Hörsaalübung 5 Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg SoSe 207 Dr. Hanna Peywand Kiani Hörsaalübung 5 Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Laurent-Reihen, isolierte Singularitäten Die ins Netz gestellten Kopien der Dateien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 Für die gesamte Hörsaalübung: Γ (das Bild einer) geschlossene stückweise C Kurve in D C. Falls nicht deutlich anders vermerkt: Uml(Γ,z 0 ) =. Wir hatten bereits: Cauchyscher Integralsatz (CIS) : D einfach zusammenhängend und f : D C holomorph: Einfach zusammenhängend: D hat keine Löcher Γ f(z)dz = 0. Homotopie: Sind Γ und Γ zwei geschlossene, stetig und ohne Aufschneiden im zweifach zusammenhängendem D ineinander verformbare stückweise C Kurven, dann gilt f(z)dz = f(z)dz Für jede geschlossene Kurve Γ,und jedes z 0 / Γ gilt Γ (z z 0 ) n dz, = Γ Γ { Uml(Γ,z 0 ) 2πi n = 0 n Z, n 2

3 Taylor-Reihen: Wie schon in R T(z;f,z 0 ) = n=0 a n (z z 0 ) n = n=0 f (n) (z 0 ) n! (z z 0 ) n. Für jedes Γ geschlossen, mit UmlΓ(z 0 ) = gilt ( CIF) a n = 2πi Γ f(z) (z z 0 ) n+dz Die Reihe konvergiert im größten Kreis um z 0 in dem f analytisch ist gegen f. Γ f(z)dz = Γ n=0 f (n) (z 0 ) n! (z z 0 ) n dz = n=0 f (n) (z 0 ) n! Γ (z z 0 ) n dz = 0 3

4 Beispiel a) Die Taylor-Reihe von f(z) := 5 z 3, mit z 0 = 0 Für z = 3 liegt eine Definitionslücke (isolierte Singularität) vor! Sonst ist f analytisch. Verwende geometrische Reihe: Ziel (z z 0 ) Potenzen! f(z) = 5 z 3 = 5 ( ( 3) z ) = 5 3 z 3 3 = 5 ( z k ( = 3 3) 5 ) 3 k+ (z 0) k Konvergenz liegt vor für z < also z < 3 = r. 3 Der Satz aus der Vorlesung besagt, dass die Reihe in dieser Kreisscheibe nicht gegen irgendwas, sondern gegen f konvergiert. 4

5 Und was, wenn ich für z > 3 auch gerne eine Reihe aus (z z 0 ) Potenzen hätte? f(z) = 5 z 3 = 5 ( z 3 ) z = 5 z = ( ) k 3 = z 5 3 k (z 0) (k+) 5 3 k z k+ = l= (z z 0 ) l Konvergenz? 5

6 Laurent-Reihen Seien: G C, f : G C holomorph in G. D := {z C : r < z z 0 < R} G Dann kann f in D in eine Laurent-Reihe entwickelt werden: f(z) = k= a n (z z 0 ) n, a n = 2πi Γ f(z) (z z 0 ) n+dz wobei Γ: wie oben. Wichtig: a = 2πi Γ f(z)dz Die Reihe konvergiert im größten (Ringgebiet um z 0 ) G gegen f. Die Reihe ist bei vorgegebenem Ring eindeutig. 6

7 Ziel ist NICHT die Koeffizienten über die Integrale zu rechnen sondern umgekehrt. Die Koeff berechnet man z.b. mit bekannten Reihen (Bsp. g, i, j unten) geometrische Reihe (Bsp a oben, Beispiel b, c, d, h unten) Ableitungen, Integrale (Bsp e) Beispiel b: f(z) = 5 z 3 Gesucht: Entwicklung um z 0 =. Definitionslücke (Isolierte Singularität) in z = 3. Funktion ist analytisch in jedem der Ringe: R : 0 z < 3 R 2 : 3 < z < 7

8 z 0 = : Wir wollen in der Reihe Potenzen von (z ) Umschreiben der Funktion: f(z) = 5 z 3 = 5 (z )+ 3 = 5 (z ) 2 In R gilt: z < 2 5 z 3 = 5 (z ) 2 = 5 ( 2 z ) 2 = 5 ( ) k z 5 = k+(z )k. Laurent-Reihe = Taylor-Reihe, a k = 0 k < 0. 8

9 Für z R 2 gilt z > 2. Damit wir eine konvergente geometr. Reihe erhalten teilen wir hier im. Schritt durch (z z 0 ). 5 (z ) 2 = 5 (z ) = 5 z ( ) k 2 = z ( 2 ) z 2 k 5 (z ) k+ = l= 5 2 l (z ) l. Erste Reihe konvergent im ersten Ring gegen f Zweite Reihe konvergent im zweiten Ring gegen f Keine Darstellung für z = 2 9

10 Polynom höheren Grades im Nenner: verschiedene Nullstellen: PBZ und Behandlung der einzelnen Summanden. Z.B. z 0 = 0, a b, 0 < a < b und f(z) = (z a)(z b) PBZ liefert f(z) = c z a + k z b Die Funktion ist in den Ringen R : 0 < z < a, R 2 : a < z < b, R 3 : b < z analytisch. Es gibt drei verschiedene Laurent-Reihen. Will man z.b. die Reihe, die für ẑ = 0.5( a + b ) gegen f(ẑ) konvergiert, muss man im Mittleren Ring rechnen. Ist man dagegen an Konvergenz für z = a/2 interessiert, berechnet man die Reihe in innersten Ring R. 0

11 (z +3)2 Beispiel c: f(z) = z 2 +6z +8, z 0 = 0. Gesucht sei diejenige Laurent-Reihe, die für ẑ = 3 gegen f(ẑ) konvergiert.. Schritt: Nullstellen vom Nenner bestimmen: (z +3) 2 z 2 +6z +8 = (z +3) 2 (z +2)(z +4) Isolierte Singularitäten: in z = 2 und z = 4. Sonst analytisch. Wie viele verschiedene Laurent-Reihen gibt es? Betrachte f also auf dem Ring R 2 : 2 < z < 4.

12 2.Schritt: Evtl. Polynomdivision, Ausklammern etc. und PBZ f(z) = + (z +2)(z +4) = + 2 ( z +2 ) z +4 Zunächst bestimmen wir die Entwicklungen der einzelnen Terme: z > 2 : z +2 = z < 4 : z +4 2

13 Beispiel d: f(z) = (z +3)2 z 2 +6z +8, z 0 = 2. Gesucht sei diejenige Laurent-Reihe, die für ẑ = 3 gegen f(ẑ) konvergiert. f(z) = + (z +2)(z +4) z +4 = (z ( 2))+2 = 2 = 2 f(z) = + + z +2 2 ( ) k (z +2) = 2 (z +2)(z +4) = = 2 ( ) k 2 k+ (z +2)k. (z +2) 2 3

14 Mehrfache Nullstellen: PBZ, Eventuell Reihen der Ableitungsfunktionen Beispiel e: z 0 = b, f(z) = Berechne erst die Reihe für g(z) = (z a) 2 und b a 0 z b < b a bzw. b a < z b. Leite anschließend die Reihe ab. im gewünschten Ring (z a) g(z) = (z a) = (z b)+(b a) 4

15 Beispiel g: f(z) = cos(z) +z2 z 5, z 0 = 0. Nur eine Reihe! Cosinus-Reihe einsetzen f(z) = +z2 + z 2 2! + z4 4! z6 6! ± = z 5 2!z + 3 4!z z 6! + z3 8! Ausblick: Integralberechnung über Laurent-Reihen Sei C eine geschlossene Kurve, die Null einmal positiv umläuft. Dann gilt a = Resf(0) = f(z)dz 2πi Also I := Bemerkung: CIF liefert I = 2πi C +z 2 +cos(z) z 5 dz = 2πi 4!. ( z 2 +cos(z) ) 4! C z=0 5

16 Isolierte Singularitäten Häufig sind Funktionen nur in einzelnen Punkten nicht analytisch. Beispiel: Potential/elektrisches Feld einer Ladung Q im Punkt z 0 : Φ(z) = k Q k Q, E(z) = gradφ(z) = z z 0 z z 0 3(z z 0) Verhalten der Funktionen in der Nähe solcher Punkte? z 0 C heißt isolierte Singulartät der analytischen Funktion f : G C, wenn eine punktierte Umgebung von z 0 zu G gehört, nicht aber z 0 selbst: Beispiele: 0 < z z 0 < r G, z 0 / G, r > 0. - ist keine isolierte Singularität von f(z) := ln(z). 0 und sind isolierte Singularitäten der Funktion f(z) := z z 2 (z ). 6

17 Klassifikation Sei z 0 isolierte Singulartät von f. Dann kann f in 0 < z z 0 < r in eine Laurent-Reihe entwickelt werden: f(z) = k= a k (z z 0 ) k. z 0 heißt hebbare Singularität a k = 0 k < 0. z 0 heißt Pol m-ter Ordnung mit m N a m 0, a k = 0 k < m. Die Laurent-Reihe hat also die Form a m (z z 0 ) m +a m+ (z z 0 ) m + +a (z z 0 ) + a k (z z 0 ) k z 0 heißt wesentliche Singularität a k 0 für unendlich viele k < 0. 7

18 Beispiel h) f(z) := z(z 2 +4) Die Funktion hat in den Nennernullstellen 0, 2i, 2i isolierte Singularitäten. Zur Klassifikation gibt es (mindestens) zwei Möglichkeiten.. Möglichkeit: Reihe berechnen. Für z 0 = 0 und 0 < z < 2 gilt f(z) = z = 4z z 2 +4 = z ( ) k 4 k z 2k = 4(+ z2 4 ) = z 4 ( ) ( z2 4 ) ( ) k 4 k+ z2k = 4z + ( ) k z2k 4k+ k= }{{} positive Potenzen z 0 = 0 ist also Pol erster Ordnung. 8

19 2. Möglichkeit: Reihe wird nicht berechnet f(z) = z z 2 +4 }{{} g(z) g(z) ist holomorph (analytisch) nahe z 0 = 0 und kann in eine Taylor-Reihe g(z) = g(z 0 )+ k= g (k) (z 0 ) k! (z z 0 ) k entwickelt werden. Damit ist f nahe z 0 gegeben durch f(z) = g(0) z + k= g (k) (0) k! (z 0) k Wegen g(0) = /4 0 ist die niedrigste in der Reihe vorkommende Potenz von (z 0) also -. 9

20 Allgemeiner: Ist f(z) = g(z) z z 0 mit g(z 0 ) 0 und g analytisch in einer Umgebung von z 0, dann ist z 0 ein Pol erster Ordnung. ACHTUNG: Für z > 2 erhält man für die gleiche Funktion f f(z) = z z 2 +4 = z ( ) z 2( ) + 4 z 2 =... = = ( 4) k z 2k also unendlich viele Terme mit negativen Potenzen! Frage: Liegt also doch eine wesentliche Singularität in z 0 = 0 vor? 20

21 Beispiel i) f(z) := sin(z) z 4 = hat f einen Pol 4. Ordnung in z 0 = 0? Allgemeiner: g(z) Ist f(z) = (z z 0 ) k mit g(z 0) 0 und g analytisch in einer Umgebung von z 0, dann ist z 0 ein Pol k-ter Ordnung. 2

22 Beispiel j) f(z) := e z+3 hat eine isolierte Singuarität in z 0 = 3. f(z) = ( ) k z+3 k! = k! ( ) k = + z +3 k= ( k)! (z ( 3))k In z 0 = 3 liegt eine wesentliche Singularität vor. Beispiel f) f(z) := z +2i z 2 +4 ACHTUNG: hebbar rauskürzbar! Beispiel sin(z) z 22

23 Partialbruchzerlegung bei einfachen Polen f(z) = z a p(z) q(z), p,q Polynome mit p(a) 0, q(a) 0 Mit g(z) = p(z) q(z) hat f nahe a die Laurent-Reihe f(z) = z a (g(a) + g (a)(z a) + ) = g(a) z a + k= g (k) (a) k! (z a) k Andererseits die PBZ: f(z) = α z a + Restterme }{{} Kein (z a) im Nenner Vergleich ergibt α = a = Res(f;z 0 ) = g(a) = lim z a (z a)f(z) 23

24 Oben hatten wir f(z) = (z+4)(z+2) = α z+4 + β z+2 Mit a = 4 gilt α = lim z a (z a)f(z): Mit b = 2 gilt β = lim z b (z b)f(z) : 24