Beispiel 1: Wegverformung. Berechne: , mit. Lösung: Kurzfassung: Beispiel 1: Wegverformung, Fortsetzung. Alternative Konturverformung: Kurzfassung:

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1 Beispiel 1: Wegverformung Berechne: Lösung: [Man sagt: Folglich ist, mit existiert für alle hat eine "Singularität" oder "Pol".] analytisch auf Deswegen kann Wegunabhängigkeit (i.2) genutzt werden, um Integrationsweg zu einem Kreisweg zu "verformen", für den das Integral aus (d.5a) bekannt ist: (f.1) Wegunabhängigkeit: Kurzfassung: (i.2) (f.1), (5) (d.3) (d.4a) (denn und haben denselben Anfangs- und Endpunkt, und auf dem Gebiet dazwischen ist f(z) analytisch. Ditto für und. Beispiel 1: Wegverformung, Fortsetzung Alternative Konturverformung: Aber: heben sich weg bilden Kreis heben sich weg Kurzfassung: (9) gilt für jede geschlossene Kontur, die umschliesst!

2 Beispiel 2: Geschlossener Weg um Pol Verforme Weg zu Kreis mit Radius, Mittelpunkt : Wegverformung [analog zu Seite C8.2d] Analog: [extra Vorzeichen, wegen Faustregel: Geschlossener Weg darf beliebig verformt werden, solange da keine Singularität überkreuzt wird! Satz: Cauchy's Integralformel (optional) Sei ein einfach zusammenhängendes Gebiet, ein "einfach" geschlossener (d.h. Windungszahl = 1), positiv orientierter Weg, eine Funktion, die auf analytisch ist, und ein Punkt innerhalb. Dann gilt: Bemerkenswert: Das Verhalten einer analytischen Funktion im Inneren eines Gebiets (hier das von eingeschlossene) ist vollständig durch ihre Werte am Rand festgelegt!! Begründung: Verforme mit Mittelpunkt, Radius : zu einem infinitesimal kleinen Kreis Wegverformung denn für gilt kleiner Kreis:

3 C8.3 Reihenentwicklung einer analytischen Funktion und Residuensatz Sei Punkt analytisch auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet, dann hat die Reihen-Entwicklung v. die Form einer Taylor-Reihe: um einen n-fache Ableitung (wie im Reellen) [(1) konvergiert überall in (grösste offene Kreis, mit Mittelpunkt )] Wichtige Potenzreihen (bereits bekannt im Reellen, gelten genauso im Komplexen): Exp: (C5.1e.8) Konvergenzgebiet: Cos: (C5.1l.2) Sin: (C5.1l.1) Geometrische Reihe: (C5.1a.1) Reihenentwicklung einer analytischen Funktion mit Singularität Sei analytisch auf einem Gebiet, mit einer isolierten Singularität (oder "Pol"), dann hat die Reihen-Entwicklung v. um die Form einer "Laurent-Reihe", die auch negative Potenzen enthält: (kann gezeigt werden, mittels ZC8.2-5c) umschließt heisst "Pol der Ordnung " falls für alle Beispiele: Laurent-Reihe v. bzgl. [Taylor-Entwicklung des Zählers um z=1] bzgl.

4 Residuensatz Sei analytisch auf einem Gebiet, mit einem isolierten Pol, und ein einfach geschlossener, positiv orientierter Weg, der umschliesst. Dann gilt Laurent-Reihe Verforme Weg zum Kreis vertausche mutig Summe u. Integral: (C8.2l.4) Offenbar trägt nur der Term! Der Koeffizient spielt somit eine wichtige Rolle, und wird "das Residuum v. "genannt: Verallgemeinerung: und der Weg umschließe habe mehrere isolierte Pole, Pole, Residuensatz: Residuenformel (Herleitung optional; Anwendung wichtig!) sei (als Formel) gegeben, mit einem Pol der Ordnung Die Laurent-Entwicklung v. bezüglich hat die allgemeine Form: gesucht! NÜTZLICH & WICHTIG!

5 In der Praxis kommt der Fall am häufigsten vor: (merken!) Beispiel 1: Pole d. Ordnung 1 hat Singularität d. Ordnung Faustregel: kürze Pol weg, setze im übrigen Faktor. Beispiel 2: Pol d. Ordnung 2 hat Singularität d. Ordnung [konsistent mit (b.5)] Beispiel 3: Gewicht unter der Lorentz-Kurve (C5.1l.2) 'analytische Fortsetzung von f(x) nach f(z)' 'Schließe' den Integrationsweg, um geschlossene Kontur zu erhalten (und Residuensatz zu nutzen): Option 1: in oberer Halbebene: Option 2: in unterer Halbebene: Parametrisierung der Halbkreise mit Radius R: Für de Optionen ist das Linienintegral entlang Halbkreis gleich Null im Limes (C8.2b.2)

6 Also können wir die 'Kontur schließen': Finde Pole und Residuen von f(z): oder: hat zwei Pole d. Ordnung mit und mit Laut Residuenzsatz liefert nur der von der Kontur eingeschlossene Pol einen Beitrag: Option 1: Option 2: wegen positiver/negativer Integrationsrichtung, siehe (C8.2l.1 & 5)] konsistent! Kurzfassung für Erfahrene: (C5.1l.2) hat zwei Pole d. Ordnung Allgemeine Faustregel: schließen der Kontur entlang Halbkreis funktioniert, falls (C8.2b.2) also, falls: für

7 Beispiel 4: Fourier-Transformation v. Lorenz-Kurve (C6.3c.6) Berechne (2) mittels Wegintegral; unterscheide Füge Halbkreis hinzu, um geschlossene Kontur zu erhalten: Es gibt zwei Optionen: (C8.2b.2) (f.4) Vorzeichen oder Für brauchen wir, also, also Fazit: schließe Weg in oberen Halbebene für in unteren Halbebene für hat zwei Pole d. Ordnung Residuensatz: nur eingeschlossener Pol trägt, also brauchen wir nur: wegen Integrationsrichtung, siehe (C8.2l.1 & 5)]

8 Kurzfassung für Erfahrene: denn für, also entlang hat zwei Pole d. Ordnung Zusammenfassung: C8.3 Analytische Funktionen II Reihenentwicklungen: - wenn f analytisch ist: Taylor - wenn f einen Pol d. Ordnung p hat: Laurant habe mehrere isolierte Pole, und der Weg umschließe Pole, Residuensatz: Residuenformel:

9 Kontur schließen: falls Pole innerhalb Diese Strategie funktioniert insbesondere für Integrale folgender Form: mit falls: falls falls