Ferienkurs Analysis 3 für Physiker. Integration im R n

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1 Ferienkurs Analysis 3 für Physiker Integration im R n Autor: Benjamin Rüth Stand: 16. ärz 214

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Definition des Riemann-Integrals über Quadern Beispiel:Volumen verschiedener Quader engen mit Lebesguemaß Null Beispiel: Ebene im R Lebesgue Integral und Satz von Fubini Beispiel: Fläche eines Kreises Weitere Eigenschaften des Riemann-Integrals 6 5 Transformationssatz Beispiel: Kugelkoordinaten Uneigentliche Integrale Beispiel: Gauß sches Fehlerintegral Tangential- und Normalraum Beispiel: Tangential- und Normalraum der Einheitskugel Gramsche Determinante Beispiel: Oberfläche der Einheitskugel

3 1 DEFINITION DES RIEANN-INTEGRALS ÜBER QUADERN 1 Definition des Riemann-Integrals über Quadern Ein Quader ist eine Teilmenge des R n der folgenden Form: Q = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ] Über einen solchen Quader können wir eine stetige Funktion f(x) integrieren Q f(x)d n x = b 1 b 2 b n a 1... f(x)dx n...dx 2 dx 1 a 2 a n Wir können außerdem Quadern Q im R n ein Volumen vol n (Q) zuordnen, indem wir über f(x) = 1 integrieren. vol n (Q) = 1dx Q 1.1 Beispiel:Volumen verschiedener Quader Wir betrachten verschiedene Quader: Q 1 = [, l] [, b] [, h] R 3 Q 2 = [, l] [, b] {} R 3 Q 3 = [, l] [, b] R 2 Nun berechnen wir die Volumina der Quader: vol 3 (Q 1 ) = 1dx 3 = Q 1 vol 3 (Q 2 ) = 1dx 3 = Q 2 vol 2 (Q 3 ) = 1dx 3 = Q 3 l b h l b l b 1dx 3 dx 2 dx 1 = l b h 1dx 3 dx 2 dx 1 = 1dx 2 dx 1 = l b Wir sehen, dass die rechteckige Fläche, die von Q 2 beschrieben wird - logischerweise - kein 3 dimensionales Volumen besitzt. 3

4 3 LEBESGUE INTEGRAL UND SATZ VON FUBINI 2 engen mit Lebesguemaß Null Eine enge ohne Volumen nennen wir Nullmenge oder enge vom Lebesgue-aß Null. Desweiteren sind auch engen, die aus mehreren Nullmengen zusammengesetzt sind wieder Nullmengen. Nullmengen sind folgendermaßen definiert: Wir nennen R n eine Nullmenge, wenn es zu jedem ɛ > abzählbar viele Quader Q α R n gibt, so dass Q α und vol n (Q α ) < ɛ α α 2.1 Beispiel: Ebene im R 3 Wir betrachten nun noch einmal die enge Q 2 aus dem letzten Beispiel. Für diese enge gilt [ ] ɛ Q 2 Q ɛ mit Q ɛ = [, l] [, b], (l + 1) (b + 1) Nun berechnen wir das Volumen von Q ɛ vol 3 (Q ɛ ) = l b ɛ (l + 1) (b + 1) = ɛ l l + 1 b b + 1 Es gilt natürlich für alle ɛ >, dass vol 3 (Q ɛ ) < ɛ und somit ist Q 2 eine Nullmenge. 3 Lebesgue Integral und Satz von Fubini Das Lebesgue Integral ist im Grunde sehr ähnlich zu dem Riemann Integral, nur, dass es uns ermöglicht auch über nicht stetige Funktionen zu integrieren, indem es Unstetigkeiten einfach ignoriert, solange sie auf engen vom Lebesgue aß Null auftreten. Damit können wir durch die Integration über Quader beliebige Integrationsbereiche realisieren. n Der Satz von Fubini erlaubt es uns ein mehrdimensionales Integral in mehrere eindimensionale Integrale zu zerlegen. Hier gilt Q = q 1 q 2... q n. Q R q 1 q 2 q n f(x)d n x =... f(x)dx n...dx 2 dx 1 (3.1) Sind die Integrationsgrenzen unabhängig voneinander, so darf man die einzelnen Integrale beliebig vertauschen. Hängen die Grenzen voneinander ab, so muss die enge über die wir integrieren ein Normalbereich sein. Es sollte immer zuerst das Integral berechnet werden, bei dem die Grenzen am stärksten von den weiter außen liegenden Integralen abhängen. 4

5 3 LEBESGUE INTEGRAL UND SATZ VON FUBINI 3.1 Beispiel: Fläche eines Kreises Eine enge A R n heißt Normalbereich, wenn sie wie folgt konstruiert ist: A 1 = [a 1, b 1 ] R A k = {(x, y) A k 1 R a k (x) y b k (x)} R k mit a k, b k C(A k 1 ) A = A n 3.1 Beispiel: Fläche eines Kreises Wir wollen in diesem Beispiel die Fläche der Kreisscheibe mit Radius r (S 2 (r)) berechnen. vol 2 (S 2 (r)) = 1dx Wir definieren uns hierzu die Funktion S 2 (r) f(x, y) = { 1, wenn x2 + y 2 < r 2 sonst (3.2) Da die Unstetigkeit nur entlang des Kreisbogens (=Nullmenge) auftritt dürfen wir über diese Funktion ganz normal integrieren und ignorieren die Unstetigkeit einfach. Wir integrieren nun über den Quader Q = [ r, r] [ r, r]. vol 2 (S 2 (r)) = f(x)d 2 x = Q +r+r r r f(x, y)dxdy Wir formulieren die Ungleichung in f(x, y) noch um: x 2 + y 2 < r r 2 y 2 < x < + r 2 y 2 und r < y < r Nun können wir diese Bedingungen als Integrationsgrenzen einsetzen und das Volumen berechnen. Der Integrand ist auf dem restlichen Quader - außerhalb des Kreises - Null und deswegen lassen wir die entsprechenden Integrale einfach weg. vol 2 (S 2 (r)) = f(x)d 2 x = = Q +r r 2r r +r r r 1 y2 r 2 dy f(x, y) = +r r y r =sin(u) = dy=r cos(u)du 2r = 2r 2 [ 1 2 u + sin(u) cos(u) ] + π 2 π 2 + r 2 y 2 r 2 y 2 1dxdy + = + π 2 π 2 = r 2 π +r r 2 r 2 y 2 dy 1 sin(u) 2 r cos(u)du = 2r 2 + π 2 π 2 cos(u) 2 du Die Formel für die Berechnung der Fläche der Kreisscheibe kennen wir bereits aus der Geometrie. Alternativ könnten wir den Kreis auch nicht über einen Quader und die Funktion f sondern über einen entsprechenden Normalbereich definieren. 5

6 5 TRANSFORATIONSSATZ 4 Weitere Eigenschaften des Riemann-Integrals Um Probleme auf komplexeren Integrationsbereichen zu lösen, oder die Integration selbst zu vereinfachen erweisen sich diese Eigenschaften des Riemann-Integrals oft als nützlich: Linearität: αf(x) d n x = α [f(x) + g(x)] d n x = f(x) d n x α C f(x) d n x + g(x) d n x Additivität: 1, 2 R n, 1 2 = f(x) d n x = f(x) d n x + f(x) d n x Transformationssatz Der Transformationssatz ist die Verallgemeinerung der Substitution ins ehrdimensionale. Sei Φ : R n R n die Funktion, durch die die Koordinaten x und u über die Gleichung x = Φ(u) zusammenhängen. x 1 = Φ 1 (u 1, u 2,..., u n ) x 2 = Φ 2 (u 1, u 2,..., u n ). x n = Φ n (u 1, u 2,..., u n ) Der Transformationssatz besagt: f(x) d n x = Φ 1 () f(φ(u)) det JΦ(u) d n u 5.1 Beispiel: Kugelkoordinaten Bei Kugelkoordinaten sieht die Funktion Φ : (r, φ, θ) (x, y, z) so aus: 6

7 6 UNEIGENTLICHE INTEGRALE x y z = Φ(r, φ, θ) = r sin(θ) cos(φ) r sin(θ) sin(φ) r cos(θ) det (JΦ(r, φ, θ)) = det x r y r z r x φ y φ z φ x θ y θ = r 2 sin(θ) z θ R 3 f(x, y, z) dx dy dz = 2π π r= φ= θ= (f Φ)(r, φ, θ) r 2 sinθ dr dφ dθ 6 Uneigentliche Integrale Wir wollen wieder über eine Funktion f : R integrieren. Dieses al hat f jedoch innerhalb von bestimmte "Problembereiche", beispielsweise hat f in einen Pol oder selber ist etwa unendlich groß. Wir nutzen ausschöpfende Folgen k um im Limit anzunähern. Wichtig ist außerdem, dass sowohl der positive als auch der negative Teil von f konvergieren müssen! Wir definieren dazu f + : R +, f : R { f(x) falls f(x) f + (x) = sonst f (x) = { f(x) falls f(x) < sonst Das Riemann-Integral über f ist dann definiert durch f(x)d n x = f + (x) d n x Ist diese Voraussetzung erfüllt, so gilt f(x)d n x = lim f(x)d n x k k f (x) d n x 7

8 6 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 6.1 Beispiel: Gauß sches Fehlerintegral 6.1 Beispiel: Gauß sches Fehlerintegral Das Gauß sche Fehlerintegral findet Anwendung in der Statistik und beschreibt die Fläche unter der Normalverteilung. Wir wollen das folgende uneigentliche Integral bestimmen: I = + e x2 dx Wir berechnen nun nicht I, sondern I 2 da wir die Rechnung dann durch Nutzung des Transformationssatzes erheblich vereinfachen können: I 2 = + e x2 dx + e y2 dy = + + e x2 y 2 dydx Nun transformieren wir das Integral auf Polarkoordinaten (x 2 + y 2 = r 2, dxdy = rdrdφ). Hierbei ist zu beachten, dass sowohl die unendlich große Ebene, als auch der unendlich große Kreis ausschöpfende Folgen sind, die den R 2, über den wir schlussendlich integrieren wollen, abdecken. I 2 = + 2π = 2π lim a e r2 rdφdr = 2π +a + re r2 dr = 2π lim a [ = π lim e a2 e ] = π a Für das ursprüngliche Integral folgt also I = + e x2 dx = π e r2 rdr [ 1 2 e r2 ] +a 8

9 7 TANGENTIAL- UND NORALRAU 7 Tangential- und Normalraum Die Idee beim Tangentialraum T x ist die, dass man eine Linearisierung einer Untermannigfaltigkeit R n im Punkt x erhält. Das heißt x + T x. Im R 3 bedeutet das, dass man an eine 2 dimensionale Fläche eine Tangentialebene anlegt, die von den Vektoren der Basis des Tangentialraums aufgespannt wird. Der Normalraum N x steht senkrecht auf den Tangentialraum. Im R 3 bedeutet das, dass die Basis des Normalraums alle Vektoren enthält, T x. 7.1 Beispiel: Tangential- und Normalraum der Einheitskugel Die Oberfläche der Einheitskugel im R 3 ist folgendermaßen parametrisiert: γ(φ, θ) = cos(φ) sin(θ) sin(φ) sin(θ) cos(θ) mit φ [; 2π] und θ [; π] Bestimmt man nun die Jacobimatrix der Parametrisierung erhält man als Spalten der Jacobimatrix die Basis des Tangentialraums: sin(φ) sin(θ) cos(φ) cos(θ) J γ(φ,θ) = cos(φ) sin(θ) sin(φ) cos(θ) span T γ(φ,θ) sin(θ) Der Basisvektor des Normalraums steht senkrecht auf den Basisektoren des Tangentialraums: sin(φ) sin(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ) cos(θ) sin(θ) = cos(φ) sin(θ) 2 sin(φ) sin(θ) 2 sin(φ) 2 sin(θ) cos(θ) cos(φ) 2 sin(θ) cos(θ) = sin(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ) sin(θ) cos(θ) Den Vorfaktor sin(θ) darf man weglassen, weil das die Richtung des Vektors nicht ändert. an erkennt, dass der einzige Vektor in des Basis des N γ(φ,θ) identisch mit γ(φ, θ) ist. 9

10 8 GRASCHE DETERINANTE 8 Gramsche Determinante Eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit R n besitzt kein Volumen. Jedoch kann man ihr ein m-dimensionales Volumen zuweisen. Beispielsweise besitzt die Oberfläche einer Kugel kein Volumen, sondern eine Fläche. Um dieses Volumen zu berechnen benötigen wir die sog. Gramsche Determinante. Diese ist wie folgt definiert: Sei eine Untermannigfaltigkeit parametrisiert durch γ(x) so nennt man G = γ (x) T γ (x) den metrischen Tensor und g = det(g) die Gramsche Determinante. it diesem Hilfsmittel kann man nun einer durch γ : V parametrisierten m- dimensionalen Untermannigfaltigkeit ein m-dimensionales Volumen zuordnen. vol m () = ds = γ(x) T γ(x) dx V 8.1 Beispiel: Oberfläche der Einheitskugel Wir verwenden die Parametrisierung der Einheitskugel aus dem vorherigen Beispiel: cos(φ) sin(θ) γ(φ, θ) = sin(φ) sin(θ) cos(θ) Um die Oberfläche der Einheitssphäre (S 2 ) zu bestimmen benötigen wir zuerst die Jacobimatrix der Parametrisierung. sin(φ) sin(θ) cos(φ) cos(θ) J γ(φ,θ) = cos(φ) sin(θ) sin(φ) cos(θ) = γ(φ, θ) sin(θ) Daraus folgt nach ein paar Umformungen: γ(φ, θ) T γ(φ, θ) = ( sin(θ) 2 1 ) 1

11 8 GRASCHE DETERINANTE 8.1 Beispiel: Oberfläche der Einheitskugel Für das Volumen folgt also: vol 2 (S 2 ) = = = = 2π 2π π 2π π 2π π π det(γ(φ, θ) T γ(φ, θ) )dθdφ det ( sin(θ) 2 1 sin(θ) 2 dθdφ sin(θ)dθ = 4π ) dθdφ 11