Laurent-Reihen und isolierte Singularitaten

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1 Seminar zu Analysis III LA Gym Laurent-Reihen und isolierte Singularitaten Eingereicht von: Judith Krischke Matrikelnr.: Eingereicht bei: JP Dr. Tomas Dohnal 7. Juni 203

2 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 2 Abstract Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Thema Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten aus dem Gebiet der komplexen Analysis. Bisher hatten wir Funktionen betrachtet, die auf einer Umgebung von z 0 holomorph sind und sich somit in eine Potenzreihendartellung entwickeln lassen. In dieser Arbeit soll gezeigt werden, dass für Funktionen, die auf einer Umgebung von z 0 ohne den Punkt z 0 holomorph sind, etwa gebrochenrationale Funktionen, eine Laurent-Reihenentwicklung sozusagen eine Verallgemeinerung der Potenzreihenentwicklung existiert. Die Form dieser Reihen soll zunächst näher erläutert werden, um anschließend die aus der Umgebung herausgenommenen Stellen z 0 (die isolierten Singularitäten von f) zu charakterisieren. This Paper will examine Laurent series and isolated singularities, which is an important topic of complex function theory. Previously, we often considered a function that is holomorphic on an open set of z 0 and therefore can be expanded in a power series. In this paper it is shown that functions which are holomorphic on a punctured open set excluding z 0 can be expanded in a Laurent series, which thus can be regarded as a generalization of power series, allowing negative as well as positive powers. Firstly, the structure and shape of Laurent series is derived. In the following, the paper deals with the isolated singularities of f, z 0, which shall be characterized by the function f (as described above) in the last chapter. Laurent-Reihen Definition.0.. Eine Laurent-Reihe ist eine Reihe der Form L(z) = a n (z z 0 ) n = a n (z z 0 ) n + a n (z z 0 ) n. () n= n= Dabei heißt z 0 C Entwicklungspunkt der Reihe L(z). Die a n heißen Koeffizienten der Reihe und bilden eine Folge komplexer Zahlen {a n } n= = {a n } {a n } n=. Die Reihe R(z) = a n (z z 0 ) n = a 0 + a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) (2) TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

3 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 3 heißt Regulärteil und die Reihe, H(z) = a n (z z 0 ) n = n= heißt Hauptteil der Laurent-Reihe. a z z 0 + a (3) (z z 0 ) 2 Bemerkung: An z = z 0 und z = ist die Laurent-Reihe nicht definiert. Wie bei Potenzreihen soll zunächst das Konvergenzverhalten von Laurent-Reihen untersucht werden. Hierzu ist die Aufteilung der Laurent-Reihe in L(z) = R(z) + H(z) nützlich, da so die Reihe mit doppelt unendlichen Grenzen von bis in zwei einfache Potenzreihen (in z z 0 bzw. z z 0 ) aufgeteilt wird (vgl. (2) und (3)). Wiederholung: Konvergenz von Potenzreihen Für jede Potenzreihe der Form a n(z z 0 ) n, a n C existiert eindeutig ein r, 0 r, ihr sogenannter Konvergenzradius, für welchen gilt:. Ist r = 0, so konvergiert die Reihe nur an z Ist 0 < r <, so konvergiert die Reihe absolut auf dem Konvergenzkreis 0 U r (z 0 ) = {z : z z 0 < r}. Sie divergiert auf 0 U r (z 0 ) = {z : z z 0 > r}. 3. Ist r =, so konvergiert die Reihe absolut auf dem Konvergenzkreis U (z 0 ) = C. Sei r > 0, sodass der Hauptteil H(z) = a n (z z 0 ) n = n= n= a n ( ) n (4) z z 0 der Laurent-Reihe für z z 0 < r konvergiert und für z z 0 > r divergiert. Oder anders ausgedrückt: H(z) konvergiert für z z 0 > r. Sei r 2 der Konvergenzradius des Regulärteils der Laurent-Reihe, so konvergiert R(z) für z z 0 < r 2. TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

4 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 4 Frage: Wo konvergiert L(z) = H(z) + R(z)? Ist r > r 2, so gibt es kein z für das beide Reihen R(z) und H(z) zugleich konvergieren. Für r = r 2 kann keine klare Aussage getroffen werden, da über den Rand zunächst nichts bekannt ist. Die Konvergenz der beiden Reihen kann allerdings höchstens an gewissen Punkten der Kreislinie K r = {z : z z 0 = r } = K r2 vorliegen. Ist r < r 2, so konvergieren beide Reihen auf einem Ringgebiet K r,r 2 (z 0 ) = {z : r < z z 0 < r 2 }. Der Hauptteil konvergiert kompakt auf {z : z z 0 > r } (d.h. die Reihe konvergiert gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge von {z : z z 0 > r }) und der Regulärteil konvergiert kompakt auf {z : z z 0 < r 2 }. Auf dem Durchschnitt dieser beiden Mengen, K r,r 2 (z 0 ), konvergieren also beide Reihen kompakt. Abbildung : K r,r 2 (z 0 ) = {z : r < z z 0 < r 2 } Genau wie beim Identitätssatz für Potenzreihen lässt sich für Laurent-Reihen die Eindeutigkeit der Koeffizienten beweisen. Satz.0.2 (Eindeutigkeit der Koeffizienten a n einer Laurent-Reihe). Konvergieren die Laurent-Reihen A(z) = n= n= a n (z z 0 ) n, B(z) = n= n= b n (z z 0 ) n (5) auf einem Ringgebiet K r,r 2 (z 0 ) = {z : r < z z 0 < r 2 }, und gilt dort A(z) = B(z), so folgt a n = b n n Z. TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

5 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 5 Beweis: Es sei k Z. Weiterhin sei Γ K r,r 2 eine geschlossene, positiv orientierte Jordan-Kurve mit endlicher Länge, welche in ihrem Inneren die Kreislinie K r (z 0 ) enthält. Wegen der Konvergenz auf K r,r 2 (z 0 ) gilt: Γ = A(ζ) dζ (ζ z 0 ) k+ Γ ( n= n= a n (ζ z 0 ) n k )dζ (6) Wegen der gleichmäßigen Konvergenz des Integranden kann man die Summe mit dem Integral vertauschen und man erhält die Reihe = n= n= ( a n Γ ) (ζ z 0 ) n k dζ. (7) Um diesen Term weiter vereinfachen zu können, soll die folgende Wiederholung aus den vorangehenden Analysis-Veranstaltungen die Berechnung komplexer Kurvenintegrale dieser Form erläutern. Wiederholung: Berechnung komplexer Kurvenintegrale Sei m eine ganze Zahl. Für alle z 0 C und r > 0 gilt für das Kurvenintegral über den Kreis K r (z 0 ) 0, falls m (ζ z 0 ) m dζ =, falls m = K r(z 0 ) Beweis: Die Parameterdarstellung der glatten Kurve K r (z 0 ) ist gegeben durch z(t) = z 0 +re it = z 0 +r(cos t+i sin t) mit t [0,2π] und ihre Ableitung ist z (t) = r sin t+ir cos t = ire it. Aus Analysis I-III wissen wir:. K β f(z)dz = f(z(t)) z (t)dt. α TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

6 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 6 Wir erhalten (ζ z 0 ) m dζ K r(z 0 ) 2π = 0 = ir m+ r m e imt ir e it dt = ir m+ 2π Nun unterscheiden wir zwei Fälle:. für m : K r(z 0 ) 0 2π 0 e i(m+)t dt ( cos(m + )t + i sin(m + )t ) dt. ( ) sin(m + )t (ζ z 0 ) m dζ = ir m+ cos(m + )t 2π i = 0, m + m für m = : K r(z 0 ) 2π (ζ z 0 ) dζ = i dt =. 0 Gemeinsam mit dem Satz über die Wegunabhängigkeit von Ringintegralen (Wiederholung auf Seite 9) kann dieses Ergebnis auf alle einfach geschlossenen, positiv orientierten Jordan-Kurven mit endlicher Länge erweitert werden. Also folgt für (7), dass das Integral über Γ Null für n k und für n = k ist, und somit gilt n= n= ( a n Γ ) (ζ z 0 ) n k dζ = a k. Nun setzt man A(ζ) = B(ζ) ein, dann folgt analog Γ A(ζ) (ζ z 0 ) k+ dζ = b k. Also gilt a k = b k für k Z und somit ist die Eindeutigkeit der Koeffizienten bewiesen. TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

7 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 7 2 Laurent-Entwicklung Ähnlich zur Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe, kann man Funktionen in eine Laurent-Reihe entwickeln. Für die Laurent-Reihenentwicklung muss die Funktion nun nicht mehr holomorph auf der ganzen Umgebung von einem Punkt z 0 sein, sondern es reicht, wenn f holomorph auf einem Ringgebiet ist. Satz Sei f holomorph auf dem Ringgebiet K r,r 2 (z 0 ).. Dann lässt sich f auf K r,r 2 (z 0 ) in eine Laurent-Reihe entwickeln mit f(z) = n= n= a n (z z 0 ) n 2. Ist Γ eine geschlossene, positiv orientierte Jordan-Kurve mit endlicher Länge, die ganz in K r,r 2 (z 0 ) verläuft und in ihrem Inneren z 0 enthält. Dann gilt für alle n Z a n = Γ dζ. (ζ z 0 ) n+ Abbildung 2: Γ K r,r 2 (z 0 ) Beweis: Da der Abstand von Γ zum Rand des Ringgebiets K r,r 2 (z 0 ) stets positiv ist, kann man das Ringgebiet verkleinern, sodass Γ ganz in K r, r 2 (z 0 ) mit r < r < r 2 < r 2 liegt. Von nun an bezeichne Γ den Kreis mit Radius r und Γ 2 den Kreis mit Radius r 2. Sei z K r, r 2 (z 0 ) ein fester Punkt. Nun teilen wir das verkleinerte Ringgebiet durch Hinzufügen zweier Strecken D und E (die nicht durch z gehen) in zwei geschlossene, positiv orientierte Jordan-Kurven γ und γ 2 mit endlicher Länge ein, sodass z im Inneren von γ liegt. Nach der Cauchy schen Integralformel gilt dann: TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

8 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 8 Abbildung 3: Γ K r, r 2 (z 0 ) γ (ζ z) dζ = f(z), γ 2 dζ = 0. (8) (ζ z) Abbildung 4: Jordan-Kurven γ und γ 2 Durch Addition der beiden Integrale in (8) folgt: f(z) + 0 = γ (ζ z) dζ + γ 2 dζ (9) (ζ z) Da D und E jeweils einmal positiv und einmal negativ durchlaufen werden, entfallen diese im nächsten Schritt und wir erhalten die Cauchy-Integralformel für Kreisringe: = Γ 2 = I 2 (z) I (z). (ζ z) dζ Γ (ζ z) dζ (0) Da Γ nun im mathematisch negativen Sinne durchlaufen wird, ergibt sich ein Vorzeichenwechsel vor dem Integral über Γ. TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

9 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 9 Für die Reihenentwicklung von f(z) betrachten wir zur besseren Übersicht I 2 (z) und I (z) getrennt voneinander.. Reihenentwicklung für I 2 (z): Für ζ Γ 2 (immernoch mit festem z) gilt ζ z = (ζ z 0 ) (z z 0 ) = ζ z 0 (rechter Faktor: Geometrische Reihe k=0 a 0q k = a 0 q ) = ζ z 0 z z 0 ζ z 0 () ( z z0 ζ z 0 ) n. (2) Diese Reihe konvergiert gleichmäßig, da für ζ Γ 2 z z 0 z z 0 = <. (3) ζ z 0 r 2 (2) setzen wir nun ein in den ersten Summanden I 2 (z) aus (0) und erhalten I 2 (z) = = = ( Γ 2 Γ 2 a n (z z 0 ) n. ζ z 0 ( ( z z0 ) n ) dζ ζ z 0 ) (ζ z 0 ) dζ (z z n+ 0 ) n (4) Wiederholung: Aus Analysis III wissen wir, dass für eine Funktion f(z), die auf einem Gebiet G holomorph ist, und für ein Ringgebiet, das durch zwei Jordan-Kurven ι und ι 2 eingeschlossen wird und ganz in G liegt, gilt: f(z)dz = ι ι 2 f(z)dz. TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

10 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 0 Also gilt: a n = Γ 2 dζ = (ζ z 0 ) n+ Γ dζ. (5) (ζ z 0 ) n+ 2. Reihenentwicklung für I (z): Für ζ Γ (immernoch mit festem z) gilt: ζ z = (ζ z 0 ) (z z 0 ) = z z 0 (rechter Faktor: Geometrische Reihe k=0 a 0q k = a 0 q ) = z z 0 Diese Reihe konvergiert gleichmäßig, da für ζ Γ ζ z 0 z z 0 (6) ( ζ z0 z z 0 ) n (7) ζ z 0 r = z z 0 z z 0 <. (8) (7) setzen wir nun ein in den zweiten Summanden I (z) aus (0) und erhalten I (z) = = =.0.2 = ( Γ Γ z z 0 a n (z z 0 ) n a n (z z 0 ) n. n= ( ( ζ z0 ) n ) dζ z z 0 ) (ζ z 0 ) dζ (z z n 0 ) n (9) Dabei ist analog zu (5) a n = Γ dζ = (ζ z 0 ) n+ Γ dζ. (20) (ζ z 0 ) n+ TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

11 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite Wir haben gezeigt, dass die Reihe R(z) = a n(z z 0 ) n kompakt auf dem Kreis {z : z z 0 < r 2 }, und die Reihe H(z) = n= a n(z z 0 ) n kompakt auf dem Kreis {z : z z 0 > r } konvergieren. Da man r und r 2 beliebig nah an r und r 2 wählen kann, konvergiert die Laurent-Reihe L(z) = n= a n(z z 0 ) n kompakt auf K r,r 2 (z 0 ). 3 Isolierte Singularitäten In diesem Kapitel sollen Funktionen betrachtet werden, die auf einer offenen Kreisscheibe in C, den Mittelpunkt z 0 ausgenommen, holomorph sind. Die Untersuchung und Klassifizierung dieser singulären Stellen ist unter anderem für den Residuensatz, aber auch für andere Anwendungen innerhalb der Funktionentheorie von Bedeutung und soll deshalb hier erläutert werden. Definition Sei 0 U R (z 0 ) = {z : 0 < z z 0 < R} (2) eine punktierte Umgebung eines Punktes z 0. Ist die Funktion f auf 0 U R (z 0 ) holomorph, so heißt z 0 eine isolierte Singularität von f. Bemerkung: Zunächst ist z 0 eine Definitionslücke an einer singulären Stelle. Wichtig ist, dass z 0 eine isolierte Definitionslücke ist, es existiert also keine Folge von singulären Punkten von f, die sich gegen z 0 häuft. Beispiele:. f(z) = sin(z) besitzt in z = 0 eine isolierte Singularität. z 2. f(z) = besitzt in z = ±i isolierte Singularitäten. ( + z 2 ) 3. f(z) = e z besitzt in z = eine isolierte Singularität. 4. Der komplexe Logarithmus log(z) ist in C = C\{z R z 0} nicht definiert. Somit ist der Punkt z = 0 keine isolierte Singularität von log(z). Definition Die Funktion f sei holomorph auf 0 U R (z 0 ). Weiter sei H(z) = a n (z z 0 ) n (22) n= TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

12 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 2 der Hauptteil der Laurent-Entwicklung von f um z 0. Der Punkt z 0 heißt dann. hebbare Singularität, wenn a n = 0 für n =, 2, Pol der Ordnung p N (oder p-facher Pol), wenn H(z) von der Form ist p H(z) = a n (z z 0 ) n mit a p 0; (23) n= 3. wesentliche Singularität, wenn H(z) unendlich viele Glieder enthält. Eine isolierte Singularität z 0 einer Funktion f ist also definiert durch die Form des Hauptteils der Laurent-Reihe von f um z Hebbare Singularitäten Beginnen wir mit dem einfachsten Fall einer isolierten Singularität, der hebbaren Singularität. Die Funktion f hat dann auf U 0 R (z 0 ) eine Laurent-Entwicklung der Form f(z) = a n (z z 0 ) n. Setzen wir also f(z 0 ) = a 0, so ist f auch an z 0 holomorph, das heißt wir haben die Singularität behoben. Der folgende Satz liefert eine einfache und hinreichende Bedingung, unter der eine Funktion f an z 0 eine hebbare Singularität hat. Satz 3.. (Riemann scher Hebbarkeitssatz). Es sei z 0 eine isolierte Singularität von f. Genau dann ist z 0 eine hebbare Singularität, wenn es eine Umgebung U 0 r (z 0 ) von z 0 gibt, so dass f auf U 0 r (z 0 ) beschränkt ist. Beweis: Nach Definition einer isolierten Singularität und Satz (Existenz der Laurent- Entwicklung) gilt für ein R > 0 f(z) = + n= Ist z 0 eine hebbare Singularität, so gilt sogar f(z) = + a n (z z 0 ) n (z 0 U R (z 0 )). (24) a n (z z 0 ) n (z 0 U R (z 0 )). (25) TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

13 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 3 Diese Potenzreihe konvergiert gleichmäßig auf der kompakten Umgebung 0 U r (z 0 ) von z 0 mit 0 < r < R gegen den Konvergenzradius r. Somit bestätigt sich die Behauptung, dass f für jede Umgebung 0 U r (z 0 ) von z 0 beschränkt ist. Auf 0 U R (z 0 ) mit 0 < r < R gelte f(z) M mit einer Konstanten M. Für jedes ρ mit 0 < ρ < r gilt dann n Z M 2π Γ ρ(z 0 ) a n = z z 0 n+ dz = M 2π Γ ρ(z 0 ) Γ ρ(z 0 ) f(z) (z z 0 ) n+ dz (26) M dz = ρn+ 2π ρ n+ 2πρ = M ρ n. Ist nun n < 0, so erhalten wir für ρ 0, dass a n = 0 gelten muss. 3.2 Pole Nun besitze die Funktion f an der Stelle z 0 einen p-fachen Pol. Aus der Form der Laurent-Reihe von f ergibt sich der folgende Satz Satz Die Funktion f hat an z 0 genau dann einen p-fachen Pol, wenn es eine an z 0 holomorphe Funktion g mit g(z 0 ) 0 gibt, so dass auf einer Umgebung von z 0 gilt f(z) = (z z 0 ) p g(z), (z z 0 ). (27) Beweis: Sei z 0 ein p-facher Pol von f und f(z) = n= p a n(z z 0 ) n die Laurent-Reihe von f auf 0 U R (z 0 ). Dann ist f(z) = a n (z z 0 ) n (28) n= p = (z z 0 ) p a n (z z 0 ) n+p n= p TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

14 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 4 = (z z 0 ) p a n p (z z 0 ) n = (z z 0 ) p g(z), } {{ } =:g(z) wobei g(z) holomorph auf ganz z C : z z 0 < R (weil Potenzreihe) und g(z 0 ) = a p 0 (wegen Definition eines p-fachen Pols). Nun sei f(z) = (z z 0 ) p g(z) mit einer auf U R (z 0 ) holomorphen Funktion g mit g(z 0 ) 0. Dann wissen wir, dass für g eine Potenzreihenentwicklung existiert mit g(z) = b n (z z 0 ) n mit b 0 0. (29) Setzen wir dies in f ein, so erhalten wir: f(z) = (z z 0 ) p = (z z 0 ) p = =: n= p n= p n= p b n+p (z z 0 ) n b n (z z 0 ) n (30) b n+p (z z 0 ) n+p a n (z z 0 ) n mit a p = b 0 0 (da g(z 0 ) 0). Laut Definition ist z 0 also ein p-facher Pol von f. Lässt man in (27) z gegen z 0 laufen, sieht man sofort dass f divergiert. Interessant ist aber auch, ob man aus der Divergenz von f darauf schließen kann, dass die isolierte Singularität ein Pol ist. Dies zeigt der nächste Satz. Satz Es sei z 0 eine isolierte Singularität von f. z 0 ist ein Pol lim z z0 f(z) =. (3) TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

15 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 5 Beweis: Folgt direkt aus Satz 3.2. (f(z) = (z z 0 ) p g(z) mit g(z 0 ) 0). Ist lim z z0 f(z) =, so gibt es eine punktierte Umgebung 0 U r (z 0 ) von z 0 auf der f holomorph ist und f(z) 0 gilt. Auf dieser Umgebung ist f es gilt: ebenfalls holomorph und lim = 0. (32) z z 0 f(z) Also lässt sich f durch den Wert 0 holomorph auf z 0 fortsetzen zu f = f, z U 0 r (z 0 ). 0, z = z 0 Die Funktion f ist nun auch holomorph an z 0 und hat dort eine Nullstelle der Ordnung p. Es existiert also eine Darstellung f = (z z 0) p }{{} NS der Ordnung p = (z z 0 ) p g(z), a n (z z 0 ) n (33) mit g holomorph auf einer Umgebung U r (z 0 ) um z 0 und g(z 0 ) 0. Damit erhalten wir: f(z) = (z z 0 ) p g(z) = (z z 0) p g(z), (34) wobei g(z) := g(z) holomorph auf einer Umgebung von z 0 und g(z 0 ) z 0 ist p-facher Pol. 3.3 Wesentliche Singularitäten Wie wir gerade gezeigt haben, besitzt eine Funktion f genau dann. eine hebbare Singularität an z 0, wenn f(z) beschränkt ist für z z 0 ; 2. einen Pol, wenn f(z) für z z 0. Hat f weder eine hebbare Singularität noch einen Pol an z 0, so besitzt f eine wesentliche Singularität an der Stelle z 0. Das heißt, dass f in der Nähe von z 0 weder beschränkt TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

16 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 6 sein kann, noch kann f(z) gelten. Der folgende Satz beschreibt das Verhalten von f, wenn die Funktion an z 0 weder eine hebbare Singularität, noch einen Pol hat: Satz 3.3. (Casorati-Weierstraß). Sei z 0 eine isolierte Singularität der Funktion f. Dann ist z 0 genau dann eine wesentliche Singularität der Funktion f, wenn f in jeder Umgebung von z 0 jedem Wert w C := C { } beliebig nahe kommt. D.h. lim z z0 = w. Wiederholung: Die Menge C := C { } ist die erweiterte komplexe Ebene und es gelten die Rechenregeln: z ± = (z C) z = (z C, z 0) z = 0 (z C) z 0 = (z C, z 0). Die Ausdrücke 0 0, und 0 bleiben weiterhin undefiniert. Beweis: Wäre z 0 eine hebbare Singularität, wäre f für z z 0 beschränkt und könnte also den Wert nicht erreichen. Also kann z 0 keine hebbare Singularität sein. Wäre z 0 ein Pol, so würde f für z z 0 gelten. Also kann z 0 kein Pol sein. Sei z 0 eine wesentliche Singularität. Betrachten wir zuerst den Fall, dass w = ist. Wir wissen, dass z 0 keine hebbare Singularität ist. Daraus folgt, dass f nicht beschränkt ist. Also muss es eine Folge z k mit z k z 0 geben, so dass f(z k ). Nun sei w C. Nehmen wir an, f käme w nicht beliebig nahe. Dann gibt es ein δ > 0 und ein ɛ > 0, sodass f(z) w ɛ z mit 0 < z z 0 < δ. Wir betrachten die Funktion g(z) = f(z) w. (35) TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

17 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 7 Diese Funktion ist holomorph in 0 < z z 0 < δ und g ist beschränkt durch g(z) ɛ. (36) z 0 ist also eine hebbare Singularität von g und wir können den Funktionenwert am Punkt z 0 so festsetzen, dass g sogar in 0 < δ holomorph ist. Nun gibt es zwei Möglichkeiten:. Ist dieser Wert g(z 0 ) 0, ist f wegen f(z) w = ebenfalls beschränkt und g(z) wir haben somit an z 0 eine hebbare Singularität. Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung. 2. Ist der Funktionswert g(z 0 ) eine p-fache Nullstelle, wissen wir, dass z 0 ein p-facher Pol von f(z) w = ist. Dies ist nach Voraussetzung ebenfalls nicht möglich. g(z) Daraus ergibt sich, dass f für z z 0 jedem Wert w C beliebig nahe kommt. Beispiel : Die Funktion f(z) = ist holomorph für z ±i. Für die Laurent-Entwicklung + z2 um z 0 = i erhalten wir F (z) = i 2 = i 2 z i z i i 2 (z i) (37) ( i ) n(z i) n 2 = i 2 z i ( i ) n+(z i) n. 2 n= Hier ist der Hauptteil H(z) = i 2, sodass die Funktion f(z) = z i + z an z 2 0 einen Pol der Ordnung hat. Beispiel 2: Sei f holomorph auf einer punktierten Umgebung 0 U R (z 0 ) und habe f an z 0 einen Pol der Ordnung p. Dann kann man durch Umformung zu einer Darstellung der Koeffizienten a n gelangen, die ohne das Integral (siehe (2)) auskommt: TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

18 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 8 f(z) = (z z 0 ) k f(z) = ( z j+k (z z0 ) k f(z) ) = n= k n= k a n (z z 0 ) n (z z 0 ) k (38) a n (z z 0 ) n+k z j+k, j k a n (z z 0 ) (n+k) (j+k) ((n + k)(n + k )...(n + k (j + k) + ) n=j Nun schränkt man ein auf z = z 0. Dann werden alle Summanden Null, außer bei n = j. Der j-summand bleibt also stehen: ( z j+k (z z0 ) k f(z) ) z z0 = a j (j + k)! a j = ( (j + k)! j+k z (z z0 ) k f(z) ) z z0. (39) TU Dortmund Datum: 7. Juni 203

19 Judith Krischke Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seite 9 Literatur [] Robert E. Greene / Steven G. Krantz: Function Theorie of One Complex Variable, John Wiley & Sons, Inc., New York, 997, S [2] Kurt Endl / Wolfgang Luh: Analysis III. Eine integrierte Darstellung, AULA- Verlag, Wiesbaden, 987, 6., überarbeitete Auflage, S TU Dortmund Datum: 7. Juni 203