j e j H und es gilt f, e j = g, e j j I. Gilt (b) nicht, so existiert ein f H mit f g. Dies widerspricht (e), da sich (e j ) j I um f g 1 (f g) erweitern lässt Satz. (F. Riesz) Ist (e j ) j I ein Orthonormalsystem in L 2 (µ) und α j K (j I), so ist j I α j 2 < die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass es ein f L 2 (µ) gibt mit f, e j = α j j I Definition. Sind (H 1,, 1 ) und (H 2,, 2 ) zwei Hilbert-Räume, so heißt eine bijektive lineare Abbildung φ : H 1 H 2 mit φ(u), φ(u) 2 = u, v 1 (u, v H 1 ) eine Isometrie Isomorphiesatz. Ist (e j ) j I ein vollständiges Orthonormalsystem in L 2 (µ), so ist die Abbildung φ : l 2 (I) L 2 (µ), mit φ((α j ) j I ) := j I α j e j ((α j ) j I l 2 (I)) ein Isomorphismus Vollständigkeit des trigonometrischen Systems. Gegeben sei der Maßraum ([, 1], B 1 [,1], β1 [,1] ) und die zugehörigen Räume Lp ([, 1]) (1 p ), K := C. Es sei e n (t) := exp(2πint) (n Z, t [, 1]). Dann ist e n L ([, 1]) und (e n ) n Z ist ein Orthonormalsystem in L 2 ([, 1]). Dann ist das Orthonormalsystem (e n ) n Z in L 2 ([, 1]) vollständig. Wir beweisen im folgenden eine noch schärfere Aussage: Für jedes f L 1 ([, 1]) und n Z ist der n-te Fourier-Koeffizient ˆf(n) := 1 f(t)e 2πint dt und somit die Fourier-Transformation ˆ : L 1 ([, 1]) C Z, f ( ˆf(n)) n Z erklärt. Die Vollständigkeit von (e n ) n Z in L 2 ([, 1]) ist bewiesen, wenn wir zeigen können, dass die Fourier-Transformation L 1 ([, 1]) C Z injektiv ist. Wir werden zeigen, dass aus f L 1 C ([, 1]) und ˆf =, f = f.ü. folgt. Dies tuen wir in 2 Schritten 14

15 (1) Es sei zunächst f : [, 1] C stetig mit ˆf =. Für jedes trigonometrische Polynom, das heißt für jede (endliche) Linearkombination T der e n (n Z) gilt 1 f(x)t (x)dx =. Wegen e n = e n (n Z) sind mit T auch T und daher auch Re(T ), Im(T ) trigonometrische Polynome. Aus (1.4.) folgt dann für alle T : 1 (Re(f(x)))T (x)dx =, 1 (Im(f(x))T (x)dx =. Somit kann man sich im Folgenden auf die Betrachtung reellwertiger f beschränken. Angenommen, es sei f. Dann gibt es ein x (, 1) mit f(x ). Sei o.b.d.a. f(x ) >. Dann gibt es ein ɛ > und ein δ >, sodass f(x) ɛ für < x δ x x + δ < 1. Wir setzen nun für n N : Dann ist T n T n (x) := (1 + cos 2π(x x ) cos 2πδ) n. ein trigonometrisches Polynom mit folgende Eigenschaften: 1. T n (x) für x δ x x + δ; 2. T n (x) (1 + cos πδ cos 2πδ) n für x x δ/2 ; 3. T n (x) 1 für x [, x δ] [x + δ, 1]. Daher gilt: 1 f(x)t n (x)dx x +δ x δ x δ f(x)t n (x)dx ɛδ(1 + cos πδ cos 2πδ) n 1 f(x)t n (x)dx + 1 f(x) dx x +δ f(x)t n (x)dx Das ist ein Widerspruch zu (1.4.). Es folgt, dass f =. (2) Es sei nun f L 1 C ([, 1]) mit x ˆf = und F (x) := f(t)dt (x [, 1]). Dann ist F : [, 1] K stetig mit F (1) = ˆf() = = F (). Mittels partieller Integration folgt nun für alle n : ˆF (n) = 1 F (x)e 2πinx dx = 1 f(x)( 1 2πin )(e 2πinx 1)dx = 1 2πin ( ˆf(n) ˆf()) =. Daher ist h := F ˆF () eine stetige Funktion mit ĥ = und nach dem ersten Schritt ist h =, also F = ˆF (). Wegen F () = ist F =, demnach f = f.ü.. 15

16 4.13. Korrollar. Die Fourier-Transformation ˆ : L 2 ([, 1]) l 2 (Z) ist ein Isomorphismus. Folgt aus den Sätzen (4.11.) und (4.12.) Korollar. Für jedes f L 2 ([, 1]) konvergiert die Reihe n Z ˆf(n)e n im quadratischen Mittel gegen f und es gelten die Vollständigkeitsrelation und die Parsevalsche Gleichung f 2 2 = n Z ˆf(n) 2 f, g = n Z ˆf(n)ĝ(n) (f, g L 2 ([, 1])). Folgt aus (4.9.) und (4.12.) Bemerkung. Ist f L 2 ([, 1]), so existiert nach (2.8.) eine Teilfolge der Folge der Partialsummen ˆf(k)e k n k (n N) der Fourier-Reihe von f, die punktweise f.ü. gegen f konvergiert. Weiterhin konvergiert selbst die Folge der Teilsummen punktweise f.ü. gegen f. Literatur [1] Jürgen Elstrodt Maß- und Integrationstheorie, Springer Verlag, Heidelberg, 27 [2] Harro Heuser Analysis 2, B.G. Teubner Verlag, Wiesbaden, 24 [3] Harro Heuser Funktionalanalysis, B.G. Teubner Verlag, Wiesbaden, 26 [4] I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 23 16