Ferienkurs Analysis 3 für Physiker. Funktionentheorie

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1 Ferienkurs Analysis 3 für Physiker Funktionentheorie Autor: Benjamin Rüth, Korbinian Singhammer Stand: 28. Februar 25

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Was ist Funktionentheorie? 3 2 Holomorphe Funktionen 3 2. Beispiel: Eine einfache holomorphe Funktion Komplexe Integration 5 3. Beispiel: Wegunabhängigkeit Homotopie von Kurven 7 4. Beispiel: Integral über verschiedene Kurven Cauchy sche Integralformel 9 5. Beispiel: Komplexes Kurvenintegral weitere Sätze aus der Funktionenthorie 7 Singularitäten 8 Laurentreihen 8. Beispiel: Potenzreihe Beispiel: gebrochen rationale Funktion Beispiel: Ableitungstrick Beispiel: Entwicklung um z Beispiel: Partialbruchzerlegung Residuensatz 5 9. Beispiel: Reelle Integration mit Residuensatz Beispiel: Komplexe Integration mit Residuensatz

3 2 HOLOMORPHE FUNKTIONEN Was ist Funktionentheorie? Die Funktionentheorie - oft auch komplexe Analysis genannt - beschäftigt sich mit Funktionen f : C C; z f(z) die in der komplexen Zahlenebene "leben". Es gibt viele Analogien von komplexen Funktionen zu reellen Funktionen g : R 2 R 2, wenn man die erste Koordinate mit dem Realteil und die zweite mit dem Imaginärteil von z identifiziert. Diese Analogien können das Verständnis der komplexen Analysis vereinfachen und Zusammenhänge veranschaulichen, jedoch gibt es auch entscheidende Unterschiede, die man auf jeden Fall beachten muss, wenn man komplexe Funktionen betrachtet. 2 Holomorphe Funktionen Eine komplexe Funktion f : C C; z f(z) nennt man holomorph in einem Gebiet U C, wenn sie in jedem Punkt z U komplex differenzierbar ist, d.h. der Grenzwert für jedes z U existiert. f (z) lim ɛ f(z) (f(z ɛ)) ɛ Komplexe Funktionen f(z) f(x + iy) u(x, y) + iv(x, y) können durch f : R 2 R 2 ; (x, y) (u(x, y), v(x, y)) identifiziert. Ist f reell differenzierbar, so gilt f (z) ( x u(x, y) y u(x, y) x v(x, y) y v(x, y) ) Ist f holomorph, so gelten die bereits eingeführten Cauchy-Riemann schen Differentialgleichungen. Für f bedeutet das, dass durch einsetzen der Cauchy-Riemann schen DG v x u u y a und x v y b f (z) ( b(x, y) a(x, y) a(x, y) b(x, y) ) folgt. Diese Abbildung hat die Form einer Drehstreckung. Holomorphe Funktionen sind also orientierungserhaltende Abbildungen. Für die komplexe Differentiation gelten außerdem dieselben Regeln wie für die reelle Differentiation. 3

4 2 HOLOMORPHE FUNKTIONEN 2. Beispiel: Eine einfache holomorphe Funktion 2. Beispiel: Eine einfache holomorphe Funktion Wir betrachten die Funktion f(z) 2iz. Diese Funktion soll zuerst auf Holomorphie überprüft werden und dann soll ihr Abbildungsverhalten untersucht werden. Holomorphie: Um die Funktion mithilfe der Cauchy-Riemann schen DG zu untersuchen müssen wir sie zuerst ein wenig umformulieren: f(z) f(x+iy) 2i(x+iy) 2xi 2y u(x, y)+iv(x, y) mit u(x, y) 2y und v(x, y) 2x Nun können wir die Kriterien der Cauchy-Riemann schen DG untersuchen: v x 2! u u ( 2) und y x! v y Die Cauchy-Riemann schen DG sind also erfüllt und somit ist f(z) eine holomorphe Funktion. f(z) entspricht also einer Drehstreckung. Diesen Zusammenhang wollen wir kurz veranschaulichen. Abbildungsverhalten: f (z) 2 ( ) ( ) x u(x, y) y u(x, y) 2 x v(x, y) y v(x, y) 2 ( ) ( ) cos(9 ) sin(9 ) sin(9 ) cos(9 ) ( Id R 9 ) ( ) Man sieht, dass die Abbildung Vektoren also um den Faktor 2 streckt und um 9 gegen den Uhrzeigersinn dreht. Durch Einsetzen der Einheitsvektoren in die Abbildung lässt sich das auch schnell überprüfen: f( + i) 2i( + i) 2i und f( + i) 2i( + i) 2 4

5 3 KOMPLEXE INTEGRATION 3 Komplexe Integration Neben der komplexen Differentiation gibt es natürlich auch noch die komplexe Integration. Diese ist für Anwendungen besonders interessant, da es mit Werkzeugen der Funktionentheorie oft möglich ist reelle Integrale zu berechnen, die man sonst nicht analytisch bestimmen könnte. Die komplexe Integration ist wie folgt definiert: Sei : [a, b] C eine stückweise stetig differenzierbare Kurve und f : U C eine stetige Funktion, sodass ([a, b]) U C gilt. Dann nennt man b f(z)dz f((t)) (t)dt das komplexe Kurvenintegral über f(z) entlang der Kurve. a einige Parametrisierungen von Kurven Die Kurven entlang derer man integriert sind durch Parametrisierungen gegeben. Oft muss man jedoch selber geeignete Integrationswege suchen und zu diesem Zweck sind hier die wichtigsten Parametrisierungen kurz zusammengefasst: Kreis mit Radius r um Mittelpunkt z (t) re it + z ; t [; 2π] ; r R; z C Der Kreis wird gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Kreisbögen werden über entsprechende Einschränkungen des Parameterbereichs realisiert. Hier taucht das erste mal die komplexe Exponentialfunktion auf. e a+bi e a e bi e a (cos(b) + i sin(b)) ; a, b R Strecke von z nach z 2 (t) ( t)z + tz 2 ; t [; ] ; z, z 2 C 5

6 3 KOMPLEXE INTEGRATION 3. Beispiel: Wegunabhängigkeit Standardabschätzung Oft ist es hilfreich Integrale schon vor der Berechnung abschätzen zu können. Zu diesem Zweck verwendet man die sog Standardabschätzung: f(z)dz max f(z) L() z ([a;b]) L() bezeichnet die Länge der Kurve. Diese beträgt L() b a (t) dt Wegunabhängigkeit Bei holomorphen Funktionen ist die Integration unabhängig vom Integrationsweg. Daraus folgt direkt, dass Integrale über geschlossene Integrationswege den Wert besitzen. Die Wegunabhängigkeit kann die Berechnung komplexer Integrale erheblich vereinfachen, wenn man einen geeigneten Weg wählt. Man sollte jedoch immer daran denken, dass diese Eigenschaft wirklich nur für holomorphe Funktionen gilt. 3. Beispiel: Wegunabhängigkeit Im vorherigen Beispiel haben wir bereits gezeigt, dass f(z) 2iz auf ganz C holomorph ist. Wir möchten diese Funktion nun entlang des Einheitskreisbogens (t) e it ; t [; φ] integrieren. Zuerst berechnen wir das Integral explizit: f(z)dz φ φ 2 f((t)) (t)dt φ 2ie it ie it dt φ 2e 2it dt cos(2t) + i sin(2t)dt 2 [, 5 sin(2t), 5i cos(2t)] φ [(sin(2φ) i cos(2φ)) (sin() i cos())] (cos(2φ) )i sin(2φ) Am Wert dieses Integrals sieht man sehr schön, dass geschlossene Wege φ 2nπ mit n Z den Wert erzeugen, da f(z) eine holomorphe Funktion ist. Da die Integration jedoch relativ kompliziert ist, versuchen wir nun unter Ausnutzung der Wegunabhängigkeit die Berechnung durch Wahl eines anderen Integrationsweges zu vereinfachen: 6

7 4 HOMOTOPIE VON KURVEN Wählen wir den Weg + 2 mit (t) ( t) + t cos(φ) ; t [; ] und 2 (t) cos(φ) + it sin(φ) ; t [; ], so gilt sind Anfangs- und Endpunkt von und identisch. Es gilt also wegen der Wegunabhängigkeit: f(z)dz 2i f(z)dz f(z)dz + f(z)dz 2 2i( t + t cos(φ))( + cos(φ))dt + f( (t)) (t)dt + f( 2 (t)) 2 (t)dt 2i(cos(φ) + it sin(φ))i sin(φ)dt cos(φ) + t( 2 cos(φ) + cos(φ) 2 )dt 2 sin(φ) cos(φ) + it sin(φ)dt 2i(cos(φ) ) + i( 2 cos(φ) + cos(φ) 2 ) 2 sin(φ) cos(φ) i sin(φ) 2 (cos(φ) 2 sin(φ) 2 )i 2 sin(φ) cos(φ) (cos(2φ) )i sin(2φ) Erwartungsgemäß erhalten wir das selbe Ergebnis. Der zweite Weg ist vom reinen Rechnen her etwas aufwändiger, dafür kann man aber auf die Definition der komplexen Exponentialfunktion verzichten. 2 cos(φ) sin(φ) Im i φ Re 4 Homotopie von Kurven Bisher haben wir Funktionen betrachtet, die auf ganz C holomorph sind. Betrachtet man nun jedoch Funktionen, die nur auf U C holomorph sind, dann muss man einige Besonderheiten beachten. Hierzu führen wir den Begriff den Homotopie ein: Homotopie Eine geschlossene Kurve heißt null homotop, wenn sie sich stetig in U auf einen Punkt zusammenziehen lässt. Das heißt es dürfen keine "Löcher" innerhalb dieser Kurve existieren. Zwei Kurven mit identischen Randpunkten heißen zueinander homotop, wenn ihre Verknüpfung null homotop ist. 7

8 4 HOMOTOPIE VON KURVEN 4. Beispiel: Integral über verschiedene Kurven Betrachtet man nun Kurven, die nicht null homotop sind, so ist das Integral über eine geschlossene Kurve nicht null. Betrachtet man Kurven, die nicht zueinander homotop sind, so gilt keine Wegunabhängigkeit. Für Integrale über zueinander null homotope Kurven gilt nach wie vor die Wegunabhängigkeit. 4. Beispiel: Integral über verschiedene Kurven Wir betrachten die Funktion f(z) z. Die Cauchy Riemann schen DG zeigen, dass diese Funktion in z nicht holomorph ist. f(z) f(x + iy) x + iy x iy x 2 y 2 x x 2 y 2 + i y x 2 y 2. Die Cauchy Riemann schen DG lauten also v x 2xy (x 2 + y 2 ) 2! u ( ) 2xy y (x 2 + y 2 ) 2 In z ist die Ableitung nicht definiert. Wir betrachten nun die Integrationswege e it t [; ] 2 π 2 e it t [; 3 ] 2 π und u x y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2! v y y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2. Viertelkreis gegen UZS Dreiviertelkreis im UZS 3 t + it t [; ] Gerade I f(z)dz I 2 f(z)dz 2 π 2 3π 2 e it ieit dt i π 2 dt iπ 2 e it ie it dt i I 3 f(z)dz ( + i)dt t + it 3 ( + i)( t it) ( t + it)( t it) dt 3π 2 dt 3iπ 2 2t + i 2t 2 2t + dt i 2t 2 2t + dt iπ 2 8

9 5 CAUCHY SCHE INTEGRALFORMEL Die Kurven und 3 sind homotop zueinander, weswegen wir identische Werte für I und I 2 erhalten. 2 ist zu keiner der anderen beiden Kurven nullhomotop und deshalb erhalten wir ein anderes Ergebnis für I 3. Die geschlossene Kurve Γ 3 ist nullhomotop und wir erhalten für das Integral über Γ den Wert I I 3. Die geschlossene Kurve (Einheitskreis) Γ 2 2 ist nicht nullhomotop und wir erhalten für das Integral über Γ 2 den Wert I I 2 2πi. 2 Im i 3 i Re 5 Cauchy sche Integralformel Mit den nun bereitstehenden Rechentechniken ist es möglich verschiedene Sätze der Funktionentheorie zu beweisen. Die Cauchy sche Integralformel lautet wie folgt: Sei U C offen, f : U C holomorph, B r (z ) {z z z r} U (Kreisscheibe mit Radius r um z ) und r : [; ] U, r (t) z + re 2πit. Dann gilt f(z ) 2πi r f(z) z z dz. 5. Beispiel: Komplexes Kurvenintegral Das komplexe Kurvenintegral der Funktion g(z) ez z 2 entlang eines Kreises um den Ursprung mit Radius r 3 lässt sich mithile der Cauchy schen Integralformel bestimmen: z 3 e z z 2 dz f(z)ez z 2 z 3 f(z) z z dz Cauchy 2πif(z ) 2πie 2 9

10 6 WEITERE SÄTZE AUS DER FUNKTIONENTHORIE 6 weitere Sätze aus der Funktionenthorie In der Funktionentheorie gibt es noch viele weitere Sätze, die verschiedene Aussagen über komplexe Funktionen erlauben. Diese können jedoch aufgrund der begrenzten Zeit nicht alle behandelt werden und sollten aus den Vorlesungsunterlagen nachvollzogen werden. In den Büchern Christian Karpfinger. Höhere Mathematik in Rezepten : Begriffe, Sätze und zahlreiche Beispiele in kurzen Lerneinheiten. Springer Spektrum, Berlin [u.a.], 24 Christian Karpfinger. Arbeitsbuch Höhere Mathematik in Rezepten. Springer Spektrum, Berlin [u.a.], 24. Elektronische Ressource findet man viele weitere Beispiele und Aufgaben zu den wichtigsten Themen und auch einige Beispiele aus dem vorliegenden Skript wurden von dort übernommen. Abschließend sollte man dennoch die Eigenschaften zusammenfassen, die eine holomorphe Funktion auszeichnen: Ist f : U C holomorph, so ist dies äquivalent zu f ist lokal als Potenzreihe darstellbar f(z)dz für null homotope f(z)dz 2 f(z)dz für zueinander homotope i f ist reell differenzierbar und die Cauchy Riemann schen DG sind erfüllt f besitzt Stammfunktion auf einfach zusammenhängenden Gebieten

11 7 SINGULARITÄTEN 7 Singularitäten Wir haben bereits bei der Funktion z Teile von C im Definitionsbereich aussparen müssen, da die Funktion dort nicht holomorph ist. Solche Aussparungen im Definitionsbereich von Funktionen nennt man Singularitäten. Die genaue Definition lautet wie folgt: Sei f : U R holomorph, dann heißt z isolierte Singularität, wenn ɛ > : ( z z (, ɛ) z U). Man unterscheidet zwischen drei Typen von Singularitäten: hebbare Singulatität f besitzt eine analytische Fortsetzung auf U z. Die Funktion sin(z) z besitzt in z eine Singularität. Diese ist hebbar: sin(z) z ( ) k z2k+ (2k+)! k z ( ) k z 2k (2k + )! sinc(z) k Pol f(z)(z z ) n hat eine hebbare Singulartität in z, dann ist z Pol n ter Ordnung von f(z). Die bereits bekannte Funktion z hat einen Pol erster Ordung bei z : f(z)(z z ) z (z ) wesentliche Singularität Falls die Singularität weder hebbar, noch ein Pol ist, nennt man sie wesentlich. Die Funktion e /z hat bei z eine wesentliche Singularität. Riemannscher Hebbarkeitssatz Sei f : U C holomorph mit isolierter Singularität bei z. Diese ist hebbar, wenn f in der Umgebung von z beschränkt ist.

12 8 LAURENTREIHEN 8 Laurentreihen Laurentreihen sind eine Verallgemeinerung von Potenzreihen. Mit Laurentreihen beschreibt man Funktionen in der Nähe isolierter Singularitäten. Für Koeffizienten c C Z und z, z C nennt man c n (z z ) n n Z Laurentreihe um den Entwicklungspunkt z. Laurentreihen haben eine Haupt und einen Nebenteil H und N. c n (z z ) n c n (z z ) n + c n (z z ) n H + N n Z n Laurentreihen konvergieren in dem Bereich, in dem sowohl Haupt- als auch Nebenteil konvergieren. n Laurentreihenentwicklung Analog zur Taylorentwicklung gibt es auch eine Laurentreihenentwicklung der Funktion f(z). Im Konvergenzbereich gilt: f(z) n Z c n (z z ) n. Die Koeffizienten haben den Wert c n f(z) 2πi (z z ) n+ dz mit (t) z + ρe 2πit, t [; ]. Die Funktion konvergiert dabei in einem Kreisring K r,r (z ) und ist ein Kreisbogen innerhalb dieses Kreisrings, also ρ (r, R). Um eine Laurentreihe insbesondere den Koeffizienten c, der wie wir später sehen eine besondere Rolle spielt zu bestimmen, sollte die Entwicklung der Reihe mit der obigen Formel jedoch der letzte Weg sein. Oft bieten sich durch verschiedene Umformungen schnellere Wege an. 8. Beispiel: Potenzreihe Wir wollen die Laurentreihe von e z um z bestimmen. Dazu nutzen wir die bekannte Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion. ( ) n e z z n! n! z n n! z n + H + N k k k 2

13 8 LAURENTREIHEN 8.2 Beispiel: gebrochen rationale Funktion 8.2 Beispiel: gebrochen rationale Funktion Wir wollen die Laurentreihe von z um z bestimmen. Hierbei benutzen wir die geometrisch Reihe. z z k + z k H + N für z < k k Will man die Laurentreihe für z >, so muss man den Term zuerst ein wenig umformen: z z z z z z k z k k z k + H + N für z < z > k z k 8.3 Beispiel: Ableitungstrick Die Laurentreihe von ( z) 2 kann man folgendermaßen bestimmen: ( z) 2 d dz z d dz z k k (k + ) z k Diese Laurentreihe ist nur für z < gültig! Für z > geht man analog zum vorherigen Beispiel vor: k ( z) 2 d dz z d dz z z d dz ( k ) z k 2 k k kz k z k k 8.4 Beispiel: Entwicklung um z Wollen wir nun die Laurentreihe von z um einen anderen Entwicklungspunkt z bestimmen, so gehen wir wie folgt vor: z z z + z z z + z ( z ) (z z ) z z z z ( ) z k z ( ) k+ (z z ) k z z k z k ( ) k+ + (z z ) k H + N z k 3

14 8 LAURENTREIHEN 8.5 Beispiel: Partialbruchzerlegung Hierbei sollte man unbedingt den Konvergenzbereich der geometrischen Reihe ( z z z < ) beachten. Für den hierzu komplementären Konvergenzbereich wendet man wieder den Trick aus 8.2 an. 8.5 Beispiel: Partialbruchzerlegung Zuletzt ist die Partialbruchzerlegung ein weiteres wichtiges Werkzeug um die Laurentreihe von Funktionen der Form (z a)(z b) zu bestimmen. Die beiden dabei entstehenden Summanden kann man mit der geometrischen Reihe nun wieder in die entsprechenden Laurentreihen überführen. (z a)(z b) (a b)(z a) + (b a)(z b) z(a b) a 2 + ab + z(b a) b 2 + ab (a 2 ab) z(a b) + (b 2 ab) z(b a) (a 2 ab) z a b + (b 2 ab) z b a + a 2 ab ( ) a b k z k a 2 + ab k [ z k ( ) (a 2 ab) k (b 2 ab) b 2 ab k ] (a b) k (b a)k (a 2 + ab) k+ (b 2 ab) k+ ( b a z k b 2 ab H + N Auch hier muss man die Konvergenzbereiche der geometrischen Reihen beachten. Diese Laurentreihe konvergiert also nur für z a b a 2 ab < z b a b 2 ab < Durch Einsetzen konkreter Werte für a, 5 und b, 5 wird klar, dass dies genau die Kreisscheibe zwischen den beiden Polen ist: z, 5 < z, 5 < 2z < 2z < z <, 5 Andere Werte a, 5 und b, 6 liefern die Kreisscheibe innerhalb des innersten Pols ( a): z., 25.3 <. z, 36.3 < 2z < 5 3 z < z <, 5 ) k 4

15 9 RESIDUENSATZ 9 Residuensatz Der Residuensatz erlaubt die Berechnung komplexer Integrale nur durch Auswertung sogenannter Residuen. Diese sind wie folgt definiert: Res z (f) f(z)dz mit (t) z + ρe 2πit ; t [; ] ; ρ (; R) 2πi Man nennt Res z (f) das Residuum von f bei z. Das Residuum lässt sich direkt aus der Laurentreihe von f mit Entwicklungspunkt z bestimmen: Res z (f) c wenn f(z) c k (z z ) k Nun können wir den Residuensatz definieren: k Z n f(z)dz 2πi Ind zj () Res zj (f) j Dabei betrachten wir die Singularitäten, z j, die innerhalb der Kurve liegen. Der Index Ind zj () bezeichnet hierbei die Umlaufzahl. Bestimmung der Umlaufzahl Um die Umlaufzahl zu bestimmen, betrachtet man eine Singularität und folgt von deren Standpunkt aus dem Verlauf des Weges. Die Anzahl der Umläufe des Weges um die Singularität ergibt schließlich die Umlaufzahl. Dabei führt ein Umlauf gegen den UZS zu einer positiven Umlaufzahl und ein Umlauf im UZS zu einer negativen Umlaufzahl. Berechnung von Residuen Für bestimmte Fälle gibt es Formeln, um die Residuen einer Funktion zu bestimmen: f hat bei z einen Pol der Ordnung n k, dann gilt Res z (f) (k )! lim d k ( ) z z dz k (z z ) k f(z) f(z) g(z) h(z), g, h sind holomorph bei z und h(z ), h (z ),d.h. f hat einen Pol bei z. Es gilt für f Res z (f) g(z ) h (z ) 5

16 9 RESIDUENSATZ 9. Beispiel: Reelle Integration mit Residuensatz 9. Beispiel: Reelle Integration mit Residuensatz Das reelle Integral 2π dt sin(t) lässt sich durch ein paar Umformungen in ein komplexes Integral umwandeln. Wir verwenden die Formel zur komplexen Exponentialfunktion und erhalten daraus folgende Darstellung der Sinusfunktion: sin(t) 2i Auf dem Einheitskreis gilt z e it, daraus folgen (e it e it) sin(t) 2i (z /z) und cos(t) 2 (z + /z). Damit lässt sich das obige reelle Integral zu einem komplexen Integral entlang des Einheitskreisbogens umformen. Wir substituieren sin(t) /2i (z /z) und dt /iz dz. sin(t) /2i (z /z) ableiten cos t dt /2i ( /z 2 ) :cos(t) dt /iz dz. Das komplexe Integral lautet also 2π dt sin(t) dz /2i (z /z) iz Die rationale Funktion hat die Pole f(z) /2i (z /z) iz 2 3z 2 + iz 3 z 3 i und z 2 3i. Nur der Pol z liegt innerhalb des Einheitskreises. Wir benötigen also nur noch das entsprechende Residuum ( ) g Res z (f) Res z g(z ) h h (z ) 2 i 2i 4i i 4 Mit dem Resudiensatz erhalten wir schließlich den Wert des Integrals 2π dt sin(t) f (z) 2πiRes z (f) π 2 6

17 9 RESIDUENSATZ 9.2 Beispiel: Komplexe Integration mit Residuensatz 9.2 Beispiel: Komplexe Integration mit Residuensatz Wir wollen das folgende Integral berechnen: Mit cosh(z) ez + e z 2 dz cosh z. ea+bi + e a bi 2 a! (cos(b) + i sin(b) + cos(b) i sin(b)) 2 cos(b) Im iπ i π 2 Re erhalten wir auf der imaginären Achse die Nullstellen z k (2k )πi 2 mit k Z. Diese Nullstellen von cosh sind also Pole von /cosh(z). Nur die Pole z und z liegen innerhalb von. Jetzt bestimmen wir Umlaufzahlen und Residuen der Pole: Für die Umlaufzahl erhalten wir Ind z () + und Ind z (). i π 2 iπ Die Residuen bestimmen wir folgendermaßen: ( ) g Res z (f) Res z g(z ) h h (z ) ( ) i sinh πi 2 ( ) g Res z (f) Res z g(z ) h h (z ) ( ) i sinh πi 2 Der Residuensatz liefert den Wert des Integrals dz cosh z 2πi (Ind z () Res z (f) + Ind z2 () Res z2 (f)) 2πi ( i i) 4π. 7