1 Integrale von Funktionen in mehreren Variablen

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1 $Id: integral.tex,v.0 009//0 :4:35 hk Exp $ Integrale von Funktionen in mehreren Variablen.3 Integration über Jordan-meßbare Mengen Als ein zweites Beispiel der Integration über Jordan-meßbare Mengen wollen wir einmal die Funktion f(x, y := cos x + (y + sin x über den reis E := B (0 = {(x, y R x + y } integrieren. abei war B (0 die in 9. im letzten Semester eingeführte Bezeichnung für den abgeschlossenen reis mit Radius und Mittelpunkt in 0. Zuerst brauchen wir ein E umfassendes, achsenparalleles Rechteck Q, und hierzu verwenden wir am einfachsten das Quadrat Q := [, ] [, ]. ann müssen wir f außerhalb E durch Null fortsetzen, d.h. wir betrachten die Funktion { cos x + (y + sin x, x f + y, : [, ] [, ] R; (x, y 0, x + y >. Nach dem Satz von Fubini Satz 3 ist dann (cos x + (y + sin x d(x, y = f(x, y d(x, y = E Sei y gegeben. Für jedes x gilt d.h. wir haben und somit ist f(x, y dx = Q [ x + y x y x y, f(x, y = y { cos x + (y + sin x, x y, 0, x > y, ] f(x, y dx dy. (cos x + (y + sin x dx = sin x (y + cos x = sin( y. 3-

2 a dies als Funktion von y gerade ist, folgt weiter E (cos x + (y + sin x d(x, y = 4 0 sin( y dy. ieses Integral kann man nur noch numerisch behandeln, etwa mit der im letzten Semester diskutierten Simpson Regel, und erhält (cos x + (y + sin x d(x, y, E Gelegentlich ist der Integrationsbereich nicht so direkt gegeben wie in den beiden vorigen Beispielen, sondern er wird durch ihn begrenzende urven, beziehungsweise Flächen im dreidimensionalen Fall, beschrieben. Als ein solches Beispiel betrachten wir die durch die drei urven x =, y = und y = x begrenzte Fläche M. Wir wollen das Integral d(x, y der konstanten Funktion f(x, y = M berechnen. Zuerst sollte man sich überlegen wie die fragliche Menge überhaupt aussieht. Man kann sich beispielsweise die begrenzenden urven einmal hinmalen, dann sollte schnell klar werden was M ist. Wir sehen M = {(x, y R x 4, x y }, als umfassendes Rechteck können wir also Q := [, 4] [, ] verwenden und die auf Q zu integrierende Funktion ist {, y x, f : Q R; (x, y 0, y < x. Mit dem Satz von Fubini berechnet sich das Integral zu M d(x, y = Q f(x, y d(x, y = = 4 4 f(x, y dy dx = 4 x dy dx ( x dx = x 4 3 x3/ = = 4 3. In all diesen Beispielen konnten wir die Integration f(x, y d(x, y nach demselben Schema durchführen. Zuerst bestimmt man das Intervall [a, b] der möglichen Werte der y-oordinate (oder der x-oordinate, und berechnet das Integral dann mit dem Satz von Fubini als b a f(x, y dx dy. ie Integration nach x erfolgt dabei über ein Intervall dessen Grenzen sich als Formeln in y bestimmen lassen. 3-

3 ieses Vorgehen ist immer möglich wenn der Integrationsbereich sich in der speziellen Form = {(x, y R a y b, φ(y x ψ(y} schreiben läßt. abei sind φ, ψ : [a, b] R zwei Funktionen, die den linken und rechten Rand des Integrationsbereichs beschreiben. amit dies sinnvoll ist, müssen wir φ(y ψ(y für alle a y b verlangen. Unsere beiden obigen Beispiele sind tatsächlich von dieser Form. Für das reieck haben wir [a, b] = [0, ] und die beiden Randfunktionen sind ϕ(y = y und ψ(y = y. Im Beispiel des Einheitskreises E haben wir dagegen [a, b] = [, ] und ϕ(y = y, ψ(y = y. Mengen dieser Form wollen wir vertikale Normalbereiche, oder auch Normalbereiche bezüglich der y-achse nennen. er Satz von Fubini nimmt für diese Normalbereiche die folgende Form an: Satz.4 (Integration über Normalbereiche Seien a, b R mit a b und ϕ, ψ : [a, b] R seien zwei stetige Funktionen mit ϕ(y ψ(y für alle a y b. ann ist die Menge := {(x, y R a y b, ϕ(y x ψ(y} R beschränkt und Jordan-meßbar. Für jede integrierbare, beschränkte Funktion f : R für die auch f y : [ϕ(y, ψ(y] R; x f(x, y für jedes a y b integrierbar ist, gilt dann [ b ] ψ(y f(x, y d(x, y = f(x, y dx dy. a ϕ(y Entsprechend haben wir natürlich auch Normalbereiche bezüglich der x-achse, bei diesen ist die y-oordinate durch Funktionen in x beschränkt, also = {(x, y R a x b, ϕ(x y ψ(x}, und es gilt wieder die entsprechende Integralformel. Weiter können wir dreidimensionale, und noch höherdimensionale, Normalbereiche definieren, bei denen eine omponente durch Funktionen in den anderen omponenten beschränkt ist. Auch in diesem Fall gilt wieder eine analoge Integralformel. Haben wir beispielsweise einen Normalbereich M R 3 bezüglich der (x, y-ebene so soll die z-omponente durch Funktionen in x, y begrenzt werden. ie Menge der vorkommenden Werte von (x, y ist dann die Basis des Normalbereichs. Solch ein dreidimensionaler Normalbereich hat also die Form M = {(x, y, z R 3 (x, y, ϕ(x, y z ψ(x, y}, 3-3

4 wobei R die Basis des Normalbereichs ist und ϕ beziehungsweise ψ die untere und obere Grenze des Normalbereichs sind. ie Integralformel für Normalbereiche hat dann die Form [ ] ψ(x,y f(x, y, z d(x, y, z = f(x, y, z dz d(x, y. M ϕ(x,y Entsprechend gibt es dann natürlich auch Normalbereiche bezüglich der (x, z-ebene bei denen y durch Funktionen in x und z beschränkt ist, sowie Normalbereiche bezüglich der (y, z-ebene bei denen dann x beschränkt wird. Als ein Beispiel dreidimensionaler Normalbereiche wollen wir den rechts gezeigten Zylinder mit oben und unten aufgesetzten Halbkugeln behandeln. abei soll der Zylinder Radius und Höhe 4 haben und symmetrisch zur (x, y-ebene liegen. ie Halbkugeln unten und oben müssen dann auch den Radius haben und ihre Mittelpunkte liegen in (0, 0, ±, d.h. die vertikale Achse soll durch den Nullpunkt gehen. Als Formel geschrieben ist die Menge P := { (x, y, z R 3 x + y, z + x y }. ies ist ein dreidimensionaler Normalbereich bezüglich der (x, y-ebene, der als Grundfläche den reis := B (0 = {(x, y R x + y } hat, und dessen obere und untere Begrenzung durch die Funktionen ϕ(x, y = x y, ψ(x, y = + x y gegeben sind. Wir wollen das Integral P x d(x, y, z berechnen. Für unseren dreidimensionalen Normalbereich hat die Integralformel die Gestalt [ ] ψ(x,y x d(x, y, z = x dz d(x, y. Für (x, y haben wir ψ(x,y ϕ(x,y P ϕ(x,y x dz = x (ψ(x, y ϕ(x, y = x ( + x y, 3-4

5 also wird x d(x, y, z = x ( + x y d(x, y. P ies ist ein Integral über einen zweidimensionalen Normalbereich und kann zum Beispiel als x ( + [ x y d(x, y = x ( + ] x y dx dy berechnet werden. Fixiere ein y. Als Funktion von x ist der Integrand dann eine gerade Funktion, also haben wir y x ( + ies ergibt x y dx = x ( + x y d(x, y = y 0 x( + x y dx = x 3 ( x y 3/ = 4 3 y ( y + 3 ( y 3/ dy ( y 3/ dy = as hintere Integral berechnen wir über die Substitution y = sin t, π t π, dy dt = y + 3 ( y 3/. = cos t = dy = cos(t dt ( y 3/ dy. also ( y 3/ dy = π/ π/ ( sin t 3/ cos t dt = π/ π/ cos 4 t dt. Im letzten Semester hatten wir in.3 bereits das unbestimmte Integral cos 4 x dx = 3 ( 8 x + sin x cos x 4 cos x berechnet, und damit wird y ( 3/ dy = 3 ( 8 t + sin t cos t 4 cos t π/ π/ = 3 8 π,

6 also x ( + x y d(x, y = Insgesamt ist damit x d(x, y, z = P Nicht jeder Integrationsbereich ist ein Normalbereich, zum Beispiel der nebenstehend gezeigte reisring ( y 3/ dy = π 4. x ( + x y d(x, y = π. = {x R : x } = {(x, y R x + y 4}. Entsprechend kann man auch eine ugelschale = {(x, y, z R 3 x + y + z 4} als ein Beispiel einer dreidimensionalen Menge, die kein Normalbereich ist, verwenden. Oft ist es dann möglich den interessierenden Bereich in Normalbereiche zu zerlegen und das Gesamtintegral als Summe der Integrale über diese Teilberechne zu berechnen. ieses Vorgehen basiert auf dem folgenden Satz: Satz.5 (Grundeigenschaften der Integration über Jordan-meßbare Mengen Sei R n eine beschränkte, Jordan-meßbare Menge. (a Eine beschränkte Funktion f : R ist genau dann Rieman-integrierbar wenn sie außerhalb einer Nullmenge stetig ist. (b Sind f, g : R Rieman-integrierbar, so ist auch die Summe f + g Riemanintegrierbar und es gilt (f(x + g(x dx = f(x dx + g(x dx. (c Sind f : R Rieman-integrierbar und c R eine Zahl, so ist auch cf : R Rieman-integrierbar und es gilt cf(x dx = c f(x dx. (d Sind, Jordan-meßbar mit = und ist eine Nullmenge, so ist für jede Rieman-integrierbare Funktion f : R f(x dx = f(x dx + f(x dx. 3-6

7 er Teil (d dieses Satzes wird dann zur Berechnung von Integralen über komplizierter gebildete Mengen verwendet. Haben wir eine solche Menge M gegeben, so schreiben wir diese als eine Vereinigung M = r von r Jordan-meßbaren Teilmengen, die allesamt einfacher als die gesamte Menge M sein sollen. Typischerweise handelt es sich bei den Mengen i um Normalbereiche. Für je zwei verschiedene Indizes i, j r mit i j sei dabei i j eine Nullmenge, dies bedeutet in den uns interessierenden Fällen das sich i und j nur in ihren jeweiligen Rändern schneiden. Iterierte Anwendung von Teil (d des Satzes ergibt dann f(x dx = f(x dx + + f(x dx, M r können wir also die Integrale über die einzelnen Teile ausrechnen, so ergibt sich das Gesamtintegral als die Summe dieser Teilbeiträge. Als ein Beispiel für zusammengesetzte Bereiche wollen wir einmal die untenstehende Antenne A behandeln. iese ist zusammengesetzt aus einer ugel mit Radius und Mittelpunkt in (0, 0, 4 sowie einem Zylinder Z mit Rotationsachse x = y = 0, Radius /4 und Höhe 4. Wir wollen das Integral z d(x, y, z berechnen. Hierzu wollen wir Satz 5.(d verwenden und zerlegen die Menge A in zwei Teilmengen. Als erste A Teilmenge verwenden wir die ugel. ie zweite Teilmenge ist derjenige Teil des Zylinders Z, der nicht in liegt, und diesen eingedrückten Zylinder nennen wir Z. ie ugel ist ein Normalbereich über der xy-ebene, dessen Grundfläche der Einheitskreis B := {(x, y R x + y } ist, und dessen obere und untere Grenzfunktion durch die Funktionen ϕ(x, y = 4 x y, ψ(x, y = 4 + x y gegeben sind. ie Integralformel für Normalbereiche lautet damit [ ] 4+ x y z d(x, y, z = z dz d(x, y. B 4 x y as innere Integral berechnet sich als 4+ x y z 4+ x y z dz = 4 x y 4 x y = ((4 + x y (4 x y = 8 x y. 3-7

8 Nun gilt x y d(x, y = y x y dx dy B und für jedes a > 0 ist mit der Substitution x = a sin t = dx = a cos t dt auch a x dt = a a a sin t cos t dt = a cos t dt = a ( t + sin t cos t und angewandt auf unser Integral ergibt dies y also insgesamt und ( x y dx = y arcsin B x y d(x, y = ( = a x arcsin + ax a x y = a arcsin ( x a π ( y dy = π + x x a + x a x x y (y y3 = 3 3 π z d(x, y, z = 8 x y d(x, y = 6 B 3 π. = π ( y, ie Menge Z ist wieder ein Normalbereich bezüglich der xy-ebene, diesmal mit Grundfläche { B := (x, y R x + y } { = (x, y R x + y } 4 6 und den Begrenzungsfunktionen ϕ(x, y = 0, ψ(x, y = 4 x y. 3-8

9 Analog zur obigen Rechnung ist für (x, y B 4 x y 0 z dz = 7 x + y 4 x y, und dies müssen wir über B integrieren. Wir haben 6 y 6 y = ( 7 x + y 4 x y dx 7 y x x3 6 ( y arcsin = (7 y ( x y x x y 6 y 6 y 6 y ( 3/ 3 6 y 4( y 6 arcsin y 4 y 6 y 6 und mit etwas Geduld kann man auch das Integral dieser Funktion über y zwischen /4 und /4 ausrechnen. a diese etwas langwierige Rechnung für unsere Zwecke keine weiteren Erkenntnisse bringt, geben wir hier nur das Ergebnis an /4 6 y /4 6 y Insgesamt ist damit A z d(x, y, z = ( 7 x + y 4 x y dx dy = z d(x, y, z + ez z d(x, y, z = 6 3 π + ( 5 8 ( π ( 5 = 8 π π. Alternativ kann man A auch als einen Normalbereich über der (y, z-ebene auffassen, bei derartigen Rechnungen hat man meist viele verschiedene Rechenwege zur Auswahl. 3-9