x j I j (1 j n)}. und erhält dann, wenn Q j, Q j

Transkript

1 Ein Spaziergang zum Lebesgue-Integral Die Elementargeometrie lehrt, daß der Inhalt eines (rechtwinkligen) Quaders das Produkt seiner Kantenlängen ist. Wir nehmen dies zum Anlaß, den Inhalt eines Quaders so zu definieren. Anschließend soll der Inhalt auf eine möglichst große Klasse von Mengen sinnvoll fortgesetzt werden. 1. Treppenfunktionen. Ein Quader im R n ist das kartesische Produkt von n endlichen Intervallen I 1,..., I n, also Q = (x 1,..., x n ) : x j I j (1 j n)}. Wir setzen a j = inf I j, b j = sup I j. Die Länge des Intervalls I j ist dann b j a j, und heißt Inhalt von Q. vol Q = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 )... (b n a n ) Eine Funktion t : R n R heißt Treppenfunktion, wenn es endliche viele disjunkte Quader Q 1,..., Q r gibt, so daß t auf jedem Q j konstant ist, und daß gilt t(x) = 0 für alle x / Q 1... Q r. Die Q j heißen auch Konstanzquader der Treppenfunktion t. Diese sind keineswegs eindeutig bestimmt. So kann man jeden bereits gegebenen Konstanzquader Q j zerschneiden: man wähle einen Index k 1,..., n}, zerlege I k in zwei willkürlich gewählte disjunkte Teilintervalle I k, I k bzw. I und erhält dann, wenn Q j, Q j mit x k I k k anstelle von x k I k definiert sind, eine disjunkte Zerlegung Q j = Q j Q Dann bleibt t selbstverständlich auch Treppenfunktion zu den neuen Konstanzquadern Q j, Q j. Diesen Prozess nennt man auch Verfeinerung. Sind t, s Treppenfunktionen auf dem R n, so dürfen wir annehmen, daß t, s mit denselben Konstanzquadern gegeben ist. Sind nämlich Q j die Konstanzquader zu t und R j die Konstanzquader zu s, dann sind Q k R j wieder (eventuell leere) Quader, so daß nach endlich vielen Zerschneidungen endlich viele Quader gefunden werden, auf denen sowohl t als auch s konstant ist. Aus der vorigen Bemerkung folgt sofort, daß die Differenz zweier Treppenfunktionen wieder eine Treppenfunktion ist. Die Treppenfunktionen auf dem R n bilden also einen R-Vektorraum, den wir mit T n bezeichnen. Für t T n mit Konstanzquadern Q 1,..., Q r wird das Elementarintegral definiert durch r (1) tdx = t(q j ) vol Q j. Hier hängt die Summe auf der rechten Seite von (1) nicht von der Wahl der Konstanzquader Q 1,..., Q r ab. Um dies einzusehen, zerschneiden wir zunächst einen der Konstanzquader Q j in Q j, Q j wie oben und entnehmen vol Q j = vol Q j + vol Q j der Definition des Inhalts. Wegen t(q j ) = t(q j ) = t(q j) ändert sich die rechte Seite von (1) bei Verfeinerung also nicht. Sind nun Q 1,..., Q r und R 1,..., R r zwei Familien von Konstanzquadern zu t, dann haben diese nach dem 1 j.

2 2 vorigen Argument eine gemeinsame Verfeinerung. Da sich die rechte Seite von (1) bei Verfeinerung nicht ändert, ergibt sich wie erwartet t(q j ) vol Q j = t(r j ) vol R j. j j Wiederum durch Übergang zu einer gemeinsamen Verfeinerung wird für Treppenfunktionen t, s (t s)dx = tdx sdx unmittelbar bestätigt; für reelle λ folgt (λt)dx = λ tdx aus (1). Das Elementarintegral ist also eine lineare Abbildung : T n R. Diese hat die nachfolgenden wichtigen Eigenschaften. Satz 1. Seien t, s T n. Dann sind auch t, max(t, s) und min(t, s) in T n, und es gilt (2) tdx t dx. Gilt t(x) s(x) für alle x R n, dann auch (3) tdx sdx. Die Ungleichung (2) wird oft als Standardabschätzung oder Dreiecksungleichung bezeichnet. Beweis. Für die erste Behauptung benutze die Definition und ggf. eine gemeinsame Verfeinerung für t und s. Für (2) wende die Dreiecksungleichung auf die rechte Seite von (1) an. Für (3) wähle wieder eine gemeinsame Verfeinerung, und lies dann (3) aus (1) ab. 2. Nullmengen. Eine Menge E R n heißt Nullmenge, wenn es zu jedem ε > 0 eine Folge Q k von Quadern mit (4) E Q k und vol Q k < ε gibt. Nullmengen sind von fundamentaler Bedeutung für die Theorie des Lebesgue- Integrals. Zwei einfache Beobachtungen genügen zunächst. Lemma 1. E R n ist genau dann eine Nullmenge, wenn es zu jedem ε > 0 eine Folge von offenen Quadern U k mit E U k, vol U k < ε gibt.

3 3 Beweis. Sind die Q k nach (4) gegeben, dann gibt es einen offenen Quader U k mit Q k U k und vol (U k ) vol (Q k ) + ε2 k. Wegen vol U k ε 2 k + vol Q k < 2ε folgt eine der beiden Implikationen in Lemma 1, deren Umkehrung ist trivial. Lemma 2. Sei E k eine Folge von Nullmengen. Dann ist auch E = eine Nullmenge. Beweis. Wähle zu ε > 0 und jedem k N Quader Q kj mit Wegen E k ist auch E eine Nullmenge. Q kj, vol Q kj < ε E k vol Q kj < 2 k ε. 2 k = ε Beispiele. Jeder Punkt x R n ist ein Quader mit Inhalt 0, also eine Nullmenge. Deshalb sind abzählbare Mengen stets Nullmengen. Der Rand eines Quaders ist ebenfalls eine Nullmenge, denn dieser Rand besteht aus höchstens 2n Seitenflächen, die wiederum Quader sind, bei denen allerdings mindestens eine Kante Länge 0 hat. Mit etwas mehr Mühe kann direkt gezeigt werden, daß jede Mannigfaltigkeit der Dimension d im R n mit d < n eine Nullmenge ist. Darauf gehen wir hier nicht ein, weil derlei Einsichten vorläufig entbehrlich sind. 3. Zwei Hilfssätze über Treppenfunktionen. Die nächsten beiden Lemmata sind recht technisch. Sie werden nur für die Konstruktion des Lebesgue-Integrals im Abschnitt 4 gebraucht. Lemma 3. Seien t k T n, es gelte t k+1 t k für alle k N. Es gebe eine Nullmenge E R n, so daß für alle x / E gilt lim t k (x) = 0. Dann gilt auch t k dx = 0. lim Beweis. Vorläufig sei zusätzlich t k 0 vorausgesetzt. Wähle N so groß, daß alle Konstanzquader von t 1 in W = x : max x j N} enthalten sind. Dann ist W ein kompakter Quader, es gilt t 1 (x) = 0 für x / W, und unter den gegenwärtigen Annahmen deshalb auch t k (x) = 0 für alle k, alle x / W. Wir dürfen deshalb annehmen, daß E W. Sei E 0 die Menge der Ränder aller Konstanzquader aller t k und des Randes von W. Nach Lemma 2 ist auch E 0 eine Nullmenge.

4 4 Wähle nun ε > 0. Wähle dann offene Quader Q j mit E E 0 Q j ; vol Q j < ε; diese gibt es nach Lemma 1. Die Menge M k = x W \E 0 : t k (x) < ε} wird nach Konstruktion durch endlich viele offene Quader überdeckt, nämlich den offenen Konstanzquader von t k (nach Entfernen der Ränder), ergänzt durch Quader in W, auf denen t k bereits verschwindet. Jedes x W \(E E 0 ) liegt nach Voraussetzung in einem M k. Die Q j bilden zusammen mit den M k überdeckenden, soeben konstruierten Quadern eine offene Überdeckung von W. Da W kompakt ist, genügen endlich viele von diesen, um W zu überdecken. Da aber auch M k+1 M k gilt, genügen M K für ein K N und endlich viele der Q j, um W zu überdecken. Sei J der größte Index j der hier beteiligten Q j. Dann ist T (x) = max t 1 für x Q 1... Q J ε für x W \(Q 1... Q J ) 0 für x / W eine Treppenfunktion, und nach Konstruktion ist t k (x) T (x) für alle k K. Das zeigt für diese k J 0 t k dx t 1 vol Q j + ε vol W < ε( t 1 + vol W ). Das beweist Lemma 3 unter der zusätzlichen Voraussetzung t k 0 für alle k N, von der wir uns jetzt befreien müssen. Wird diese fallengelassen, dann betrachten wir G l = x R n : t l (x) < 0}. Wegen der Monotonie der t k ist für x G l die Folge t k (x) sicher nicht nach Null konvergent, nach Voraussetzung G l also eine Nullmenge. G l kann deshalb nur aus Konstanzquadern von t l mit Volumen 0 bestehen. Betrachten wir nun t + k (x) = tk (x), wenn t k (x) 0 0 sonst, dann ist t + k (x) eine Folge von Treppenfunktionen, und da t+ k (x) t k(x) nur für x G k möglich ist, gilt t + k dx = t k dx. Weil t + k keine negativen Werte annimmt, ist Lemma 3 für t+ k bereits bewiesen. Es folgt lim t k dx = 0, wie behauptet. Für die umständliche Formulierung außerhalb einer Nullmenge sagen wir kurz fast überall und schreiben dafür oft nur f. ü. Lemma 4. Seien t k T n mit t k+1 t k für alle k N. Es gebe ein A > 0 mit tk dx A für alle k. Dann konvergiert die Folge t k (x) für fast alle x R n.

5 5 Beweis. Wir dürfen t k (x) 0 für alle k N, x R n annehmen (sonst ersetze t k durch t k t 1 ). Sei ε > 0 gegeben. Betrachte K l = x : t l (x) > A }, K = K l. ε Ist t k (x) divergent, dann wegen der Monotonie auch nicht nach oben beschränkt. Solche x sind also für jedes ε > 0 in K enthalten. Die Menge K l besteht aus Konstanzquadern von t l, also ist A/ε (x Kl ) τ l (x) = 0 sonst eine Treppenfunktion mit t l τ l, und es folgt A t l dx τ l dx = A ε J(l) l=1 vol Q lj, wenn K l die disjunkte Vereinigung der Quader Q lj mit 1 j J(l) ist. Es folgt (5) J(l) vol Q lj ε. Jetzt benutzen wir nochmals die Monotonie: es ist K l K l+1. Beim Übergang von l zu l +1 kommen also zu den Quadern Q lj eventuell endlich viele neue Quader hinzu, die zusammen mit den Q lj nach Umnummerierung als Q l+1,j oben beschrieben sind und (5) mit l + 1 für l genügen. Deshalb ist K abzählbare disjunkte Vereinigung von Konstanzquadern der t k, wobei nach (5) die Summe der Inhalte ε nicht überschreitet. 4. Definition des Lebesgue-Integrals. Eine Folge t k T n von Treppenfunktionen heiße L-Folge, wenn t k+1 t k für alle k N gilt und es ein A > 0 mit tk dx A für alle k gibt. Dies sind die in Lemma 4 verlangten Eigenschaften, solche Folgen konvergieren also punktweise fast überall. Außerdem bilden die reellen Zahlen t k dx eine monoton wachsende und beschränkte, deshalb konvergente Folge. Lemma 5. Seien t k und s k zwei L-Folgen, für fast alle x R n gelte (6) lim k(x) lim k(x). Dann gilt auch lim t k dx lim s k dx. Bei der Interpretation von (6) ist zu beachten, daß beide Grenzwerte nach Lemma 4 für fast alle x R n existieren. Zum Beweis fixiere ein t l und betrachte tl (x) s f k (x) = k (x), wenn t l (x) > s k (x) 0 sonst. Dann bilden die f k eine monoton fallende Folge von Treppenfunktionen, und aus (6) folgt lim f k (x) = 0 fast überall. Mit Lemma 3 folgt (7) lim f k dx = 0.

6 6 Es gilt aber auch t l dx s k dx = (t l s k )dx f k dx. Mit (7) und k ergibt sich und mit l folgt die Behauptung. t l dx lim s k dx, Jetzt kann das Lebesgue-Integral definiert werden. Wir setzen C 1 (R n ) = f : R n R : es gibt eine L-Folge t k mit lim t k(x) = f(x) f. ü.}. Sind t k und s k zwei L-Folgen mit lim t k (x) = lim s k (x) f. ü., dann sind nach Lemma 5 die Grenzwerte von t k dx und s k dx dieselben. Wir können also für f C 1 und eine L-Folge t k mit t k (x) f(x) das Integral durch (8) fdx := lim t k (x)dx, definieren, dies hängt nach der vorigen Bemerkung nicht von der speziellen Wahl der t k ab. Dieses C 1 -Integral erbt die Monotonie von den Treppenfunktionen: sind f, g C 1 mit f(x) g(x) fast überall, dann zeigt Lemma 5 (9) fdx gdx. Ferner ist für f, g C 1 auch f + g C 1 ebenso für reelle λ > 0 auch λf. Dies ergibt sich sofort aus der Definition, und man sieht auch (10) (f + g)dx = fdx + gdx; (λf)dx = λ fdx. Leider ist aber C 1 kein Vektorraum, denn Multiplikation mit 1 kehrt monotones Wachstum um. Zur Übung sei empfohlen, eine Funktion f C 1 (R) mit f / C 1 (R) zu konstruieren. Wegen dieses kleinen Schönheitsfehlers gehen wir zum von C 1 (R n ) erzeugten Vektorraum über und setzen das Integral darauf linear fort. Sei L 1 (R n ) = f g : f, g C 1 (R n )}. Ist h L 1 (R n ) mit h = f g = f g für f, g, f, g C 1, dann ist f + g = f + g, wegen (10) also (11) f + g = f + g. Wir können also das Lebesgue-Integral von h definieren durch die C 1 -Integrale (12) hdx := fdx gdx, denn nach (11) ist diese Definition von der speziellen Wahl von f, g C 1 mit h = f g unabhängig. Ferner ist nach Konstruktion ( f)dx = fdx, wegen (10) ist deshalb das Lebesgue-Integral : L 1 (R n ) R

7 7 linear. Man beachte auch, daß aus f L 1 (R n ) und f(x) = g(x) f.ü sofort g L 1 (R n ) mit fdx = gdx folgt. Dies ist aus der Definition von C 1 (R n ) unmittelbar ersichtlich. Die wichtigsten weiteren Eigenschaften des Lebesgue-Integrals sind im folgenden Satz zusammengefaßt, den man mit Satz 1 vergleichen sollte. Satz 2. Seien f, g L 1 (R n ). Dann sind auch f, max(f, g) und min(f, g) in L 1 (R n ), und es gilt (13) fdx f dx. Gilt f(x) g(x) für fast alle x R n, dann auch (14) fdx gdx. Beweis. Sind f, g beide in C 1, dann haben wir (14) schon in (9) begründet. Alle anderen Aussagen folgen in diesem Fall über (8) aus den entsprechenden Aussagen für Treppenfunktionen in Satz 1. Damit ist Satz 2 für f, g C 1 vollständig bewiesen. Sei jetzt f L 1 (R n ) mit f = f 1 f 2, f j C 1 (R n ). Dann ist f = max(f 1, f 2 ) min(f 1, f 2 ), also f L 1 (R n ). Ebenso sind in L 1 (R n ), denn f + = max(f, 0), f = min(f, 0) f + = max(f 1, f 2 ) f 2, f = max(f 1, f 2 ) f 1 stellt f +, f als Differenz von C 1 -Funktionen dar. Wegen max(f, g) = g + (f g) + ist auch max(f, g) L 1 (R n ). Dasselbe Argument liefert min(f, g) L 1 (R n ). Wir zeigen jetzt (14) für f, g L 1 (R n ) und schreiben dazu f = f 1 f 2, g = g 1 g 2 mit f j, g j C 1 (R n ). Dann gilt f 1 + g 2 f 2 + g 1, und f 1 + g 2, f 2 + g 1 sind C 1 - Funktionen. Wir können diese Ungleichung nach (9) integrieren und erhalten (f 1 + g 2 )dx (f 2 + g 1 )dx, woraus (14) unmittelbar folgt. Für (13) beachte f(x) f(x), f(x) f(x). Nach (14) folgt ± fdx f dx, was (13) bestätigt. 5. Zusammenhang mit der Riemannschen Theorie. Sei I = [a, b] ein kompaktes Intervall und f : I R eine Riemann-integrierbare Funktion, die wir durch f(x) = 0 für x / I auf R fortsetzen. Wähle zu k N eine äquidistante Zerlegung von I in 2 k Teilintervalle und bilde dazu die Riemannsche Untersumme, die auch als Elementarintegral einer Treppenfunktion t k interpretiert werden kann. Die t k bilden eine L-Folge, und es ergibt sich sofort f C 1 (R); Riemannsches und C 1 -Integral

8 8 sind gleich. Mit f ist auch f Riemann-integrierbar, also ist auch f C 1 (R). Hier gilt sogar t k (x) f(x) für alle x I, so daß sowohl f als auch f der Teilklasse C 1(R) = f : R R : es gibt eine L-Folge t k mit t k f und t k (x) f(x) f. ü.}. angehören. Ist umgekehrt eine Funktion f : I R gegeben, die durch f(x) = 0 für x / I auf R fortgesetzt wird, und sind f und f C 1(R), dann ist f Riemann-integrierbar. Denn ist f C 1 (R) und t k T 1 eine L-Folge mit t k (x) f(x) für alle x R, dann ist auch tk (x) (x I) t k (x) = 0 sonst eine solche Folge. Da die t k monoton wachsen mit t k (x) f(x), bilden die t k Riemannsche Untersummen, und es gilt t k dx = fdx, lim wobei hier rechts ein C 1 -Integral gemeint ist. Ist s k eine L-Folge zu f, dann fällt s k (x) monoton gegen f(x). Wird wieder sk (x) (x I) s k (x) = 0 sonst gewählt, dann ist auch s k eine L-Folge für f, die Treppenfunktionen s k liefern Riemannsche Obersummen zu f, und es gilt ( s k )dx = fdx. lim Die Ober- und Untersummen streben also gegen denselben Grenzwert, der gleichzeitig als C 1 -Integral von f erkannt wird. Das beweist Satz 3. Sei I = [a, b] ein kompaktes Intervall in R; eine Funktion f : I R werde durch f(x) = 0 für x / I auf R fortgesetzt. Genau dann ist f Riemann-integrierbar über I, wenn f und f zu C 1(R) gehören. Das Riemannsche und das Lebesguesche Integral stimmen für solche f überein. Insbesondere lassen sich stetige Funktionen über kompakte Intervalle wie bisher gewohnt berechnen. Die Klasse der Lebesgue-integrierbaren Funktionen ist aber erheblich reichhaltiger. Welche Vorteile das hat, werden wir gleich sehen. Als ein Beispiel betrachten wir die Funktion 1 x Q, f(x) = 0 x R\Q. Es gilt f C 1(R), die Funktion f ist aber nicht in C 1(R). Um dies einzusehen, betrachte die Treppenfunktion t k : R R mit t k (x) = 0, es sei denn, x = p/q als gekürzter Bruch mit x k und 1 q k, wo t k (x) = 1 gesetzt ist. Dann ist t k eine L-Folge, die für alle x R gegen f(x) konvergiert. Wegen t k dx = 0 folgt sogar fdx = 0. Weil f(x) für beliebig große Werte von x den Wert 1 annimmt, jede Treppenfunktion außerhalb eines Kompaktums jedoch verschwindet, kann es keine monoton

9 9 wachsende Folge von Treppenfunktionen geben, die punktweise gegen f konvergiert. 6. Konvergenzsätze. Man könnte versuchen, ähnlich wie beim Übergang von Treppenfunktionen zu C 1 (R n ) mit Folgen in L 1 (R n ) zu starten und das Integral auf die so entstehende Klasse fortzusetzen. Dieser Prozess führt aber aus L 1 (R n ) nicht heraus. Das ist der wesentliche Inhalt des Satzes von der monotonen Konvergenz, den wir als Teil a) in Satz 4 formulieren. Satz 4. (a) Seien f k L 1 (R n ) mit f k+1 f k für alle k. Es gebe ein A > 0 mit fk dx A für alle k N. Dann existiert der Grenzwert lim f k (x) fast überall, die Funktion lim F (x) = f k(x), wenn dieser Grenzwert existiert 0 sonst gehört zu L 1 (R n ), und es gilt (15) fdx = lim f k dx (b) Seien g k L 1 (R n ), es gelte g k 0, und die Reihe (16) g k dx sei konvergent. Dann konvergiert die Reihe g k (x) fast überall, die Funktion g k (x), wenn diese Reihe konvergiert g(x) = 0 sonst gehört zu L 1 (R n ), und es gilt gdx = g k dx. Teil (b) heißt in der Literatur auch Satz von Beppo Levi. Beweis. Wir zeigen zunächst (a) für Folgen f k C 1 (R n ). Wähle L-Folgen t k,l mit lim l t k,l (x) = f k (x). Dann sind auch Treppenfunktionen, und es gilt s l+1 (x) = s l (x) = max 1 k l t k,l(x) max t k,l+1(x) max t k,l+1(x) 1 k l+1 1 k l max t k,l(x) = s l (x). 1 k l Im Zeilensprung wurde dabei t k,l+1 t k,l für alle k ausgenutzt. Die s l sind also eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen. Wegen t k,l f k f l für

10 10 1 k l ergibt sich weiter s l f l, und deshalb s l f l A. Damit ist s l eine L-Folge, und wir definieren lim f(x) = s k(x), wenn dieser Grenzwert existiert, 0 sonst. Nach Konstruktion ist s l (x) t k,l (x) für 1 k l, mit l folgt f(x) f k (x) fast überall, und f k s k hatten wir gerade gesehen. Mit k in f(x) f k (x) s k (x) folgt f k (x) f(x) fast überall, und durch Integration fdx f k dx s k dx. Da aber die s k eine L-Folge für f sind, folgt (15) sofort. Jetzt beweisen wir (b) für g k C 1 (R n ). Da Summen aus C 1 (R n ) nicht herausführen, sind f k (x) = g 1 (x) g k (x) in C 1 (R n ) monoton wachsend in k, und (b) folgt aus (a). Als nächstes wird (b) allgemein für Reihen in L 1 (R n ) hergeleitet. Dazu wird ein einfacher Trick benötigt: Hilfssatz. Sei f L 1 (R n ) mit f 0. Sei ε > 0. Dann gibt es g, h C 1 (R n ) mit g 0, h 0, f = g h und hdx < ε. Sind nämlich g 0, h 0 C 1 mit f = g 0 h 0 gefunden, dann wähle eine L-folge s l, die punktweise gegen h 0 konvergiert. Wähle l so groß, daß (h 0 s l )dx < ε erfüllt ist. Setze g = g 0 s l, h = h 0 s l. Da s l T n ist, sind g, h in C 1 (R n ), und es gilt immer noch f = g h. Nach Konstruktion ist h 0. Wegen f 0 folgt g 0. Das beweist den Hilfssatz. Seien nun g k L 1 (R n ) mit g k 0. Nach dem Hilfssatz gibt es g k, g k und g k dx < 2 k. Nach dem Majoranten-Kriterium konvergiert g k dx, dann folgt wegen der geforderten Konvergenz von (16) auch die Konvergenz von gkdx. Wir können jetzt die für C 1 -Funktionen schon bekannte Aussage von (b) auf die Reihen mit g k und g k separat anwenden. Das liefert dann (b) für g k. Um schließlich (a) für f k L 1 (R) zu beweisen, genügt es, (b) auf g k (x) = f k+1 (x) f k (x) anzuwenden. Damit ist Satz 4 bewiesen. Satz 5 (Lebesguescher Konvergenzsatz). Seien f k und g Funktionen aus L 1 (R n ) mit f k (x) g(x) für alle k N, x R n. Der Grenzwert f(x) = lim f k (x) existiere fast überall. Dann ist f L 1 (R n ), und es gilt fdx = lim f k dx.

11 11 Dieser leicht handzuhabende und wichtige Satz ist das zentrale Ergebnis der Lebesgueschen Theorie. Die Superiorität zur Riemannschen Theorie läßt sich an vielen Beispielen illustrieren. Ist [a, b] ein kompaktes Intervall, und sind f k : [a, b] R Funktionen in L 1 (R) (außerhalb von [a, b] trivial durch 0 fortgesetzt) mit f k (x) 1 und lim f k (x) = 0, dann impliziert Satz 5 schon (17) lim b a f k (x)dx = 0. Sind die f k auf [a, b] stetig, dann ist das Integral in (17) ein Riemannsches. Zur Übung sei dringend empfohlen, (17) nur mit Riemannscher Integrationstheorie zu verifizieren. Beweis Satz 5. Wir setzen g k,l (x) = max(f k (x), f k+1 (x),..., f k+l (x)). Dann ist g k,l L 1 (R) und es gilt g k,l g, also auch g k,l dx gdx. Wegen g k,l+1 g k,l ergibt sich dem Satz von der monotonen Konvergenz, daß die Funktion g k (x) = lim g k,l (x) = sup f l (x) l in L 1 liegt. Die g k (x) sind in k monoton fallend, nach Voraussetzung ist lim g k(x) = lim sup l k l k f l (x) = f(x). Genauso wird h k (x) = inf f l(x) l k als Funktionenfolge in L 1 (R n ) erkannt, die in k monoton gegen f(x) wächst. Es gilt also h k (x) f(x) g k (x); nach dem Satz von der monotonen Konvergenz ist f L 1 (R n ) mit lim h k (x)dx = lim g k (x)dx = f(x)dx. Nach Konstruktion ist aber auch h k f k g k, also h k dx f k dx g k dx. Da mit k sowohl die linke als auch die rechte Seite dieser Ungleichungskette gegen fdx konvergieren, folgt Satz 5 sofort. Von den ungezählten Anwendungen der Konvergenzsätze beginnen wir mit einigen besonders simplen. Ist f L 1 (R), dann kann g k = f für alle k N gesetzt werden. Aus Satz 4b folgt: Satz 6. Sei f L 1 (R) und f dx = 0. Dann ist f(x) = 0 fast überall. Um den Lebesgueschen Konvergenzsatz effizient anwenden zu können, ist ein gewisser Vorrat von Funktionen nützlich, die als Majoranten in die Rolle von g in Satz 5 schlüpfen können. Sehr einfach, aber wirkungsvoll ist folgende Beobachtung. Lemma 6. Sei g : R [0, ) stetig, das uneigentliche Riemann-Integral g(x)dx

12 12 existiere. Dann ist g L 1 (R). Zum Beweis genügt es, den Satz von der monotonen Konvergenz auf die Folge g k mit g k (x) = g(x) für x k, und g k (x) = 0 für x > k, anzuwenden. Insbesondere ist demnach für α > 1 die Funktion 1 ( x 1) g(x) = x α ( x > 1) in L 1 (R), aber auch Funktionen wie e x, e x2 und x 1 (log x ) 2 (für x 2) werden durch Lemma 6 als integrierbar erkannt. In der reellen Analysis wird die Eulersche Gammafunktion für reelle z > 0 meist durch das uneigentliche Integral Γ(z) = 0 e x x z 1 dx eingeführt. Als typische Anwendung für Satz 5 leiten wir die Gaußsche Produktdarstellung her: für dieselben z ist Zum Beweis beachten wir und Deshalb definieren wir 0 k!k z Γ(z) = lim z(z + 1)... (z + k). ( lim 1 x ) k = e x k ( 1 x ) k e x k für 0 x k. f k (x) = x z 1( 1 x k ) k für 0 x k und setzen f k trivial auf R fort. Dann ist 0 f k (x) x z 1 e x, und Satz 5 zeigt sofort lim f k dx = Γ(z). Andererseits ist nach k-maliger partieller Integration k f k dx = x z 1( 1 x ) kdx k!k z = k z(z + 1)... (z + k), was die behauptete Formel bereits bestätigt Integrabilitätskriterien. Eine Funktion f : R n R heißt meßbar, wenn es eine Folge von Treppenfunktionen t k T n gibt mit lim h t k(x) = f(x) f. ü. Offenbar ist jede stetige Funktion meßbar. Auch jedes f L 1 (R n ) ist meßbar, denn wenn f = g h mit g, h C 1 (R n ) geschrieben wird, sind nur noch L-Folgen t k für g und s k für h zu wählen; t k s k konvergiert dann fast überall gegen f. Diese Beobachtung hat beinahe eine Umkehrung: Lemma 7. Sei f : R n R meßbar, g L 1 (R n ) und f(x) g(x) für alle x R n. Dann ist f L 1 (R n ).

13 13 Zum Beweis wähle man eine Folge t k T n, die fast überall gegen f konvergiert, und wende den Lebesgueschen Konvergenzsatz auf t k (x) für t k (x) g(x) g k (x) = g(x) für t k (x) > g(x) g(x) für t k (x) < g(x) an. Da Meßbarkeit schnell zu prüfen ist, ist Lemma 7 ein sehr mächtiges Integrabilitätskriterium. Oft reicht der folgende Satz aus zum Nachweis der Meßbarkeit. Satz 7 (Verkettungssatz). Sei G : R k R stetig, und f j : R n R seien meßbar. Dann ist auch x G(f 1 (x),..., f k (x)) meßbar. Beweis. Wähle t jl T n mit lim l t jl (x) = f j (x) f. ü. Dann sind G(t 1l (x),..., t kl (x)) Treppenfunktionen, die mit l f. ü. gegen G(f 1 (x),..., f k (x)) konvergieren. Insbesondere ist also das Produkt meßbarer Funktionen meßbar (wähle G(y 1, y 2 ) = y 1 y 2 in Satz 7). Ist f L 1 (R) und t R, dann bleibt f(x) cos(tx) meßbar (als Funktion von x), und es gilt f(x) cos(tx) f(x). Nach Lemma 7 existiert also das Integral F (t) = f(x) cos(xt)dx für alle t R. Die Funktion F heißt Cosinus-Transformation von f. Dieser gemeinsame Einsatz von Lemma 7 und Satz 7 zum Nachweis der Integrabilität ist sehr typisch. Der für Quader bereits eingeführte Inhalt soll nun auf eine möglichst große Klasse von Mengen fortgesetzt werden. Eine Menge A R n heißt meßbar, wenn ihre charakteristische Funktion 1 (x A) 1 A (x) = 0 sonst meßbar ist. Ist 1 A L 1 (R n ), dann heißt A endlich meßbar, und vol A = 1 A dx der Inhalt von A. Insbesondere sind endlich meßbare Mengen meßbar, und für Quader Q R n ist 1Q dx dasselbe wie das Produkt der Kantenlängen von Q, so daß für Quader diese neue Definition des Inhalts mit der bisherigen verträglich ist. Lemma 8. Ist U R n offen und beschränkt, dann ist U endlich meßbar. Beweis. Wir nehmen U x : x j N} an und zerlegen den Würfel x j N durch Kantenhalbierung in 2 n Teilwürfel, und setzen diesen Prozess mit jedem Teilwürfel rekursiv fort. Nach k Schritten sind dann 2 kn Teilwürfel mit Kantenlänge 2 k N entstanden. Im k-ten Schritt sei A k die Vereinigung aller dieser Teilwürfel, die ganz in U enthalten sind. Es gilt dann A k A k+1 für alle k, und weil U offen ist, ist jedes x U auch in A k, wenn k genügend groß ist. Da t k = 1 Ak eine Treppenfunktion ist, folgt jetzt t k (x) 1 U (x) für alle x. Wegen t k+1 t k ist sogar 1 U C 1(R n ).

14 14 Auch kompakte Mengen sind endlich meßbar. Ist nämlich K R n kompakt, dann ist K x : x j < N} =: W für genügend großes N, die Mengen W und W \K sind offen und beschränkt, also endlich meßbar, und es gilt 1 K = 1 W 1 W \K. Es folgt insbesondere, daß offene und abgeschlossene Mengen stets meßbar sind. Ist eine meßbare Funktion f und eine meßbare Menge A gegeben, dann ist 1 A f wieder meßbar nach Lemma 7 und Satz 7. Ist 1 A f sogar in L 1 (R n ), dann wird zur Abkürzung oft 1 A fdx = fdx gesetzt. Wir nennen dies das Integral von f über A. Eine Funktion in L 1 (R n ) kann also über jede meßbare Menge integriert werden. Lemma 8. Eine Menge E R n ist genau dann Nullmenge, wenn E endlich meßbar ist mit vol E = 0. Beweis. Ist E Nullmenge, dann gibt es zu k N Quader Q kl mit E Q kl und l=1 vol Q kl < 1 k. Wir können die Q kl so wählen, daß die A k = l=1 absteigen, d. h. A k+1 A k für alle k (aufmerksame Leser überzeugen sich davon). Dann ist 1 Ak 1 Qkl, also vol(a k ) < 1 k, l=1 und 1 Ak fällt monoton und f. ü. gegen 1 E. Nach den Konvergenzsätzen ergibt sich vol E = 0. Die umgekehrte Richtung folgt aus Satz 6: aus vol E = 0 folgt 1 E (x) = 0 f. ü, d. h. E is Nullmenge. A Q kl l=1 8. Parameterintegrale. In diesem Abschnitt bezeichne stets M R m eine zunächst noch beliebige Menge, den Parameterbereich. Dazu sei eine Funktion f : R n M R gegeben, so daß für jedes y M die Funktion x f(x, y) zu L 1 (R n ) gehört. Dann ist durch F (y) = f(x, y)dx eine Funktion F : M R erklärt, das Parameterintegral von f. Günstige Eigenschaften von f bezüglich y pflanzen sich unter milden Bedingungen auf F fort. Dies gilt insbesondere für Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Eine Funktion f wie oben beschrieben heißt L-beschränkt (genauer: gleichmäßig Lebesgue-beschränkt auf M), wenn es g L 1 (R n ) gibt mit f(x, y) g(x) für alle x R n, alle y M.

15 15 Satz 8. Ist f eine L-beschränkte Funktion, für die für alle x R n die Funktion M R, y f(x, y) in y 0 M stetig ist, dann ist auch das Parameterintegral von f in y 0 stetig. Beweis. Sei y k M eine Folge mit y k y 0. Dann ist f k (x) = f(x, y k ) eine Funktionenfolge mit lim f k(x) = f(x, y 0 ). Satz 5 kann angewendet werden, weil f(x, y) L-beschränkt ist. Auf Differenzierbarkeit untersuchen wir Parameterintegrale zuerst, wenn m = 1 und M ein offenes Intervall ist. Ist dann y f(x, y) für jedes feste x R eine stetig differenzierbare Funktion, dann ist nach dem Mittelwertsatz f(x, y) f(x, y 0 ) y y 0 = f y (x, y 0 + θ(y y 0 )) für geeignetes θ (0, 1), insbesondere ist dieser Differenzenquotient auf M stetig in y. Ist f y L-beschränkt, kann auf F (y) F (y 0 ) f = y y 0 y (x, y 0 + θ(y y 0 ))dx. Satz 8 angewendet werden. Mit y y 0 wird F als differenzierbar erkannt; es gilt f F (y) = (x, y)dx. y Deshalb ist F sogar stetig. Da eine Funktion von m Variablen auf einer offenen Menge M mit stetigen partiellen Ableitungen auch stetig differenzierbar ist, können wir das soeben gefundene Resultat verallgemeinern zu Satz 9. Sei M R m offen, für jedes y M sei x f(x, y) in L 1 (R n ), und für jedes x R n sei y f(x, y) stetig differenzierbar auf M mit auf M L-beschränkten partiellen Ableitungen f y j (1 j m). Dann ist das Parameterintegral zu f stetig differenzierbar auf M, und es gilt f f(x, y)dx = (x, y)dx. y j y j e x2 Als einfache Anwendung berechnen wir die Cosinus-Transformation von f(x) = explizit, also die auf ganz R definierte Funktion F (t) = Nach Satz 9 ist F differenzierbar, und es gilt F (t) = e x2 cos(xt)dx. xe x2 sin(xt)dx. Unter Beachtung von d dx e x2 = 2xe x2 ergibt partielle Integration F (t) = 1 2 t e x2 cos(xt)dx = 1 tf (t). 2

16 16 Daraus läßt sich F mit einem Trick bestimmen. Die Funktion g(x) = e (x/2)2 F (x) ist nämlich differenzierbar mit g (x) = e (x/2)2 F (x) xe(x/2)2 F (x) = 0. Also ist g konstant. Es folgt F (t) = Ce (t/2)2 mit C = F (0) = e x2 dx. Auch den Wert von C können wir später noch berechnen. 9. Sukzessive Integration. Für Integrale einer Variablen stehen über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wirksame Methoden zur Berechnung von Integralen zur Verfügung, denn Satz 3 läßt für eine große Klasse von Integranden den Import der klassischen Analysis in die Lebesguesche Theorie zu. Für Integrale über den R n hingegen fehlt noch eine leistungsfähige Methode. Der nachfolgende Satz ist sehr nützlich. Wir betrachten Funktionen f : R n R m R und schreiben meist x R n, y R m. Diese fassen wir dann zu (x, y) R n+m zusammen. Satz 10 (Fubini). Sei f L 1 (R n+m ). Dann ist x f(x, y) fast überall (in y R m ) in L 1 (R n ), die durch F (y) = f(x, y)dx definierte Funktion F : R m R ist in L 1 (R m ), und es gilt F (y)dy = fd(x, y). Kürzer, aber etwas unpräzise, kann man also sagen, daß ein Integral über den R n+m durch sukzessive Integration in der Form ( ) fd(x, y) = f(x, y)dy dx berechnet werden kann. Selbstverständlich können die Rollen von x und y vertauscht werden. Wird Satz 10 wiederholt auf g L 1 (R n ) angewendet, dann ergibt sich gdx = g(x 1, x 2,..., x n )dx 1 dx 2... dx n, und die Integrale einer Variablen können mit dem Hauptsatz bearbeitet werden. Bei der Anwendung von Satz 10 ist die Voraussetzung f L 1 (R n+m ) dringend zu beachten. Insbesondere darf keinesfalls von der Existenz der sukzessiven Integrale f(x, y)dxdy auf die Integrierbarkeit von f geschlossen werden. So ist etwa für f : R 2 R, gegeben durch 1 0 < x y < 1, f(x, y) = 1 0 < y x < 1, 0 sonst, für alle y R stets f(x, y)dx = 0, also f(x, y)dxdy = 0, und dasselbe gilt, wenn zuerst nach y, dann nach x integriert wird. Aber: f ist sicher nicht in L 1 (R 2 ),

17 17 also auch nicht f. Zur Übung sei empfohlen, zu gegebenen A, B R eine Funktion f : R 2 R zu konstruieren mit f(x, y)dxdy = A, f(x, y)dydx = B. Für positive Funktionen hat der Satz von Fubini eine partielle Umkehrung. Satz 11 (Tonelli). Sei f : R n+m [0, ) eine meßbare Funktion, für alle y R m sei x f(x, y) integrierbar, und das Parameterintegral F (y) = f(x, y)dx definiere F L 1 (R n ). Dann ist f L 1 (R n+m ). Wiederum läßt sich prägnanter, aber etwas ungenauer sagen: existiert das sukzessive Integral f(x, y)dxdy, und ist f 0, dann existiert auch fd(x, y), und dieses Integral hat denselben Wert wie das sukzessive Integral. Nach Satz 11 ist x exp( x 2 2) in L 1 (R n ), denn es ist exp( x 2 2) = e x2 1 e x e x 2 n und ( e x e x n. 2 n dx1... dx n = e dt) t2 Der Beweis von Satz 10 verläuft in mehreren Schritten für größer werdende Klassen von Funktionen. (i) Ist f die charakteristische Funktion eines Quaders, dann gilt Satz 10. Denn ist Q ein Quader im R n+m, dann gibt es Quader U im R n und V im R m mit Q = (x, y) : x U, y V }, und es gilt vol Q = (vol U)(vol V ). Wegen 1 Q (x, y) = 1 U (x)1 V (y) folgt wie erwartet 1 Q d(x, y) = vol Q = (vol U)(vol V ) = 1 U dx 1 V dy. (ii) Ist f eine Treppenfunktion, dann ist f = c 1 1 Q c r 1 Qr mit geeigneten c j R und Quadern Q j im R n+m. Wegen der Linearität des Elementarintegrals und (i) gilt Satz 10 also für Treppenfunktionen. (iii) Wir benötigen jetzt den folgenden Hilfssatz, der Satz 10 für charakteristische Funktionen von Nullmengen bestätigt. Lemma. Sei E R n+m eine Nullmenge. Dann ist fast überall in y R m auch E y = x R n : (x, y) E} eine Nullmenge im R n. Der Beweis erfordert etwas Sorgfalt. Zu jedem y R m betrachten wir Überdeckungen von E y ; das seien Familien von Quadern W j im R n mit E y W j. Jeder solchen Überdeckung ordnen wir die Reihe vol W j

18 18 zu. Konvergiert diese nicht, setzen wir dafür formal. Zu k N sei B k die Menge aller y R m, für die bei jeder Überdeckung von E y gilt vol W j > 1 k. Nach Definition der Nullmengen ist E y genau dann keine Nullmenge, wenn y B k für mindestens ein k N ist. Wegen Lemma 2 genügt es also zu zeigen, daß B k eine Nullmenge ist. Dazu sei ε > 0. Da E eine Nullmenge im R n+m ist, gibt es Quader Q j mit vol Q j < ε, die E überdecken. Wir schreiben Q j = U j V j mit Quadern U j im R n und V j im R m wie in (i) und haben dann mit der Rechnung aus (i) ε > 1 Qj d(x, y) = (vol U j )1 Vj (y)dy. Nach dem Satz von Beppo Levi konvergiert also (vol U j )1 Vj (y) = fast überall, und es gilt Die Menge ε > A = A(k, Q j ) = j:y V j j:y V j (vol U j )dy. y : j:y V j vol U j vol U j > 1 k ist meßbar, und nach Konstruktion bilden die U j mit y V j eine Überdeckung von E y. Das zeigt B k A. Es folgt ε > 1 A (y) (vol U j )dy > 1 A (y)k 1 dy, j:y V j also vol A < kε. Da ε > 0 beliebig war, impliziert die Inklusion B k A, daß B k in einer Nullmenge enthalten und deshalb selbst Nullmenge sein muß. Damit ist das Lemma bewiesen. (iv) Jetzt verifizieren wir Satz 10 für f C 1 (R n+m ). Sei t k eine L-Folge für f. Dann gilt nach (ii) (18) fd(x, y) = lim t k (x, y)d(x, y) = lim T k (y)dy mit T k (y) = t k (x, y)dx. Die T k sind wieder Treppenfunktionen, und da t k+1 t k für alle k ist, gilt auch T k+1 T k. Wegen (18) sind dann auch die T k eine L-Folge. Nach Lemma 4 konvergiert also T k (y) fast überall gegen eine Grenzfunktion in L 1 (R m ), und es gilt (19) fd(x, y) = lim T k(y)dy. }

19 19 Ist die Folge T k (y) konvergent, dann ist lim T k(y) = lim t k (x, y)dx = lim t k(x, y)dx, wobei nach Lemma 4 die Folge t k (x, y) bei festem y fast überall in x R n konvergiert. Nach dem Lemma unter (iii) konvergiert fast überall bezüglich y R m die Folge t k (x, y) gegen f(x, y), also lim T k(y) = f(x, y)dx fast überall in y R m. Wird dies in (19) eingesetzt, folgt Satz 10 für f. (v) Ist f L 1 (R n+m ), dann schreibe f = g h mit g, h C 1 (R n+m ), und wende (iv) auf g und h an. Der Beweis von Satz 10 ist damit abgeschlossen. Beweis von Satz 11. Sei W k = (x, y) : x j k, y i k}. Dann ist f k (x, y) = 1 Wk (x, y) min(k, f(x, y)) meßbar, und es gilt 0 f k k1 Wk. Deshalb ist f k L 1 (R n+m ), und die Folge f k ist monoton wachsend gegen f. Wir wenden Satz 10 auf f k an und erhalten f k d(x, y) = f k (x, y)dxdy f(x, y)dxdy. Aus dem Satz von der monotonen Konvergenz folgt f L 1 (R n+m ). 10. Die Banachalgebra L 1 (R n ). Für f L 1 (R n ) ist nach Satz 2 durch f 1 = f dx eine nicht-negative reelle Zahl definiert, die Eins-Norm von f. Die Abbildung 1 : L 1 (R n ) [0, ) hat die Eigenschaften einer Halbnorm, nämlich λf 1 = λ f 1, f + g 1 f 1 + g 1 für alle λ R, f, g L 1 (R n ) (vgl. dazu Satz 2). Nach Satz 6 ist allerdings f 1 = 0 genau dann, wenn f(x) = 0 f. ü. gilt. Obwohl 1 also keine Norm ist, sprechen wir von der Eins-Norm 1. Bezüglich dieser Norm ist L 1 (R n ) vollständig: Satz 12. Seien f k L 1 (R n ), die Folge f k sei eine Cauchy-Folge bezüglich 1. Dann gibt es f L 1 (R n ) mit lim f k f 1 = 0. Die Grenzfunktion f ist nicht eindeutig bestimmt. Ist aber lim f k f = lim f k g = 0, dann folgt aus der Dreiecksungleichung f g f f k + f k g mit k sofort f g 1 = 0, also f(x) = g(x) f. ü., und mehr konnten wir auch nicht erwarten. 1 Offenbar bilden die f L 1 (R n ) mit f 1 = 0 einen Vektorraum N (den Nullraum der Halbnorm), im Quotientenraum L 1 (R n )/N hat jeder Repräsentant f + N dieselbe Norm wie f, so daß 1 zu einer Norm auf L 1 (R n )/N wird. Damit ist ein normierter Raum konstruiert. In der Praxis lohnt es sich kaum, zwischen L 1 (R n ) und L 1 (R n )/N zu unterscheiden.

20 20 Zum Beweis von Satz 12 benutzen wir die Cauchy-Eigenschaft der f k. Demnach gibt es zu l N ein m(l) N mit f k f h 1 < 2 l für alle k, h m(l). Nach dem Majorantenkriterium konvergiert insbesondere die Reihe f m(l) f m(l+1) dx, l=1 denn ihre Glieder sind durch 2 l beschränkt. Nach dem Satz von Beppo Levi konvergiert deshalb die Reihe f m(l) (x) f m(l+1) (x) l=1 fast überall gegen eine Funktion in L 1 (R n ). Wenn diese Reihe konvergiert, dann erst recht die Reihe (20) (f m(l) (x) f m(l+1) (x)), l=1 und die Grenzfunktion ist nach dem Lebesgueschen Konvergenzsatz wieder in L 1 (R n ), denn die vorige Reihe ist eine geeignete Majorante. Die Reihe (20) ist eine Teleskopsumme. Deshalb existiert auch der Grenzwert f(x) = lim l f m(l) (x), fast überall, und es gilt f L 1 (R n ). Wir zeigen f k f in der Norm: Sei ε > 0 gegeben. Wähle l so groß, daß 2 l < ε wird. Für alle k > m(l) ist dann f k f m(l) 1 < ε und f f m(l) 1 f m(l+j) f m(l+j+1) 1 2 l j < 2ε, j=0 also f k f 1 < 3ε. Das beweist Satz 12. Lemma. Ist f L 1 (R n ), dann gibt es t k T n mit lim t k f 1 = 0. Dieser einfache Hilfssatz hat eine wichtige Konsequenz: L 1 (R n ) ist die Vervollständigung von T n bezüglich der Eins-Norm. Die Lebesguesche Integrationstheorie kann also auch anders aufgebaut werden. Man beginnt mit dem Elementarintegral von Treppenfunktionen und definiert die Eins-Norm auf T n. Dann bildet man den Abschluß, und setzt die Norm und das Integral auf den Abschluß fort. Dies führt nach obigem Lemma zu derselben Klasse integrierbarer Funktionen. Für f C 1 (R n ) wähle eine L-Folge t k zu f. Dann ist t k (x) f(x), also f(x) t k (x) dx = fdx t k dx, und lim t k f 1 = 0 folgt direkt aus der Definition des Integrals. Ist f = g h mit g, h C 1 (R n ), dann wähle L-Folgen für g und h und benutze die Dreiecksungleichung. Das Lemma folgt sofort. Als typische Anwendung der Sätze von Fubini und Tonelli diskutieren wir ein Produkt auf L 1 (R n ), die Faltung. j=0

21 21 Satz 13. Seien f, g L 1 (R n ). Dann ist fast überall in y R n x f(y x)g(x) in L 1 (R n ), und das Parameterintegral (21) f g(y) = f(y x)g(x)dx die Funktion ist ebenfalls in L 1 (R n ). Es gilt (22) f g 1 f 1 g 1. Die durch (21) definierte Funktion heißt Faltung von f und g. Dieses Produkt auf L 1 (R n ) ist mit der Vektorraumstruktur durch Distributivgesetze verbunden. Die Linearität des Integrals liefert nämlich aus (21) für f, g, h L 1 (R n ) und λ R sofort f (g + h) = f g + f h und f (λg) = λ(f g). Außerdem gilt f g = g f. Dies ergibt sich aus (21), wenn der folgende Hilfssatz benutzt wird. Lemma. Seien f L 1 (R n ) und t R n. Dann ist durch t f(x) = f(x + t) eine Funktion t f L 1 (R n ) definiert, und es gilt t fdx = fdx. Beweis. Ist s T n, dann ist auch t s T n, und die Definition des Elementarintegrals zeigt sofort sdx = t sdx. Das Lemma folgt jetzt sofort durch Approximation von f durch Treppenfunktionen. Beweis Satz 13. Das sukzessive Integral f(y x)g(x) dydx = ( ) x f(y) dy g(x) dx (23) = f 1 g 1 existiert. Nach Satz 11 ist deshalb (x, y) f(y x)g(x) in L 1 (R n R n ), und dasselbe gilt dann für (x, y) f(y x)g(x). Nach dem Satz von Fubini ist dann x f(y x)g(x) in L 1 (R n ) fast überall in y, wie behauptet. Schließlich folgt (22) aus Satz 10 und (23). Die Faltung ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Fourieranalyis ( Höhere Analysis, Funktionalanalysis).