Vorlesung Der Satz von Fubini. 6.2 Der Satz von Beppo Levi 6.1. DER SATZ VON FUBINI 33

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1 6.1. DER SATZ VON FUBINI 33 Vorlesung Der Satz von Fubini Das Lebesgue-Integralkann natürlichauchüber mehrdimensionale Gebiete definiert werden. Wir haben uns hier auf den eindimenionalen Fallbeschränkt. Wir wollen aber wenigstens erwähnen, wie mehrdimensionale Integration auf eindimensionale Integration zurückgeführt werden kann. Proposition. (Satz von Fubini) Sei f(x, y) eine reellwertige µ-messbare Funktion, die bez. des Produktmasses µ(x, y) integrierbar im Lebesgueschen Sinne ist, d.h. es gelte f(x, y) d(x, y) <. Dann ist für fast alle y die Funktion und für fast alle x die Funktion integrierbar, ferner sind E F F E F x f(x, y)dy, F E x f(x, y) y f(x, y) y f(x, y)dx integrierbar, und es gilt f(x, y)d(x, y) = f(x, y)dx dy = f(x, y)dy dx. Bereits 1904 zeigte Lebesgue, dass die Integrationsreihenfolge bei Integration für beschränkte und messbare Funktionen unwesentlichist. Aber welches Maßbenutzte Lebesue? Vermutlich warcauchydieses Resultat im Falle stetiger Integranden bekannt unter Benutzung eines Lebesgue-Maßes! 1907 bewies Fubini Lebesgues allgemeines Resultat unter Verwendung des Lebesgue-Maßes. Vermutlich war Fubinis Beweis lückenhaft, einen korrekten Beweis dieser Aussage gab 1909 Tonelli. Ein detaillierter historischer Überblick findet sich in Jahnke [5], Kapitel 9. E E F 6.2 Der Satz von Beppo Levi Im folgenden wiederholen wir noch einmal für unsere späteren Zwecke wichtige Sätze der Lebesgueschen Integrationstheorie. Es sei dazu stets µ-messbar mit µ() <. Das erste Resultat von Beppo Levi handelt über die gliedweise Integration monoton wachsender Funktionenfolgen: Satz. (Satz von der monotonen Konvergenz, Beppo Levi 1906) Sei {f k } k=1,2,... eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen, die f.ü. monoton wachsend gegen eine messbare Funktion f konvergiert. Dann gilt lim f k (x)dx = f(x)dx.

2 34 KAPITEL III. DER LEBESGUESCHE RAUM 6.3 Der Lebesguesche Konvergenzsatz Die Monotonie im diesem Satz kann relaxiert werden, falls alle f k zusätzlich wie folgt majorisiert sind: Satz. (Satz von der majorisierten Konvergenz, Henry L. Lebesgue 1910) Sei {f k } k=1,2,... eine Folge messbarer Funktionen, die f.ü. gegen eine messbare Funktion f konvergiere. Ferner werde jedes f k von einer Lebesgue-integrierbaren Funktion g L 1 () majorisiert, für welche also insbesondere gelten f k (x) g(x) für alle k N und alle x, g(x)dx <. Dann ist auch f L 1 (), und es gilt lim f k (x)dx = f(x)dx. Hierbei machen wir von folgendem Funktionenraum Gebrauch: Definition. Es ist L 1 () der Raum aller messbaren Funktionen f : R, für welche gilt f(x) dx <. Die Forderung der Beschränktheit der f k ist hier wesentlich: Betrachte nämlich die Funktionen f k (x) = nx n und g k (x) = n 2 x n auf [0, 1]. Beide Funktionen konvergieren außer x = 1 gegen die Nullfunktion, jedoch konvergiert die Folge der Integrale der f k gegen 1 und wächst für die g k unbeschränkt! 6.4 L 1 -reguläre Funktionen Wir kommen auf die Definition L 1 -regulärer Funktionen zurück: Sei f : R, dann setzen wir f(x)dx = f + (x)dx f (x)dx mit den Setzungen f + (x) = max {f(x), 0}, f (x) = max { f(x), 0}. Definition. Wir sagen, dass das (Lebesgue-)Integral von f existiert, falls f + (x)dx < oder f (x)dx <. Wenn beide Integrale endlich sind, so heißt f Lebesgue-integrierbar. Die Menge der Lebesgue-integrierbaren Funktionen ist genau L 1 (). Da zunächst nämlich Positiv- und Negativanteil endlich sind, haben wir f(x) dx <. Umgekehrt gelten aber auch f + (x)dx f(x) dx, Insbesondere sind f + und f Lebesgue-integrierbar. f (x)dx f(x) dx.

3 6.5. DER KONVERGENZSATZ VON FATOU 35 Wir schliessen darüber hinaus f(x)dx = = f + (x)dx f (x)dx (f + (x) + f (x))dx = f(x) dx. f + (x)dx + f (x)dx Wichtig ist folgender Satz. Es sei f L 1 (). Dann gelten folgende Aussagen: (i) Für alle α > 0 besitzt die Menge α := {x : f(x) > α} endliches Maß. (ii) f ist endlich fast überall in. Beweis. (i) Fixiere α > 0. Dann ist α = {x : f + (x) > α} {x : f (x) > α}, weshalb wir uns auf nichtnegative Funktionen f 0 beschränken. In der Übung ist nun folgende Tschebyschev-Ungleichung zu zeigen µ({x : f(x) > α}) 1 f(x)dx < α (die zweite Ungleichung < folgt aus f L 1 ()). Das ist schon mal die erste Behauptung. (ii) Es genügt zu zeigen, dass f + und f f.ü. endlichwertig sind. Also beschränken wir uns wieder auf f 0. Da {x : f(x) = } {x : f(x) > α} für alle α > 0 richtig ist, folgt auch µ({x : f(x) = }) µ({x : f(x) > α}) 1 α f(x)dx <. Der Grenzübergang α zeigt die zweite Behauptung: µ({x : f(x) = }) = 0, und f ist endlich fast überall. 6.5 Der Konvergenzsatz von Fatou Unser nächstes Resultat, welches als Folgerung des Lebesgueschen Konvergenzsatzes gewonnen werden kann, geht auf Pierre Fatou zurück und trifft eine Aussage über die Integrierbarkeit der Grenzfunktion: Satz. (Konvergenzsatz von Fatou, Pierre J.L. Fatou 1906) Sei {f k } k=1,2,... eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen. Dann gilt lim inf f k(x)dx lim inf f k (x)dx.

4 36 KAPITEL III. DER LEBESGUESCHE RAUM Hierzu folgendes Beispiel: Auf R betrachten wir die Funktion f k (x) := 1 k χ [0,k](x), k = 1, 2,..., mit der charakteristischen Funktion χ. Es konvergiert die Folge {f k } k=1,2,... punktweise gegen die Nullfunktion f 0, aber für die Integrale berechnen wir 0 = R f(x)dx = R lim f k(x)dx lim R f k (x)dx = k 0 1 dx = 1 für alle k = 1, 2,... k Beachte, dass wir hier allerdings = R gewählt haben! Auch die Voraussetzung der Nichtnegativität der f k ist wichtig: Ersetzt man nämlich in diesem Beispiel die f k durch f l (x) = 1 l χ [0,l], so ergibt sich 0 = [0, ) lim f l(x)dx > lim l l l 0 ( 1 ) dx = 1. l 6.6 Der Lebesguesche Auswahlsatz Folgenden Resultat stellt ein Analogon des Satzes von Bolzano und Weierstrass dar und wird in späteren Vorlesungen wiederholt Anwendung finden. Wir werden ihn auch sofort beweisen. Satz. (Lebesguescher Auswahlsatz) Sei {f k } k=1,2,... eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen mit lim k,l f k f l dx = 0. Dann gibt es eine Nullmenge N und eine monoton wachsende Teilfolge {k m },2,..., so dass die Folge {f km (x)},2,... für alle x \ N konvergiert, und ihr Grenzwert lim f k m (x) =: f(x) m ist ebenfalls Lebesgue-integrierbar. Aus einer Cauchy-Folge bez. dem L 1 -Integral können wir also eine f.ü. konvergente Teilfolge ausählen. Beweis. (Sauvigny [15], Kapitel II, Paragraph 4, Beweis zu Satz 8) Auf der Nullmenge { } N = x X : f k (x) = ändern wir die Funktionen f k ab zu k=1 f k (x) := { fk (x), falls x \ N 0 sonst. Somit können wir ohne Einschränkung die Funktionen f k als endlichwertig ansehen. Wegen lim f k f l dx k,l

5 6.6. DER LEBESGUESCHE AUSWAHLSATZ 37 gibt es eine Teilfolge k 1 < k 2 <... mit der Eigenschaft f km+1 f km 1 für m = 1, 2,..., 2m so dass folgt f km+1 (x) f km (x) dx 1. Wir betrachten nun die monotone und Lebesgue-integrierbare Funktionenfolge g s (x) := s f km+1 (x) f km (x), x. Nach dem Konvergenzsatz von Beppo Levi ist demnach ihre Grenzfunktion g(x) := f km+1 (x) f km (x) ebenfalls Lebesgue-integrierbar. Die Menge N 2 := {x : g(x) = } ist daher eine Nullmenge (siehe Abschnitt 6.4). Also konvergiert g(x) für alle x \ N mit N = N 1 N 2, und folglich konvergiert dort auch die Reihe ( fkm+1(x) f km (x) ) für alle x \N. Dies zugehörigenpartialsummensind Wechselsummen, d.h. es existiertauchder Grenzwert ( fkm (x) f k1 (x) ) =: f(x) f k1 (x) lim m für alle x \ N, und {f km },2,... konvergiert auf \ N gegen f. Da g Lebesgue-integrierbar und f km (x) f k1 (x) g(x), dürfen wir den Lebesgueschen Konvergenzsatz anwenden. Nach diesem ist f Lebesgue-integrierbar sowie lim f km dx = f dx. Damit ist der Satz gezeigt. m Mit Hilfe dieses Resultats soll als Übungsaufgabe folgender fundamentale Satz gezeigt werden: Satz. (Satz von Fischer und Riesz für den L 1 ) Der Raum L 1 () ist ein Banachraum.

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