Ferienkurs Analysis 3 für Physiker. Holomorphe Funktionen und wichtige Sätze der Funktionentheorie

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1 Ferienkurs Analysis 3 für Physiker Holomorphe Funktionen und wichtige Sätze der Funktionentheorie Autor: Benjamin Rüth Stand: 7. März 24

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Was ist Funktionentheorie? 3 2 Holomorphe Funktionen 3 3 Komplexe Integration 5 4 Homotopie von Kurven 7 5 Cauchy sche Integralformel 9 6 weitere Sätze aus der Funktionenthorie 2

3 2 HOLOMORPHE FUNKTIONEN Was ist Funktionentheorie? Die Funktionentheorie - oft auch komplexe Analysis genannt - beschäftigt sich mit Funktionen f : C C; z f(z) die in der komplexen Zahlenebene "leben". Es gibt viele Analogien von komplexen Funktionen zu reellen Funktionen g : R 2 R 2, wenn man die erste Koordinate mit dem Realteil und die zweite mit dem Imaginärteil von z identifiziert. Diese Analogien können das Verständnis der komplexen Analysis vereinfachen und Zusammenhänge veranschaulichen, jedoch gibt es auch entscheidende Unterschiede, die man auf jeden Fall beachten muss, wenn man komplexe Funktionen betrachtet. 2 Holomorphe Funktionen Eine komplexe Funktion f : C C; z f(z) nennt man holomorph in einem Gebiet U C, wenn sie in jedem Punkt z U komplex differenzierbar ist, d.h. der Grenzwert für jedes z U existiert. f (z) = lim ɛ f(z) (f(z ɛ)) ɛ Komplexe Funktionen f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) können durch f : R 2 R 2 ; (x, y) (u(x, y), v(x, y)) identifiziert. Ist f reell differenzierbar, so gilt f (z) = ( x u(x, y) y u(x, y) x v(x, y) y v(x, y) ) Ist f holomorph, so gelten die bereits eingeführten Cauchy-Riemann schen Differentialgleichungen. Für f bedeutet das, dass durch einsetzen der Cauchy-Riemann schen DG v x = u u y = a und x = v y = b f (z) = ( b(x, y) a(x, y) a(x, y) b(x, y) ) folgt. Diese Abbildung hat die Form einer Drehstreckung. Holomorphe Funktionen sind also orientierungserhaltende Abbildungen. Für die komplexe Differentiation gelten außerdem dieselben Regeln wie für die reelle Differentiation. 3

4 2 HOLOMORPHE FUNKTIONEN Beispiel: Eine einfache holomorphe Funktion und die damit verbundene Drehstreckung Wir betrachten die Funktion f(z) = 2iz. Diese Funktion soll zuerst auf Holomorphie überprüft werden und dann soll ihr Abbildungsverhalten untersucht werden. Holomorphie: Um die Funktion mithilfe der Cauchy-Riemann schen DG zu untersuchen müssen wir sie zuerst ein wenig umformulieren: f(z) = f(x+iy) = 2i(x+iy) = 2xi 2y = u(x, y)+iv(x, y) mit u(x, y) = 2y und v(x, y) = 2x Nun können wir die Kriterien der Cauchy-Riemann schen DG untersuchen: v x = 2 =! u u = ( 2) und y x = =! v y = Die Cauchy-Riemann schen DG sind also erfüllt und somit ist f(z) eine holomorphe Funktion. f(z) entspricht also einer Drehstreckung. Diesen Zusammenhang wollen wir kurz veranschaulichen. Abbildungsverhalten: f (z) = = 2 ( ) ( ) x u(x, y) y u(x, y) 2 = = x v(x, y) y v(x, y) 2 ( ) ( ) cos(9 ) sin(9 ) sin(9 ) cos(9 ) ( 2 2 = 2 Id R 9 ) ( ) Man sieht, dass die Abbildung Vektoren also um den Faktor 2 streckt und um 9 gegen den Uhrzeigersinn dreht. Durch Einsetzen der Einheitsvektoren in die Abbildung lässt sich das auch schnell überprüfen: f( + i) = 2i( + i) = 2i und f( + i) = 2i( + i) = 2 4

5 3 KOMPLEXE INTEGRATION 3 Komplexe Integration Neben der komplexen Differentiation gibt es natürlich auch noch die komplexe Integration. Diese ist für Anwendungen besonders interessant, da es mit Werkzeugen der Funktionentheorie oft möglich ist reelle Integrale zu berechnen, die man sonst nicht analytisch bestimmen könnte. Die komplexe Integration ist wie folgt definiert: Sei γ : [a, b] C eine stückweise stetig differenzierbare Kurve und f : U C eine stetige Funktion, sodass γ([a, b]) U C gilt. Dann nennt man b f(z)dz = f(γ(t)) γ(t)dt γ das komplexe Kurvenintegral über f(z) entlang der Kurve γ. a einige Parametrisierungen von Kurven Die Kurven entlang derer man integriert sind durch Parametrisierungen gegeben. Oft muss man jedoch selber geeignete Integrationswege suchen und zu diesem Zweck sind hier die wichtigsten Parametrisierungen kurz zusammengefasst: Kreis mit Radius r um Mittelpunkt z γ(t) = re it + z ; t [; 2π] ; r R; z C Der Kreis wird gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Kreisbögen werden über entsprechende Einschränkungen des Parameterbereichs realisiert. Hier taucht das erste mal die komplexe Exponentialfunktion auf. e a+bi = e a e bi = e a (cos(b) + i sin(b)) ; a, b R Strecke von z nach z 2 γ(t) = ( t)z + tz 2 ; t [; ] ; z, z 2 C 5

6 3 KOMPLEXE INTEGRATION Standardabschätzung Oft ist es hilfreich Integrale schon vor der Berechnung abschätzen zu können. Zu diesem Zweck verwendet man die sog Standardabschätzung: f(z)dz max f(z) L(γ) z γ([a;b]) L(γ) bezeichnet die Länge der Kurve γ. Diese beträgt γ L(γ) = b a γ(t) dt Wegunabhängigkeit Bei holomorphen Funktionen ist die Integration unabhängig vom Integrationsweg. Daraus folgt direkt, dass Integrale über geschlossene Integrationswege den Wert besitzen. Die Wegunabhängigkeit kann die Berechnung komplexer Integrale erheblich vereinfachen, wenn man einen geeigneten Weg wählt. Man sollte jedoch immer daran denken, dass diese Eigenschaft wirklich nur für holomorphe Funktionen gilt. Beispiel: Integral über holomorphe Funktion und Wegunabhängigkeit Im vorherigen Beispiel haben wir bereits gezeigt, dass f(z) = 2iz auf ganz C holomorph ist. Wir möchten diese Funktion nun entlang des Einheitskreisbogens γ(t) = e it ; t [; φ] integrieren. Zuerst berechnen wir das Integral explizit: γ f(z)dz = φ φ = 2 f(γ(t)) γ(t)dt = φ 2ie it ie it dt = φ 2e 2it dt cos(2t) + i sin(2t)dt = 2 [, 5 sin(2t), 5i cos(2t)] φ = [(sin(2φ) i cos(2φ)) (sin() i cos())] = (cos(2φ) )i sin(2φ) Am Wert dieses Integrals sieht man sehr schön, dass geschlossene Wege φ = 2nπ mit n Z den Wert erzeugen, da f(z) eine holomorphe Funktion ist. Da die Integration jedoch relativ kompliziert ist, versuchen wir nun unter Ausnutzung der Wegunabhängigkeit die Berechnung durch Wahl eines anderen Integrationsweges zu vereinfachen: 6

7 4 HOMOTOPIE VON KURVEN Wählen wir den Weg γ = γ + γ 2 mit γ (t) = ( t) + t cos(φ) ; t [; ] und γ 2 (t) = cos(φ) + it sin(φ) ; t [; ], so gilt sind Anfangs- und Endpunkt von γ und γ identisch. Es gilt also wegen der Wegunabhängigkeit: γ f(z)dz = = γ = 2i f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz = γ γ 2 2i( t + t cos(φ))( + cos(φ))dt + f(γ (t)) γ (t)dt + f(γ 2 (t)) γ 2 (t)dt 2i(cos(φ) + it sin(φ))i sin(φ)dt cos(φ) + t( 2 cos(φ) + cos(φ) 2 )dt 2 sin(φ) cos(φ) + it sin(φ)dt = 2i(cos(φ) ) + i( 2 cos(φ) + cos(φ) 2 ) 2 sin(φ) cos(φ) i sin(φ) 2 = (cos(φ) 2 sin(φ) 2 )i 2 sin(φ) cos(φ) = (cos(2φ) )i sin(2φ) Erwartungsgemäß erhalten wir das selbe Ergebnis. Der zweite Weg ist vom reinen Rechnen her etwas aufwändiger, dafür kann man aber auf die Definition der komplexen Exponentialfunktion verzichten. 4 Homotopie von Kurven Bisher haben wir Funktionen betrachtet, die auf ganz C holomorph sind. Betrachtet man nun jedoch Funktionen, die nur auf U C holomorph sind, muss man einige Besonderheiten beachten. Hierzu führen wir den Begriff den Homotopie ein: Homotopie Eine geschlossene Kurve heißt null-homotop, wenn sie sich stetig in U auf einen Punkt zusammenziehen lässt. Das heißt es dürfen keine "Löcherïnnerhalb dieser Kurve existieren. Zwei Kurven mit identischen Randpunkten heißen zueinander homotop, wenn ihre verknüpfung null-homotop ist. Betrachtet man nun Kurven, die nicht null-homotop sind, so ist das Integral über eine geschlossene Kurve nicht null. Betrachtet man Kurven, die nicht zueinander homotop sind, so gilt keine Wegunabhängigkeit. 7

8 4 HOMOTOPIE VON KURVEN Beispiel: Integral über homotope und nicht homotope Kurven Wir betrachten die Funktion f(z) = z. Die Cauchy-Riemann schen DG zeigen, dass diese Funktion in z = nicht holomorph ist. v x = f(z) = f(x + iy) = x + iy = x iy x 2 y 2 = 2xy (x 2 + y 2 ) 2! = u ( ) 2xy y = (x 2 + y 2 ) 2 In z = ist die Ableitung nicht definiert. Wir betrachten nun die Integrationswege x x 2 y 2 + i y x 2 y 2 und u x = y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2! = v y = y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 γ = e it γ 2 = e it t [; ] 2 π t [; 3 ] 2 π Viertelkreis gegen UZS Dreiviertelkreis im UZS γ 3 = t + it t [; ] Gerade und berechnen die jeweiligen Integrale über γ i I = f(z)dz = γ I 2 = f(z)dz = γ 2 π 2 3π 2 e it ieit dt = i π 2 dt = iπ 2 e it ie it dt = i I 3 = f(z)dz = ( + i)dt t + it γ 3 = ( + i)( t it) ( t + it)( t it) dt = 3π 2 dt = 3iπ 2 2t + i 2t 2 2t + dt = i 2t 2 2t + dt = iπ 2 Die Kurven γ und γ 3 sind homotop zueinander, weswegen wir identische Werte für I und I 2 erhalten. γ 2 ist zu keiner der anderen beiden Kurven nullhomotop und deshalb erhalten wir ein anderes Ergebnis für I 3. Die geschlossene Kurve Γ = γ γ 3 ist nullhomotop und wir erhalten für das Integral über Γ den Wert I I 3 =. Die geschlossene Kurve (Einheitskreis) Γ 2 = γ γ 2 ist nicht nullhomotop und wir erhalten für das Integral über Γ 2 den Wert I I 2 = 2πi. 8

9 5 CAUCHY SCHE INTEGRALFORMEL 5 Cauchy sche Integralformel Mit den nun bereitstehenden Rechentechniken ist es möglich verschiedene Sätze der Funktionentheorie zu beweisen. Die Cauchy sche Integralformel lautet wie folgt: Sei U C offen, f : U C holomorph, B r (z) = {ζ ζ z r} U und γ r : [; ] U, γ r (t) = z + re 2πit. Dann gilt f(z) = 2πi γ r f(ζ) ζ z dζ Beweis. In U \{z} ist ζ f(ζ) ζ z holomorph und für ɛ (; r] ist homotop zu γ +γ r γ mit (t) = z + ɛe 2πit und γ (t) = ɛ( t) + rt. Da γ r und homotop sind, gilt γ r f(ζ) ζ z dζ = f(ζ) ζ z dζ = f(ζ) f(z) + f(z) ζ z dζ = f(ζ) f(z) ζ z dζ + f(z) ζ z dζ Nun machen wir den Grenzübergang ɛ. Die einzelnen Summanden lassen sich bestimmen: f(ζ) f(z) Standardabschätzung dζ ζ z 2πɛ sup f(ζ) f(z) ζ B (z) ζ z ɛ f(z) ζ z dζ = f(z) subs:ζ= z+z dζ = f(z) d z = f(z)2πi ζ z γ ɛ z Das zweite Integral bestimmen wir, indem wir das aus dem letzten Beispiel bekannte Integral B r z dz = 2πi um z verschieben. Es folgt die Cauchy sche Integralformel. f(ζ) f(z) dζ = f(z)2πi f(z) = ζ z 2πi f(ζ) f(z) dζ ζ z 9

10 6 WEITERE SÄTZE AUS DER FUNKTIONENTHORIE 6 weitere Sätze aus der Funktionenthorie In der Funktionentheorie gibt es noch viele weitere Sätze, die verschiedene Aussagen über komplexe Funktionen erlauben. Diese können jedoch aufgrund der begrenzten Zeit nicht alle behandelt werden und sollten aus den Vorlesungsunterlagen nachvollzogen werden. Abschließend sollte man dennoch die Eigenschaften zusammenfassen, die eine holomorphe Funktion auszeichnen: Ist f : U C holomorph, so ist dies äquivalent zu f ist lokal als Potenzreihe darstellbar γ f(z)dz = für null-homotope γ γ f(z)dz = γ 2 f(z)dz für zueinander homotope γ i f ist reell diffbar und die Cauchy-Riemann schen DG sind erfüllt f bestitzt Stammfunktion auf einfach zus. Gebieten