Lösungen zum 9. Übungsblatt Funktionentheorie I

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Hartmut Bayer
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1 Universität Karlsruhe SS 25 Mathematisches Institut I Prof Dr M von nteln Dr C Kaiser Lösungen zum 9 Übungsblatt Funktionentheorie I Aufgabe 9 K a) Wir verwenden bei diesem Integranden die Partialbruchzerlegung z 2 + (z + i)(z i) i/2 z + i i/2 z i Da diwei Punkte i und i im Inneren der Kreislinie z 2 liegen und die Funktion z iz 3 /2 im sternförmigen Gebiet C holomorph ist, ergibt sich mit der Cauchyschen Integralformel für positiv orientierte, einfache Rundwege z 2 z 3 z 2 + dz z 2 2πi iz3 2 iz 3 /2 z + i dz iz 3 /2 z 2 z i dz 2πi iz3 π( i) 3 + πi 3 2πi z i 2 zi b) Wir setzen f(z) : sin(πz 2 ) + cos(πz 2 ) und verwenden die Partialbruchzerlegung (z )(z 2) z 2 z Genau wie eben folgt dann mit der Cauchyschen Integralformel f(z) (z )(z 2) dz f(z) z 2 dz f(z) dz 2πi f(2) 2πi f() z 2πi ( sin(4π) + cos(4π) sin(π) cos(π) ) 2πi ( + ( ) ) 4πi (Man beachte: Die Punkte 2 und liegen im Inneren des Integrationsweges) c) Der Integrand lässt sich hier wie folgt umschreiben: z 2 + 2z z(z + 2) ( ) e z 2 z ez z + 2 Der Punkt liegt im Inneren des Integrationsweges, der Punkt 2 dagegen im Äußeren Folglich ergibt sich mit der Cauchyschen Integralformel ( z z 2 + 2z dz ) 2 z z dz z z + 2 dz ( 2πi ) 2 z πi

2 d) Für die durch f(z) : ze iz definierte Funktion gilt f (z) e iz + z(ie iz ) ( + iz)e iz, f (z) ie iz + ( + iz)(ie iz ) (2i z)e iz, und damit erhalten wir genau wie eben mit der allgemeinen Cauchyschen Integralformel ze iz (z π) 3 dz 2πi f (π) πi (2i z)e iz 2! zπ πi (2i π)( ) 2π + iπ 2 z 4 e) Die Nullstell 7 des Nenners des Integranden liegt außerhalb der Kreislinie z 2 3, denn > 3 Der Integrand ist also holomorph in dem Sterngebiet { z C : z 2 < 5 }, in welchem auch der geschlossene Integrationsweg verläuft Aus dem Cauchyschen Integralsatz folgt somit e i cos z sin(z 4 + ) z (z 7) 42 dz Aufgabe 92 K z 2 3 Da z n e iπ genau dann gilt, wenn z e iφ mit nφ π mod 2π ist, hat + z n die Nullstellen z k exp[i(π + 2kπ)/n], wobei k,,, n Nur z liegt im Inneren von, die anderen Nullstellen dagegen außerhalb In der folgenden Skizze ist der Fall n 6 dargestellt; der Weg ist dabei in drei Teilwege, 2 und 3 zerlegt Im 2 3 z z 2 z z 3 z 5 R z 4 Der Integrand des zu berechnenden Kurvenintegrals lässt sich somit darstellen in der Form + z n f(z), wobei f(z) : z z (z z ) (z z n ), und offenbar gibt es ein Sterngebiet, das enthält, nicht aber die Punkt,, z n Damit ist f in diesem Gebiet holomorph, und die Cauchysche Integralformel liefert + z n dz f(z) dz 2πi f(z ) z z Da die Funktion f im Punkt z e iπ/n stetig ist, gilt [ ] z z + z n [ + z n f(z ) lim f(z) lim z z z z + z n lim ( + z n lim ) z z z z z z z z [ ( + z n ) ] zz nz n ne iπ(n )/n ne iπ eiπ/n e iπ/n n ]

3 Also erhält man für das Kurvenintegral eiπ/n dz 2πi + zn n Dieser Wert muss sich auch ergeben, wenn wir das Kurvenintegral mit Parametrisierungen der Teilwege von ausrechnen: Wir verwenden : z(t) t ( t R), 2 : z(t) it ( t 2π/n), und beim Weg 3 geben wir eine Parametrisierung des zugehörigen Rückweges 3 3 : z(t) te2πi/n ( t R) Wir setzen zur Abkürzung I 2 : 2 ( + z n ) dz und erhalten 2πi eiπ/n n + z n dz + z n dz z n dz Für z 2 R + t n dt + I 2 ( e 2πi/n) R R + t n dt + I 2 + t n e 2πi e2πi/n dt 3 + z n dz ist z R, daher liefert die Standardabschätzung für Kurvenintegrale I 2 L( 2 ) max z R + z n L( 2) max z R z n 2πR n R n R (Hierbei haben wir die Voraussetzung n > benutzt) Für R folgt aus ( ) also: Das zu berechnende uneigentliche Integral existiert, und es ist eiπ/n dt 2πi + tn n e 2πi/n π n 2i e iπ/n e iπ/n π/n sin(π/n) Bemerkung: Im Falle n 2 ergibt sich hier die Gleichung ( + x2 ) dx π 2, die man unter Verwendung der Stammfunktion x arctan x bestätigen kann (vgl auch Beispiel in der Vorlesung) an: ( ) Aufgabe 93 Nach Definition der Umlaufzahl Ind (z) eines geschlossenen Integrationsweges gilt jeweils ζ 2πi Ind () Durch die Integral-Berechnung bestimmen wir also die Umlaufzahl von bezüglich a) Der Weg lässt sich darstellen als 2, wobei die Wege und 2 wie in der folgenden Skizze gewählt sind: 2

4 Damit gilt ζ ζ + 2 ζ 2πi Ind () + 2πi Ind 2 () Nun ist ein positiv orientierter, einfacher, geschlossener Integrationsweg, und ζ liegt im Inneren Also ist Ind () nach dem Jordanschen Kurvensatz und damit Ind () Analog ergibt sich Ind 2 () Zusammen ergibt sich b) In diesem Falle gilt ζ 2πi 2πi 4πi ζ 3 k ζ, k wobei die Wege k (k, 2, 3) folgendermaßen gewählt sind: 2 3 Genau wie in Teil a) sieht man, Ind () Ind 2 () gilt Somit haben Integrale längs bzw 2 jeweils den Wert 2πi haben Da im Äußeren von 3 liegt, ist Ind 3, also hat auch das Integral längs 3 den Wert (Man kann dies auch mit dem Cauchyschen Integralssatz begründen) Insgesamt erhalten wir 4πi als Wert des zu berechnenden Integrals c) Diesmal gilt ζ 4 k ζ, k mit den gemäß folgender Skizze definierten Wegen: Genau wiuvor sieht man, dass das Integral längs den Wert 2πi hat und die Integrale längs 2, 3 und 4 den Wert liefern Das zu berechnende Integral hat damit den Wert 2πi d) Der Punkt liegt im Äußeren des Integrationsweges Damit gilt nach Vorlesung, dass Ind () ist Somit hat das gesuchte Integral den Wert (Auch hier kann man wieder mit dem Cauchyschen Integralssatz argumentieren)

5 Aufgabe 94 a) Wir bilden das Cauchyprodukt der Potenzreihe, die f darstellt, mit der geometrischen ihe und erhalten für z < g(z) f(z) ( z )( ) a k z k z k k k n k a k z k z n k ( a k )z n An dieser Potenzreihenentwicklung von g um den Punkt z liest man ab, dass n k k a k g(n) () n! für alle n N gilt Damit ergibt sich die Formel g (n) () (a + a + + a n )n! für alle n N b) Nach der allgemeinen Cauchyschen Integralformel ist 2πi z r f(z) dz ( z)zn+ 2πi z r g(z) (z ) n+ dz g(n) () a) n! (Man beachte: Die Funktion g ist im Inneren des Einheitskreises holomorph) a k c) Diese Art Integrale wurde in b) behandelt Für das erste muss man f(z) : und n : 2 betrachten Da f die Potenzreihenentwicklung + z + 2 z2 + besitzt, folgt z r ( z)z 3 dz 2πi ( + + ) 2 5πi Für das zweite Integral muss man f(z) : /( z) und n : 2 betrachten Weil f(z) ( + z + 2 z2 + )( + z + z 2 + ) + 2z z2 + für z < gilt, ergibt sich in diesem Falle ( z) 2 z 3 dz 2πi ( ) 2 πi z r k

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