Über rationale Homöomorphismen der Einheitskreislinie

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1 Über rationale Homöomorphismen der Einheitskreislinie Diplomarbeit von Marcus Stiemer Dem Fachbereich Mathematik der Universität Dortmund vorgelegt im November 1995

2 Vorwort Die Untersuchung homöomorpher Selbstabbildungen der Einheitskreislinie findet ihren Ursprung in H. Poincarés Arbeiten über die Lösungskurven auf Tori definierter Differentialgleichungen. Einzug in die Iterationstheorie rationaler Funktionen hielten Ergebnisse aus diesem Gebiet, nachdem es V. Arnol d gelungen war zu zeigen, daßein analytischer Diffeomorphismus des Einheitskreisrandes unter gewissen Bedingungen analytisch zu einer Drehung desselben konjugiert ist. Die in diesen Fällen auftretenden invarianten Ringgebiete werden Arnol d-herman Ringe bezeichnet (M. Herman konnte Arnol ds Ergebnisse verallgemeinern). Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist die Charakterisierung der lokalen Dynamik einer rationalen Abbildung, deren Einschränkung auf die Einheitskreislinie diese homöomorph auf sich selber abbildet, in denjenigen Fällen, in denen kein Arnol d-herman Ring vorliegt. Letzteres tritt insbesondere dann ein, wenn die gegebene Abbildung den Einheitskreisrand nur homöomorph und nicht diffeomorph auf diesen selber abbildet, das heißt, wenn kritische Punkte auf ID liegen. Bereits in [11] auf Seite 111 beschreibt N. Steinmetz die dann auftretenden Phänomene; im folgenden soll ein detaillierter Beweis dieser Beobachtungen erbracht werden. Die ersten drei Kapitel stellen Ergebnisse über Homöomorphismen von ID zusammen, die allein mit Mitteln der Theorie stetiger Funktionen gewonnen werden. Viele der hier angeführten Aussagen und zahlreiche weiterführende Aspekte finden sich in den Büchern von V. Arnol d [1] oder R. Devaney [5]. Eine umfassende Darstellung bietet M. Herman [8]. Im vierten Kapitel gilt es dann, die Resultate aus den ersten Kapiteln auf die Dynamik in einer Umgebung der Einheitskreislinie auszudehnen. Dazu sind Resultate aus der Iterationstheorie rationaler Funktionen nötig, die zum Beispiel bei N. Steinmetz [11] zu finden sind. Anschließend werden im 5. Kapitel die gewonnenen Erkenntnisse auf konkret gegebene Funktionen exemplarisch angewendet. Die abschließenden drei Kapitel beinhalten topologische Besonderheiten, die in der untersuchten Funktionenklasse auftreten. So können zum Beispiel rationale Endomorphismen von Ĉ konstruiert werden, deren Juliamenge sich 1

3 über die gesamte Zahlenkugel erstreckt, wie dem 7. Kapitel zu entnehmen ist. Eine rationale Abbildung, die zweifach zusammenhängende Urbildgebiete von Fatougebieten aufweist, wird im 8. Kapitel betrachtet. Aufrichtig danke ich Herrn Professor Dr. N. Steinmetz für das sehr interessante und ergiebige Thema sowie für entscheidende Ideen, lehrreiche Erklärungen und wesentliche Korrekturen. Herrn Diplommathematiker W. Schmidt gilt mein Dank für seine geduldige Unterstützung bei der drucktechnischen Realisation dieser Diplomarbeit. Die Erstellung des Manuskripts erfolgte mit dem Textverarbeitungssystem L A TEX im mathematischen Labor der Universität Dortmund; mit Turbo Pascal erzeugte Bilder konnten unter Verwendung des Progammes Bitmap2font implementiert werden. Dortmund, im November 1995 Marcus Stiemer 2

4 Inhaltsverzeichnis 1 Homöomorphismen mit diskreter Fixpunktmenge 4 2 Die Rotationszahl 10 3 Parameterabhängigkeit der Rotationszahl 15 4 Dynamik rationaler Homöomorphismen 23 5 Die Funktionen f α (z) = e 2πiα z 2 z 3 1 3z 35 6 Bedarf an kritischen Punkten 42 7 Die Juliamenge, falls λ keine Einheitswurzel ist 48 8 Mehrfach zusammenhängende stabile Gebiete 54 9 Literaturverzeichnis 62 3

5 1 Homöomorphismen mit diskreter Fixpunktmenge Ziel des ersten Abschnittes ist es, die Dynamik einer homöomorphen Selbstabbildung der Einheitskreislinie, die höchstens endlich viele Fixpunkte aufweist, zu beschreiben. Die Abbildung g : ID ID sei homöomorph. Dann existiert eine stetige, streng monotone Abbildung h : IR IR so, daß g(e it ) = e ih(t) gilt; h ist bis auf eine Konstante 2πk eindeutig bestimmt. Ist h streng monoton steigend, so liegt ein orientierungserhaltender Homöomorphismus vor. Die Menge aller homöomorphen und orientierungserhaltenden Selbstabbildungen des Einheitskreisrandes werde mit H bezeichnet. Zur Untersuchung der Dynamik einer Abbildung g H ist es sinnvoll, einen geeigneten Lift h zu betrachten: Lemma 1.1 Zu g H gibt es genau eine stetige, streng monoton steigende Abbildung h : IR IR so, daß gilt: ζ = e it ist Fixpunkt von g t + 2πk ist Fixpunkt von h für alle k Z. Beweis Die Implikation t [0, 2π) ist Fixpunkt von h g(ζ) = g(e it ) = e ih(t) = e it = ζ ist für jeden Lift h gültig. Durch die Normierung 0 h 1 (0) < 2π bzw. 2π h 2 (0) < 0 sind die Lifte h 1 und h 2 eindeutig bestimmt. Für alle t IR erfüllen sie wegen der Periodizität der Exponentialfunktion die Gleichung h 1 (t) = h 2 (t) + 2π. Ist nun ζ = e it Fixpunkt von g, so gilt h 1 (t) = t oder h 1 (t) = t + 2π bzw. h 2 (t) = t 2π oder h 2 (t) = t. 4

6 Demnach ist t entweder Fixpunkt von h 1 oder Fixpunkt von h 2 (und auch t+2πk für alle k Z). Die Behauptung folgt nun, da h 1 oder h 2 fixpunktfrei ist: Angenommen, h 1 habe den Fixpunkt t 1 und h 2 habe den Fixpunkt t 2, (ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei 0 t i < 2π für i = 1, 2), so folgt sowohl im Fall t 2 t 1 als auch für t 1 < t 2 ein Widerspruch, wie die Ungleichungen t 1 = h 1 (t 1 ) > h 1 (t 2 2π) = h 2 (t 2 2π) + 2π = h 2 (t 2 ) = t 2 > t 1 0 t 2 = h 2 (t 2 ) = h 1 (t 2 ) 2π h 1 (t 1 ) 2π = t 1 2π < 0 bzw. zeigen. Im folgenden sei stets vorausgesetzt, daßdie gegebene Abbildung g H höchstens endlich viele Fixpunkte aufweist. Ist die Fixpunktmenge von g nicht leer, so wird immer derjenige Homöomorphismus h : IR IR mit den in Lemma 1.1 beschriebenen Eigenschaften betrachtet. In der Nähe eines Fixpunktes treten drei verschiedene dynamische Verhaltensweisen der Iteriertenfolge auf, wie in Satz 1.3 gezeigt werden wird. Daher bietet sich die folgende Charakterisierung an: Definition 1.2 Die Abbildung g H habe höchstens endlich viele Fixpunkte. Ist ζ = e it Fixpunkt von g und h : IR IR der in Lemma 1.1 beschriebene Lift, so gelte: 1. ζ Fixpunkt 1. Art Es existiert ein ɛ > 0 so, daß h(τ) < τ für alle τ (t ɛ, t) und h(τ) > τ für alle τ (t + ɛ, t) gilt. 2. ζ Fixpunkt 2. Art es existiert ein ɛ > 0 so, daß h(τ) > τ für alle τ (t ɛ, t) und h(τ) < τ für alle τ (t + ɛ, t) gilt. 3. ζ Fixpunkt 3. Art es existiert ein ɛ > 0 so, daß entweder h(τ) > τ für alle τ (t ɛ, t + ɛ) \ {t} oder h(τ) < τ für alle τ (t ɛ, t + ɛ) \ {t} gilt. Bemerkung Wegen card S < hat S keine Häufungspunkte. Die drei Fälle in Definition 1.2 schließen daher alle Möglichkeiten ein. 5

7 Darstellung der Lifte t 0.6 sin t einer Abbildung mit Fixpunkt 1. Art an der Stelle e iπ = 1, t sin t einer Abbildung mit Fixpunkt 2. Art an der Selle e iπ = 1 und des am Ende dieses Abschnitts vorgestellten Homöomorphismus mit Fixpunkt 3. Art an der Stelle e iπ = 1 Satz 1.3 Die Abbildung g H habe eine endliche und nicht leere Fixpunktmenge. Der Lift h : IR IR weise die in Lemma 1.1 beschriebene Eigenschaften auf. Seine Fixpunktmenge laute {t i IR h(t i ) = t i, i Z}, wobei die {t i } nach der Größe geordnet seien: i < j t i < t j. Dann gilt: 1. Ist j < l und sind e it j und e it l Fixpunkte 1. Art, so existiert ein k Z mit j < k < l so, daß e it k 2. Ist j < l und sind e it j und e it l Fixpunkte 2. Art, so existiert ein k Z mit j < k < l so, daß e it k Fixpunkt 2. Art ist. Fixpunkt 1. Art ist. 3. Ist e it k Fixpunkt 2. Art, so gilt lim n h n (τ) = t k für alle τ (t k 1, t k+1 ) 4. Ist e it k Fixpunkt 3. Art, so gilt entweder lim n h n (τ) = t k für alle τ [t k, t k+1 ) oder lim n h n (τ) = t k für alle τ (t k 1, t k ]. Beweis Betrachte H : IR IR, definiert durch H(t) = h(t) t. Dann ist h(t) = t genau dann erfüllt, wenn H(t) = 0 eintritt. Darüber hinaus gilt 6

8 e it ist Fixpunkt 1. Art von g Es existiert ein ɛ > 0 mit H(τ) < 0 für τ (t ɛ, t) und H(τ) > 0 für τ (t, t + ɛ). e it ist Fixpunkt 2. Art von g Es existiert ein ɛ > 0 mit H(τ) > 0 für τ (t ɛ, t) und H(τ) < 0 für τ (t, t + ɛ). e it ist Fixpunkt 3. Art von g Es existiert ein ɛ > 0 so, daß entweder H(τ) > 0 für τ (t ɛ, t + ɛ) \ {t} oder H(τ) < 0 für τ (t ɛ, t + ɛ) \ {t} erfüllt ist. zu 1. Seien e it j und e it l Fixpunkte 1. Art von g. Dann existiert ein δ > 0 so, daß t j < t j + δ < t j+1 t l, t l > t l δ > t l 1 + δ > t l 1, H(t j + δ) > 0 H(t l δ) < 0 und gelten. Nach dem Zwischenwertsatz folgt die Existenz einer Nullstelle im Intervall (t j + δ, t l δ). Die Menge der Nullstellen von H im Intervall (t j + δ, t l δ) laute {t j+1,..., t l 1 }. Aus der Annahme e itn ist nicht Fixpunkt 2. Art für alle j + 1 n l 1 folgt, daß e it j+1 Fixpunkt 3. Art von g ist wegen H(t j + δ) > 0. Durch sukzessive Fortführung dieses Schlusses erhält man, daß unter obiger Annahme e itn für alle j + 1 n l 1 Fixpunkt 3. Art von g ist. Daraus folgt mit der Definition des Fixpunktes 3. Art, und da H nullstellenfrei ist in (t l 1, t l ), H(τ) > 0 für alle τ (t l 1, t l ). Dies ist ein Widerspruch zu H(t l δ) < 0. zu 2. Der Beweis verläuft in völliger Analogie zu 1. zu 3. Es sei ζ = e it k ein Fixpunkt 2. Art. Wegen h(τ) > τ für τ (t k 1, t k ) und der strengen Monotonie von h ist die Folge (h n (τ)) n IN monoton steigend. Aus τ < t k folgt h n (τ) < h n (t k ) = t k für alle n IN. 7

9 Als beschränkte, monotone Folge ist (h n (τ)) n IN konvergent für alle τ (t k 1, t k ). Ihr Grenzwert ist ihre kleinste obere Schranke, und werde bezeichnet. Es gilt τ 0 = lim n h n (τ) h(τ 0 ) = h( lim n h n (τ)) = lim n h n+1 (τ) = τ 0. Da h fixpunktfrei in (t k 1, t k ) ist, folgt t k = lim n h n (τ) für alle τ (t k 1, t k ). Für alle τ (t k, t k+1 ) ist die Folge (h n (τ)) n IN monoton fallend wegen h(τ) < τ und der Monotonie von h. Aus τ > t k folgt h n (τ) > h n (t k ) = t k für alle n IN, somit ist (h n (τ)) n IN beschränkt, also konvergent. Da lim n h n (τ) Fixpunkt von h ist, gilt t k = lim n h n (τ) für alle τ (t k, t k+1 ). zu 4. Für τ (t k 1, t k+1 ) \ {t k } gelte h(τ) > τ (andernfalls verläuft die Argumentation analog). Dann ist (h n (τ)) n IN monoton wachsend für alle τ (t k 1, t k+1 ). Gilt τ (t k 1, t k ), so ist (h n (τ)) n IN durch t k nach oben beschränkt, im Falle τ (t k, t k+1 ) durch t k+1. Wiederum ist lim n h n (τ) Fixpunkt von h; es folgt lim n hn (τ) = t k für τ (t k 1, t k ) bzw. lim n hn (τ) = t k+1 für τ (t k, t k+1 ). 8

10 Das linke Bild illustriert die Idee des Beweises zum 1. Teil von Satz 1.3. Die beiden anderen sind Darstellung der Dynamik der Lifte t sin 2t einer Abbildung mit je 2 Fixpunkten 1. Art und 2. Art. bzw. des am Ende dieses Abschnittes betrachteten Homöomorphismus mit einem Fixpunkt 3. Art an der Stelle e iπ = 1. Bemerkung Die Dynamik eines Homöomorphismus g H mit diskreter Fixpunktmenge läßt sich also folgendermaßen beschreiben: Es gibt gleichviele Fixpunkte 1. Art wie Fixpunkte 2. Art. Ist ζ 0 ein Fixpunkt 2. Art, so gilt g n (ζ) ζ 0 für jedes ζ B, wobei B den Bogen zwischen den beiden zu ζ 0 benachbarten Fixpunkten bezeichnet. Ist ζ 0 ein Fixpunkt 3. Art, so gilt g n (ζ) ζ 0 für jedes ζ B 1 bzw. g n (ζ) ζ 2 für jedes ζ B 2, wobei ζ 1 und ζ 2 die zu ζ 0 benachbarten Fixpunkte sind, und B 1 den Bogen zwischen ζ 0 und ζ 1 bzw. B 2 denjenige zwischen ζ 0 und ζ 2 bezeichnet. Beispiel einer möglichen Fixpunktkonstellation. 9

11 Abschließend soll ein konkretes Beispiel betrachtet werden: Die Abbildung h : IR IR sei gegeben als die 2π-periodische Fortsetzung von h (t) = πb ( ) t 2 2 π 1, t [0, 2π) mit b > 0. Durch h(t) = t + h (t), t IR wird dann im Falle b < 1 wegen 0 < 1 b < h (t) = 1 + b ( t π 1 ), t [0, 2π) ein streng monoton steigender Homöomorphismus von IR definiert. Ein orientierungserhaltender Homöomorphismus des Einheitskreisrandes kann durch erklärt werden. Nun gilt g(z) = e ih(arg z), für z ID t + πb 2 ( t π 1 ) 2 = t t = π. Da h genau einen Fixpunkt in [0, 2π) aufweist, verfügt auch g nur über den Fixpunkt e iπ = 1. Gemäß Satz 1.3 handelt es sich dabei um einen Fixpunkt 3. Art. Die Vorwärtsorbits sämtlicher Punkte ζ ID konvergieren gegen 1. Andere Beispiele finden sich in R. Devaneys Buch [5]. 2 Die Rotationszahl Ob die im 1. Abschnitt untersuchten Phänomene auftreten, hängt, wie sich im folgenden herausstellen wird, von der mittleren Rotation des gegebenen Homöomorphismus ab. Diese wird mit der Rotationszahl λ gemessen. Rotationszahlen wurden von H. Poincaré zur Beschreibung des Verlaufs der Lösungskurven auf Tori definierter Differentialgleichungen [9] eingeführt. Der in diesem Kapitel zu beweisende Zusammenhang zwischen den Werten der Rotationszahl λ und dem Auftreten periodischer Punkte ist seitdem bekannt. Verschiedene Darstellungen dieses Sachverhaltes und ähnlicher Themen liegen in [1], [3], [5], [8] und [9] vor. 10

12 A. Denjoy konnte 1932 das wichtige Problem der topologischen Konjugation eines C 2 Diffeomorphismus der Einheitskreislinie mit irrationaler Rotationszahl λ zu einer Drehung um den Winkel 2πλ lösen [4]. Schließlich zeigte V.Arnol d, daß für geeignete Werte von λ und analytische Diffeomorphismen, die nahe einer Drehung sind, auch der konjugierende Homöomorphismus analytisch ist (und damit in eine Umgebung von ID fortgesetzt werden kann). Wie M. Herman bewies, kann auf die Bedingung nahe einer Drehung verzichtet werden. Detaillierte Untersuchungen zur Qualität des Konjugationshomöomorphismus bietet er in [8]. Satz 2.4 Gegeben sei g H und eine stetige, streng monoton steigende Abbildung h : IR IR, die g(e it ) = e ih(t) erfüllt. Dann existiert der Grenzwert µ = lim n h n (t) t 2πn Er ist unabhängig von t. h n (t) = lim n 2πn = lim h n (0) n 2πn. Beweis In beinahe allen oben zitierten Büchern und Abhandlungen findet sich ein Beweis dieses Satzes. Zum Beispiel gilt V. Arnol ds für Diffeomorphismen formulierter Beweis in [1] auf den Seiten 103 und 104 gleichermaßen für homöomorphe Selbstabbildungen des Einheitskreisrandes. Definition 2.5 (Rotationszahl) Unter den Voraussetzungen des obigen Satzes heißt λ = e 2πiµ Rotationszahl von g. Bemerkung Lift h. Die Rotationszahl λ ist unabhängig vom gewählten Beweis Die Homöomorphismen h 1 und h 2 : IR IR erfüllen e ih 1(t) = e ih 2(t) für alle t IR. Dann gilt h 1 (t) = h 2 (t) + 2πk für ein k Z. Es folgt µ 1 = lim n h n 1(t) t 2πn h n = lim 2(t) + 2πnk t = n 2πn 11

13 h n = k + lim 2(t) t = k + µ 2. n 2πn Also λ = e 2πiµ 1 = e 2πi(µ 1+k) = e 2πiµ 2. Das nächste Lemma bereitet den Beweis der Beziehung zwischen den Werten von λ und dem Auftreten periodischer Punkte auf ID vor. Lemma 2.6 Die Abbildung h : IR IR sei stetig, streng monoton steigend und erfülle h(t + 2π) = h(t) + 2π für alle t IR. Desweiteren sei h n (t) t µ = n lim 2πn. Dann gilt π min 1 {h(t) t} µ t [0,2π) 2π max {h(t) t}. t [0,2π) 2. Es existiert ein t 0 [0, 2π) mit der Eigenschaft 3. 2πµ = h(t 0 ) t 0. µ(h k ) = kµ(h) für alle k IN. Beweis zu 1. Wegen h(t + 2π) = h(t) + 2π gilt Aus folgt induktiv min t IR {h(t) t} = min {h(t) t}. t [0,2π) t + min {h(t) t} h(t) t + max {h(t) t} t [0,2π) t [0,2π) t + n min {h(t) t} t [0,2π) hn (t) t + n max {h(t) t} t [0,2π) 12

14 für alle t IR. Termumformung ergibt 1 2π min {h(t) t} hn (t) t 1 t [0,2π) 2πn 2π max {h(t) t}. t [0,2π) Strebt nun n, so folgt die Behauptung. zu 2. Anwendung des Zwischenwertsatzes auf h(t) t ergibt unmittelbar die Behauptung. zu 3. Für alle k IN gilt µ(h k ) = lim n h nk (t) t 2πn = lim n h nk (0) 2πn = h nk (0) k lim n 2πkn = k lim h m (t) t m 2πm = kµ(h). Satz 2.7 Die Abbildung g H habe die Rotationszahl λ. Dann gilt 1. λ = 1 g hat einen Fixpunkt. 2. λ p = 1, p IN g hat einen periodischen Punkt der Periode p, das heißt, es gibt ein p IN und ein ζ ID mit g p (ζ) = ζ. Beweis zu 1. Es sei e it 0 Fixpunkt von g. Für h mit g(e it ) = e ih(t) gilt h(t 0 ) = t 0 + 2kπ für ein k Z, somit also µ = lim n h n (t 0 ) t 0 2πn λ = e 2πik = 1. 2kπn = lim n 2πn = k, 13

15 Andererseits sei nun λ = 1. Für h : IR IR mit g(e it ) = e ih(t) gilt dann µ(h) = 2πk mit einem k Z. Gemäß Lemma 2.6 existiert ein t 0 [0, 2π) mit Demnach ist e it 0 Fixpunkt von g. h(t 0 ) t 0 = 2πk. zu 2. Die Abbildung h : IR IR erfülle g(e it ) = e ih(t). Ihre Rotationszahl werde λ = λ(g) = e 2πµ(h) bezeichnet. Dann gelten die folgenden Äquivalenzen: e it 0 ist periodischer Punkt von g der Periode p e it 0 ist Fixpunkt von g p λ(g p ) = 1 µ(h p ) = k, k Z pµ(h) = k, k Z λ(g) = e 2πi k p [λ(g)] p = 1. Es ist nicht möglich, ein allgemeines Ergebnis über die Rotationszahl komponierter Abbildungen anzugeben. Immerhin bleibt λ bei Konjugation mit einem Homöomorphismus von ID unverändert. Satz 2.8 (Invarianz unter Konjugation) Es seien g H und ein weiterer Homöomorphismus Ψ : ID ID gegeben. Ist λ(g) = e 2πiµ(g) die Rotationszahl von g und λ(ψ g Ψ 1 ) = e 2πiµ(Ψ g Ψ 1 ) diejenige von Ψ g Ψ 1, so gilt λ(g) = λ(ψ g Ψ 1 ). Beweis Die Homöomorphismen h, ϕ : IR IR seien so gewählt, daß die Gleichungen g(e it ) = e ih(t), t IR, 0 h(0) < 2π bzw. Ψ(e it ) = e iϕ(t), t IR, 0 ϕ(0) < 2π 14

16 erfüllt sind. Es gilt 2π ϕ(t) t 2π zunächst für t [0, 2π) und, wegen ϕ(t + 2π) = ϕ(t) + 2π, t IR schließlich für alle t IR. Daher ist (ϕ h n ) (t) h n (t) 0 2πn 2π 2πn = 1 n für alle n IN, t IR, also Daraus folgt mit t = ϕ(0) (ϕ h n ) (t) h n (t) lim = lim n 2πn n 2πn = µ(g). µ(ψ g Ψ 1 ) = lim n (ϕ h ϕ 1 ) n (ϕ(0)) 2πn (ϕ h n ϕ 1 ) (ϕ(0)) lim n 2πn = lim n (ϕ h n ) (0) 2πn = = µ(g). Den Schluß dieses Abschnitts bildet A. Denjoy s Satz über die schon erwähnte Konjugation zu einer Drehung: Satz 2.9 Die Abbildung g H sei ein Diffeomorphismus und besitze die Rotationszahl λ. Ist g von beschränkter Variation und λ keine Einheitswurzel, dann gibt es einen Homöomorphismus Φ : ID ID mit der Eigenschaft ( ) Φ g Φ 1 (z) = 2πλz für alle z ID. Beweis Siehe etwa V. Arnol ds Buch [1], Seiten 105 und Parameterabhängigkeit der Rotationszahl Im allgemeinen kann die Rotationszahl nicht explizit berechnet werden. Daher wird an dieser Stelle die Abhängigkeit der Rotationszahl von einem Parameter α qualitativ untersucht. 15

17 Lemma 3.10 Die Abbildung h : IR IR sei stetig, streng monoton steigend und erfülle die Bedingung h(t + 2π) = h(t) + 2π für alle t IR. Zu α [0, 1] sei h α : IR IR definiert durch h α (t) = h(t) + 2πα, t IR. Dann ist für festes n IN und t IR die Abbildung Λ n : [0, 1] [h n (t), h n (t) + 2πn], α h n α(t) gleichmäßig stetig, streng monoton steigend und surjektiv. Beweis Die Stetigkeit von Λ n folgt aus der Stetigkeit von h und der Stetigkeit der Addition. Auf dem Kompaktum [0,1] ist Λ n dann sogar gleichmäßig stetig. Die Monotonie von h α (t) in α und in t ergibt die Monotonie von Λ n. Da Λ n stetig ist, wird nach dem Zwischenwertsatz jeder Wert in [h n (t), h n (t) + 2πn] angenommen; Λ n ist also surjektiv. Satz 3.11 Die Abbildung h : IR IR sei homöomorph mit h(t + 2π) = h(t) + 2π für alle t IR. Es gelte h(0) = 0. Zu α [0, 1] sei h α : IR IR definiert durch h α (t) = h(t) + 2πα. Darüber hinaus sei Dann ist die Abbildung h n µ α = lim α(0) n 2πn. Λ : [0, 1] [0, 1], α µ α stetig, monoton steigend und surjektiv. h Beweis Nach Satz 2.4 existiert lim n α(0) n für alle α [0, 1]. Die Funktion Λ ist daher definiert auf [0, 1]. 2πn Stetigkeit Ein beliebiges ɛ > 0 sei vorgegeben. Für jedes n IN folgt mit der Dreiecksungleichung µ α µ β µ α hn α (0) 2πn + 1 h n 2πn α(0) h n β(0) + µ β hn β(0) 2πn, 16

18 wobei α, β [0, 1] gilt. Gemäß der Definition von µ τ existiert zu ɛ/3 ein n 0 IN so, daß für alle n n 0 µ α hn α(0) 2πn < ɛ und 3 µ β hn β(0) 2πn < ɛ 3 gilt. Nach Wahl eines festen n n 0 gibt es ein δ > 0 so, daß aus α β < δ h n α(0) h n β(0) < 2πnɛ 3 folgt, da laut Lemma 3.10 die Abbildung α h n α(0) auf [0, 1] gleichmäßig stetig ist. Mit diesem δ gilt dann α β < δ = µ α µ β < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Monotonie Gemäß Lemma 3.10 folgt aus 0 α < β 1 h n α(t) < h n β(t) für alle n IN, t IR. Division durch 2πn und Grenzwertbildung ergibt h n µ α = lim α(0) n 2πn lim h n β(0) n 2πn = µ β. 2πn Surjektivität Es gilt µ 0 = 0 und µ 1 = lim n = 1. 2πn Da Λ stetig ist, wird laut Zwischenwertsatz jeder Wert im Intervall [0, 1] angenommen, das heißt, Λ ist surjektiv. Die stetige Abhängigkeit der Rotationszahl vom gegebenen Homöomorphismus kann in allgemeinerem Kontext bewiesen werden, wie man etwa R. Devaneys Buch [5] auf Seite 106 entnehmen kann. Der folgende Satz beschreibt die Gestalt des oft als Teufelstreppe bezeichneten Graphen von Λ. Die in diesem Zusammenhang wichtige Frage der strukturellen Stabilität wird hier außer acht gelassen. Dem interessierten Leser sei V. Arnol ds Buch [1], 17

19 Seiten und das dritte Kapitel aus M. Hermans Arbeit [8] empfohlen. Allerdings beschränken sich V. Arnol ds Untersuchungen auf Diffeomorphismen; um zu zeigen, daß C 2 diffeomorphe Abbildungen von ID mit rationaler Rotationszahl dicht liegen, greift er auf A. Denjoys Resultat über die Konjugation zu einer Drehung (hier Satz 2.9) zurück. Satz 3.12 Die Abbildung Λ sei wie zuvor definiert. Zusätzlich sei h id IR vorausgesetzt. Dann gilt für µ [0, 1] µ Q = Λ 1 ({µ}) ist ein abgeschlossenes Intervall. Λ 1 (Q [0, 1]) liegt dicht in [0, 1]. Λ 1 ([0, 1] \ Q) ist überabzählbar. Beweis Da Λ stetig ist und die Menge {µ} abgeschlossen, ist auch Λ 1 ({µ}) abgeschlossen. Aus der Surjektivität von Λ folgt Λ 1 ({µ}). Außerdem ist Λ 1 ({µ}) zusammenhängend, denn die Monotonie von Λ impliziert µ = Λ(τ 1 ) Λ(τ) Λ(τ 2 ) = µ, also τ Λ 1 ({µ}) für alle τ 1 τ τ 2. Die Menge Λ 1 ({µ}) ist somit ein abgeschlossenes Intervall oder einpunktig. Sei nun µ Q, etwa µ = p/q, p, q IN. Ohne Einschränkung können p und q als teilerfremd betrachtet werden (im Falle µ = 0 setze p = 0 und q = 1). Dann besteht die Gleichung Λ 1 ({µ}) = {α [0, 1] h q α(τ) τ = 2πp für ein τ [0, 2π]}, denn einerseits folgt aus α Λ 1 ({µ}) gemäß Lemma 2.6 µ(h q α) = qµ = p und die Existenz eines τ [0, 2π) mit h q α(τ) τ = 2πp. Andererseits gilt h kq α (τ) = 2πkp + τ für alle k IN, wenn h q α(τ) τ = 2πp für ein τ [0, 2π) eintritt, und deshalb h n α µ(h α ) = lim (τ) n 2πn = lim k h qk α (τ) 2πqk = lim 2πpk + τ k 2πqk = p q, 18

20 also α Λ 1 ({µ}). Nach Lemma 3.10 ist für festes t [0, 2π) die Abbildung bijektiv. Die Gleichung Λ q : [0, 1] [h q (t), h q (t) + 2πq], h q α(t) = 2πp + t hat deshalb für t [0, 2π) genau eine Lösung α = α(t), da wegen 0 h(t) < 2π auf [0, 2π) α h q α(t) 0 2π0 + t < 2π für µ = 0 bzw. h q (t) < 2π 2πp + t < 2π(p + 1) 2πq + h q (t) für 0 < µ 1, also in jedem Fall 2πp + t [h q (t), h q (t) + 2πq] gilt. Wäre nun Λ 1 ({µ}) einpunktig und α Λ 1 ({µ}), so müßte h q α(t) = 2πp + t für alle t [0, 2π) gelten. Es folgt h α (t) = 2π p + t, das heißt q h(t) = (2π p q α) + t, für alle t IR. Da h id IR vorausgesetzt wurde, ist 2π p α 0, dies ist aber ein Widerspruch zu h(0) = 0. q Daher enthält Λ 1 ({µ}) zwei verschiedene Punkte und kann nur ein abgeschlossenes Intervall sein. Sei nun µ IR \ Q, α Λ 1 ({µ}). Zu n IN existiert ein (irreduzibler) Bruch p/q, gilt (siehe etwa [4], Seite 33). Multiplikation mit 2πq ergibt 0 < q n und µ p q 1 q(n + 1) 2πqµ 2πp 19 2π n + 1. p, q IN derart, daß

21 Gemäß Lemma 2.6 hat h q α die Rotationszahl qµ, und es gibt ein τ [0, 2π) mit der Eigenschaft h q α(τ) = 2πqµ + τ. Damit folgt h q α(τ) (2πp + τ) 2π n + 1. Nach Lemma 3.10 ist die Abbildung Λ q : [0, 1] [h q (τ), h q (τ) + 2πq], β h q β(τ) bijektiv. Da 2πp+τ [h q (τ), h q (τ)+2πq] gilt (wie bereits im 1. Teil ausgeführt wurde), existiert ein β [0, 1] so, daß die Gleichung 2πp + τ = h q β (τ) besteht, das heißt h q α (τ) 2π hq β (τ) und Λ(β) = p/q Q n + 1 sind erfüllt. Nun gilt aber h q α(τ) h q β(τ) = h(h q 1 α (τ)) h(h q 1 (τ)) + 2π(α β) 2π α β, da α β und h(h q 1 α (τ)) h(h q 1 β (τ)) wegen der strengen Monotonie von h das gleiche Vorzeichen aufweisen. Dies ergibt schließlich zu beliebigem n IN die Existenz eines β = β(n) mit der Eigenschaft α β 1 n + 1 also den 2. Punkt der Behauptung. β und Λ(β) Q, Zum Beweis des 3. Teils sei bemerkt, daß die Abbildung Λ Λ 1 ([0,1]\Q) : Λ 1 ([0, 1] \ Q) [0, 1] \ Q injektiv ist, da Λ 1 ({µ}) für µ Q kein Intervall sein kann, wie aus der vorhergehenden Argumentation hervorgeht, und somit einpunktig ist. Die Inverse von Λ [0,1]\Q ist eine surjektive Abbildung der Menge [0, 1] \ Q auf Λ 1 ([0, 1] \ Q), und die Behauptung folgt, da [0, 1] \ Q überabzählbar ist. 20

22 Bemerkung Sind h und Λ wie zuvor definiert und ist h zudem stetig differenzierbar auf IR, so gilt im Falle µ = p/q mit teilerfremden p, q IN für jeden Randpunkt α 0 des Intervalls Λ 1 ({µ}) (h q α 0 ) (τ i ) = 1 für alle Punkte τ i, die h q α 0 (τ i ) = τ i + 2πp erfüllen. Beweis Da h stetig differenzierbar ist, gilt dies auch für die Abbildung β h q β (τ), bei festem τ [0, 2π). Laut Lemma 2.6 gibt es ein τ 0 [0, 2π), das die Gleichung h q α 0 (τ) = 2πp + τ löst. Gilt nun für ein τ 0 [0, 2π) mit h q α 0 (τ 0 ) = 2πp + τ 0 ( ) d dτ hq α 0 (τ) 1, τ0 so folgt d dτ (hq α 0 (τ) τ) 0, τ0 und nach dem Satz über die implizite Funktion hat die Gleichung h q α(τ) = 2πp + τ eine Lösung τ(α) für jedes α (α 0 ɛ, α 0 + ɛ) mit einem ɛ > 0. Für α (α 0 ɛ, α 0 + ɛ) hat h α dann auch die Rotationszahl µ. Dies steht aber im Widerspruch zu der Voraussetzung, daß α 0 Randpunkt von Λ 1 ({µ}) ist. Da im folgenden vielfach Homöomorphismen der Einheitskreislinie, die zusätzlich symmetrisch zur reellen Gerade sind, als Beispiel dienen werden, sei hier noch der folgende Satz angeführt. Satz 3.13 Die Abbildung g H genüge der Bedingung g(1) = 1. Der Lift h : IR IR sei normiert durch h(0) = 0. Desweiteren seien h α und Λ wie zuvor definiert. Gilt zudem g(z) = g(z) für alle z ID, so folgt Λ(1 α) = 1 Λ(α) für alle α [0, 1]. Beweis Für alle t IR gilt e ih(t) = g(e it ) = g(e it ) = e ih( t), 21

23 somit h(t) = h( t) bzw. h(t) = 2π h(2π t) für alle t IR. Induktiv folgt h n 1 α(0) = h( h(h(0) + 2π(1 α)) + 2π(1 α) ) + 2π(1 α) = für alle n IN. Das heißt für alle n IN. 2πn [h( h(h(0) + 2πα) + 2πα ) + 2πα] = 2πn h n α(0) Λ(1 α) = lim n h n 1 α (0) 2πn = lim 2πn h n α(0) n 2πn = 1 Λ(α) Die Abhängigkeit der Rotationszahl vom Parameter α für die Funktionenfamilie f α (z) = e 2πiα z 2 z 3 mit z ID. Daß es sich 1 3z bei diesen Funktionen tatsächlich um Homöomorphismen von ID handelt, wird im 5. Kapitel gezeigt werden. 22

24 Korollar 3.14 Hat unter den Voraussetzungen des vorhergehenden Satzes e 2πiα g einen periodischen Punkt der Periodenlänge q, so auch e 2πiα g = e 2πi(1 α) g. Beweis Da e 2πiα g einen periodischen Punkt der Länge q hat, gibt es laut Satz 2.7 teilerfremde Zahlen p, q IN, q p so, daß λ(e 2πiα g) = e 2πip/q gilt, das heißt Λ(α) = p/q. Es folgt Λ(1 α) = 1 Λ(α) = 1 p q = q p ; q nach Satz 2.7 hat deshalb e 2πip/q g ebenfalls einen periodischen Punkt der Länge p. 4 Dynamik rationaler Homöomorphismen Von nun an werden rationale Abbildungen f : Ĉ Ĉ betrachtet, deren Einschränkung f ID eine homöomorphe und orientierungserhaltende Selbstabbildung der Einheitskreislinie darstellt. Es existiert eine analytische Abbildung h : IR IR so, daß f(e it ) = e ih(t) für alle t IR gilt. Dieses h ist stetig, streng monoton steigend und kann gemäß Lemma 1.1 so gewählt werden, daß die Äquivalenz erfüllt ist. f(e it ) = e it h(t) = t + 2kπ für alle k Z In diesem Abschnitt werden die rationalen Homöomorphismen der Einheitskreislinie zunächst charakterisiert, anschließend gilt es, aus den bisherigen Ergebnissen auf die Dynamik von f in einer Umgebung um ID zu schließen. Die folgenden Hilfssätze beinhalten einige dafür wichtige Eigenschaften der zu untersuchenden Abbildungen. 23

25 Lemma 4.15 Die Abbildung h : ÎR ÎR sei analytisch, f : ID ID sei definiert durch f(z) = e ih(t) mit z = e it. Dann ist f holomorph in einer Umgebung von ID und es gilt h (t) = z f (z) f(z), z = eit, t IR. Beweis Da f analytisch ist und keine Pole hat auf ID folgt die Holomorphie. Desweiteren gilt für t IR ie it f (e it ) = d dτ f(eiτ ) = d t dτ eih(τ) = ie ih(t) h (t). t Umformen ergibt h (t) = e i(t h(t)) f (e it ) = z f (z) f(z). Lemma 4.16 Für die rationale Abbildung f : Ĉ Ĉ sei f ID eine Selbstabbildung von ID. Dann ist f(z) = 1 f ( ) für alle z Ĉ. 1 z Beweis Die Funktion g : Ĉ Ĉ, g(z) = f ( ) 1 z ist rational und somit meromorph in C. Für z ID gilt f(z) = 1, das heißt Aus dem Identitätssatz folgt ( ) 1 f(z)g(z) = f(z)f = f(z)f(z) = 1. z ( ) 1 f(z)f = 1 für alle z C, z also die Behauptung. Diese Symmetrie wirkt sich auf die Gestalt von Fatou- und Juliamenge aus. 24

26 Lemma 4.17 Für die rationale Abbildung f : Ĉ Ĉ sei f ID eine Selbstabbildung der Einheitskreislinie. Dann sind Fatoumeng F und Juliamenge J von f symmetrisch zu ID, das heißt Beweis z F 1/z F z J 1/z J. Bei der Abbildung und Ω : Ĉ Ĉ, ω 1 ω handelt es sich um eine homöomorphe Selbstabbildung von Ĉ, daher haben die rationalen Funktionen f und g = Ω f Ω 1 konjugierte Fatou- und Juliamengen, das heißt, es gilt F g = Ω(F f ) = 1 F f bzw. J g = Ω(J f ) = 1 J f. Laut Lemma 4.15 ist aber f = g auf Ĉ, somit weisen f und g identische Fatou- und Juliamengen auf. Deshalb sind die behaupteten Gleichungen und F = F f = F g = 1 F J = J f = J g = 1 J erfüllt. Satz 4.18 Die rationalen Abbildungen f : Ĉ Ĉ, deren Einschränkung f ID den Einheitskreisrand homöomorph und orientierungserhaltend auf diesen selbst abbilden, sind genau die Abbildungen der Form 2p f(z) = e iα j=0 z a j 1 a j z deren Koeffizienten die Ungleichung erfüllen. 2p j=0 a j C, α [0, 2π), p IN, 1 a j 2 0 für alle ϕ [0, 2π) 1 e iϕ a j 2 25

27 Beweis Es sei zunächst ein rationales f mit der Eigenschaft f ID H gegeben. Weil f ID injektiv und orientierungserhaltend ist, gilt für die Windungszahl der durch f(e it ), t [0, 2π] parametrisierten Kurve Γ n(γ, 0) = 1 2πi ID f (z) dz = 1. f(z) Nach dem Argumentprinzip ist dies die Differenz zwischen der Anzahl der Nullstellen und der Anzahl der Pole von f in ID. Somit muß die Anzahl der Faktoren in der Darstellung von f ungerade sein, das heißt n = 2p für ein p IN. Sind nun a j ID, 0 j p die Nullstellen von f in ID und b j ID, p + 1 j 2p die Pole, so wird durch g(z) = 2p z b j j=p+1 1 b j z p z a j j=0 1 a j z f(z), z ID entweder eine eigentliche Abbildung des Einheitskreises definiert, die f (ID) ID erfüllt, oder eine konstante Abbildung g c mit c = 1. Die erste Alternative ist jedoch absurd, da f weder Pole noch Nullstellen in ID aufweist. Mit den Festsetzungen a j = 1 b j für p + 1 j 2p und α = arg folgt nach Umformung 2p f(z) = e iα j=0 z a j 1 a j z. c 2p b j j=p+1 b j Nun sei h ein analytischer Homöomorphismus von IR, der die Gleichung f(e it ) = e ih(t), t IR erfüllt. Da f orientierungserhaltend ist, steigt h streng monoton. Dies impliziert h (t) 0 für alle t IR. Laut Lemma 4.15 gilt h (t) = z f (z) f(z) mit z = e it. 26