Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

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1 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester Juli 2016

2 Ableitungen im Höherdimensionalen Im Eindimensionalen war die Ableitung f (x 0 ) einer Funktion f : R R die Steigung der Tangente an die Kurve f im Punkt (x 0, f (x 0 )). Die Gleichung dieser Tangente lautet y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Zum Beispiel im Zusammenhang mit dem Newtonverfahren haben wir die Funktion x f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) als gute Näherung der Funktion f im Punkt x 0 aufgefasst. Wir verallgemeinern diesen Ansatz ins Höherdimensionale.

3 Definition 7.16 Es sei D R n und f : D R m eine Funktion. Dann heißen die Funktionen f 1,..., f m : D R mit f (x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) die Komponentenfunktionen von f. Die Funktion f heißt partiell differenzierbar im Punkt a = (a 1,..., a n ), falls die partiellen Ableitungen aller Komponentenfunktionen von f nach allen Variablen im Punkt (a 1,..., a n ) existieren.

4 In diesem Falle heißt die (m n)-matrix f 1 x 1 (a) Jf (a) =.... f m x 1 (a)... f 1 x n (a). f m x n (a) die Jakobi-Matrix von f im Punkt a. Die Jakobi-Matrix ist die Ableitung von f im Punkt a. Ist m = 1, so ist die Jakobi-Matrix einfach der Gradient von f, geschrieben als Zeilenvektor.

5 Wie im eindimensionalen Fall können wir im Mehrdimensionalen eine Funktion mit Hilfe der Ableitung approximieren. Die lineare Approximation von f : D R m mit D R n im Punkt a D ist die Funktion R n R m ; x f (a) + Jf (a) (x a). Hierbei werden die Vektoren a und x als Spaltenvektoren geschrieben.

6 Beispiel 7.17 Die Abbildung f : R 2 R 2 ; (x, y) (x + y, xy) hat die Jakobi-Matrix ( ) 1 1 Jf (x, y) =. y x Wir betrachten die Stelle ( 1, 2). Es gilt Jf ( 1, 2) = ( ) und f ( 1, 2) = (1, 2). Damit ist die lineare Approximation von f im Punkt ( 1, 2) die Funktion (x, y) ( ) ( ) (( ) x y ( )) 1 2

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8 Wir übertragen unsere Definition bestimmter Integrale auf Funktionen die auf einer Teilmenge von R 2 definiert sind. Unter einem Intervall in R 2 verstehen wir eine Punktmenge I = {(x, y) R 2 : a x b c y d} = [a, b] [c, d] mit a, b, c, d R, a < b und c < d. Intervalle in R 2 nennen wir auch achsenparallele Rechtecke oder einfach Rechtecke.

9 Wir definieren zunächst zweidimensionale Integrale über Intervallen. Sei I ein Intervall und f : I R eine beschränkte Funktion. Wir wollen das Integral f (x, y)dxdy von f über dem Intervall I definieren. I

10 Dazu wählen wir Zerlegungen a = x 0 < x 1 < < x n = b und c = y 0 < y 1 < < y m = d von [a, b] und [c, d], die wir mit Z 1 und Z 2 bezeichnen. Hierdurch wird I in die n m Teilintervalle I ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], i {1,..., n}, j {1,..., m}], unterteilt. Für jedes Teilintervall I ij sei m ij der minimale Funktionswert von f auf I ij und M ij der maximale Funktionswert auf diesem Intervall.

11 Die Fläche von I ij ist (x i x i 1 ) (y j y j 1 ). Wir definieren daher die Untersumme für die Zerlegungen Z 1 und Z 2 als U(Z 1, Z 2 ) = n m m ij (x i x i 1 ) (y j y j 1 ) i=1 j=1 und die entsprechende Obersumme als O(Z 1, Z 2 ) = n m M ij (x i x i 1 ) (y j y j 1 ). i=1 j=1

12 Definition 8.1 Wieder nennen wir f : I R integrierbar, falls für jedes ε > 0 und genügend feine Zerlegungen Z 1 und Z 2 gilt: O(Z 1, Z 2 ) U(Z 1, Z 2 ) < ε Sei nun n N und seien Z 1 und Z 2 die äquidistanten Zerlegungen von [a, b] und [c, d] in n Teilintervalle. Wir setzen U n = U(Z 1, Z 2 ) und O n = O(Z 1, Z 2 ). Ist f integrierbar, so setzen wir f (x, y)dxdy = lim U n = lim O n. n n I

13 Zweidimensionale Integrale über Mengen, die nicht unbedingt Intervalle sind, können wir wie folgt berechnen: Definition 8.2 Es sei G R 2 eine beschränkte Menge und I R 2 ein abgeschlossenes Intervall mit G I. Die Funktion f : G R sei beschränkt. Dann definieren wir { f (x, y), falls (x, y) G, und f I (x, y) = 0, sonst. Nun sei f (x, y)dxdy = f I (x, y)dxdy. G I Dabei hängt der Wert des Integrals nicht von der Wahl von I ab.

14 Praktisch berechnen lassen sich zweidimensionale Integrale mit Hilfe des folgenden Satzes. Satz 8.3 (Fubini) Sei I = [a, b] [c, d] und f : I R integrierbar. Dann gilt I f (x, y)dxdy = b a ( d c ) d ( b ) f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy. c a

15 Beispiel 8.4 Ein wichtiges Beispiel ist die Berechnung des Flächeninhalts einer beschränkten Menge G R 2. Sei f : G R die Funktion, die konstant den Wert 1 hat. Dann ist der Flächeninhalt von G einfach das Integral f (x, y)dxdy. G Sei zum Beispiel G der Einheitskreis in R 2, f : G R die Funktion, die konstant den Wert 1 hat und I = [ 1, 1] [ 1, 1]. Die Fläche des Kreises ist dann G f (x, y)dxdy. Wir berechnen dieses Integral nun mit Hilfe des Satzes von Fubini.

16 Es gilt G f (x, y)dxdy = f I (x, y)dxdy = I f I (x, y)dydx. Für fest vorgebenes x [ 1, 1] ist f (x, y) genau dann von 0 verschieden, wenn das Paar (x, y) im Einheitskreis liegt, wenn also x 2 + y 2 1 gilt. Das ist aber genau dann der Fall, wenn y [ 1 x 2, 1 x 2 ] gilt. Damit ist 1 1 f I (x, y)dy = 2 1 x 2. Also gilt G wie wir bereits wissen. f (x, y)dxdy = x 2 dx = π,

17 Beispiel 8.5 Wir berechnen das Volumen einer Kugel um den Nullpunkt mit Radius 1. Den Rand der Kugel bilden die Punkte (x, y, z) R 3 mit x 2 + y 2 + z 2 = 1. Das Volumen ist genau das zweifache des Volumens der oberen Halbkugel. Die obere Halbkugel ist genau die Menge von Punkten, die zwischen der xy-ebene und dem Graphen der Funktion f : D R : (x, y) 1 x 2 y 2 liegen, wobei D der Einheitskreis in der xy-ebene ist.

18 Wir wählen I = [ 1, 1] [ 1, 1]. Dann gilt D Nun ist 1 x 2 y 2 dydx = 1 1 x 2 = 1 f D (x, y)dydx x x 2 1 x 2 y 2 dy 1 x 2 1 x 2 y 2 dydx. genau die Hälfte der Fläche eines Kreises mit dem Radius 1 x 2, also π 2 (1 x 2 ).

19 Damit gilt D 1 1 x 2 y 2 π dydx = 1 2 (1 x 2 )dx = π [ x 1 ] x 3 = π = 2 3 π. Es folgt, dass das Volumen der ganzen Kugel 4 3 π beträgt.

20 Zum Schluss diskutieren wir noch einen wichtigen Satz, der das mehrdimensionale Analogon zur Substitutionsregel ist. Bisher habe wir noch nicht gesagt, was wir unter Stetigkeit einer Funktion f : D R m mit D R n verstehen.

21 Definition 8.6 Sei D R n und f : D R n eine Funktion. Dann ist f stetig im Punkt (a 1,..., a n ) D, falls für jede Folge (a 1i,..., a ni ) i N mit Folgengliedern in D und lim i (a 1i,..., a ni ) = (lim i a 1i,..., lim i a ni ) = (a 1,..., a n ) und alle j {1,..., m} gilt: lim f j(a 1i,..., a ni ) = f j (a 1,..., a n ) i Die Funktion f ist stetig, falls f in jedem Punkt seines Definitionsbereichs stetig ist. Die Funktion f ist stetig differenzierbar, falls auf ganz D die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen von f nach allen Variablen existieren und stetig sind.

22 Für ein Intervall I = [a, b] [c, d] sei int(i ) das Innere von I, also die Menge (a, b) (c, d) der ( inneren ) Punkte von I. a b Für eine 2 2-Matrix A = sei det(a) = ad bc die c d Determinante von A. Satz 8.7 (Transformationsformel) Sei I = [a, b] [c, d] und ϕ : I R 2 stetig differenzierbar. Für alle x int(i ) sei det(jf (x)) 0. Außerdem sei ϕ auf der Menge int(i ) umkehrbar. Schließlich sei f : ϕ[i ] R stetig. Dann gilt f (y 1, y 2 )dy 1 dy 2 = f (ϕ(x)) det(jϕ(x 1, x 2 )) dx 1 dx 2. ϕ[i ] I

23 Beispiel 8.8 Sei I = [0, 1] [0, 2π] und ϕ : I R 2 ; (r, α) (r cos α, r sin α) die Polarkoordinatenabbildung. Dann gilt ( ) cos α r sin α Jϕ(r, α) = sin α r cos α Es gilt det(jϕ(r, α)) = r cos 2 α + r sin 2 α = r. Insbesondere ist det(jϕ(r, α)) 0 für r 0.

24 Die Abbildung ϕ ist auf int(i ) invertierbar. Die Menge ϕ[i ] ist der Einheitskreis. Wir benutzen die Polarkoordinatenabbildung, um noch einmal die Fläche des Einheitskreises zu berechnen. Sei f : ϕ[i ] R die Abbildung, die konstant den Wert 1 hat. Dann ist die Fläche des Kreises genau = ϕ[i ] 2π 1 0 f (x, y)dxdy = f (ϕ(r, α))rdrdα 0 rdrdα = 2π 0 I [ 1 2 r 2 ] 1 dα = 0 2π 0 [ ] 1 1 2π 2 dα = 2 α = π. 0