Potenzreihenentwicklung im Reellen und Komplexen

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1 Potenzreihenentwicklung im Reellen und Komplexen Christoph Lassnig 26. Januar 20 Zusammenfassung Dieses Dokument bietet einen kleinen Überblick über Potenzreihen, sowie auf ihnen aufbauenden Sätzen und Denitionen.

2 Inhaltsverzeichnis Denition 3 2 Konvergenz 3 2. Konvergenzradius Gleichmäÿige Konvergenz Analytische Funktionen Taylorreihen 4 4 Laurentreihen 5 4. Denition und Konvergenz Wofür benötigt man Laurentreihen?

3 Denition Als Potenzreihen bezeichnet man unendliche Reihen der Form a n z n, a n C (.) Bemerkung: Im Folgenden bezeichnet γ immer eine positiv orientierte Jordankurve oder einfache Kurve. (Die Kurve besitzt keine Schnittpunkte mit sich selbst) 2 Konvergenz 2. Konvergenzradius Wir fragen uns jetzt, für welche z C diese Potenzreihe konvergiert. Der Konvergenzradius ρ ist deniert als ρ := (2.) n lim sup an Für alle z C mit z < ρ ist die Reihe absolut konvergent, für z > ρ divergent. Bei z = ρ lässt sich dagegen keine Aussage treen. (2.) wird auch als die Formel von Cauchy-Hadamard bezeichnet. Zur Berechnung des Konvergenzradius kann auch das Quotientenkriterium heranzgezogen werden: z < lim a n+ = ρ (2.2) a n Diese Überlegungen gelten auch für Potenzreihen der allgemeinen Form a n (z z 0 ) n, z C (2.3) wenn man z durch z z 0 ersetzt. Als Beispiel sei die geometrische Reihe angeführt: z n (2.4) Sie besitzt den Konvergenzradius ρ =, wie aus (2.) oder (2.2) gefolgert werden kann. Für z = divergiert die Reihe, denn die Glieder können als e inθ dargestellt werden, welche keine Nullfolge bilden. 2.2 Gleichmäÿige Konvergenz Satz: Eine Potenzreihe f(z) = a k z k (2.5) mit Konvergenzradius ρ konvergiert in jeder kompakten Kreisscheibe K r mit Radius r < ρ gleichmäÿig und absolut gegen f. Für z < ρ ist sie beliebig oft gliedweise dierenzierbar und kann auch gliedweise integriert werden. In beiden Fällen hat die Reihe wieder denselben Konvergenzradius. 3

4 Beweis für gleiche Konvergenzradii f (z) = ka k z k k= Integration analog k kak = k k }{{}, k k ak 2.3 Analytische Funktionen Denition f heiÿt analytisch in einem Gebiet D C, wenn f in jedem Punkt z 0 D in eine Potenzreihe a k (z z 0 ) k mit Konvergenzradius ρ > 0 entwickelbar ist. Aus dieser Denition folgt auch, dass f dann holomorph ist. (f ist in jedem Punkt von D dierenzierbar, erfüllt also die Cauchy-Riemannschen Dierentialgleichungen) Identitätssatz für Potenzreihen: für z < ρ, (ρ > 0) konvergieren und wenn für z < ρ gilt Wenn zwei Potenzreihen a k z k und b k z k a k z k = b k z k, dann ist a k = b k für k. (Beweis: setze z = 0, es folgt a 0 = b 0 - nach n-maligem dierenzieren erhält man so a n = b n ) 3 Taylorreihen Wir wählen eine in einer Umgebung des Ursprungs holomorphe Funktion f und einen Kreis K um den Ursprung, welcher ganz in dieser Umgebung liegt. Aus dem Cauchyschen Integralsatz folgt (für z innerhalb von K): f(z) = 2πi K dz f(z ) z z Hieraus erhält man folgende Darstellung der Funktion: f(z) = n f (k) (0) z k + zn+ k! 2πi K dz f (z ) (z z) (z ) n+ } {{ } R n(z) (3.) 4

5 Bildet man den Grenzwert n, dann kann man zeigen, dass R n (z) 0 gilt. Es gilt somit (allgemein): f (k) (z 0 ) f (z) = (z z 0 ) k (3.2) k! Hieraus folgt, wenn f holomorph ist, so ist f auch analytisch. Zusammengefasst mit dem vorhergehenden Resultat folgt: f holomorph f analytisch Bemerkung: Dies ist ein bemerkenswertes Resultat aus der komplexen Analysis, welches in der reellen Analysis nicht gilt! Man betrachte die Funktion f : R R deniert durch { 0, für x 0 f (x) = e x, für x > 0 f ist am Punkt x = 0 beliebig of dierenzierbar, jedoch stellt die Taylorreihe f (k) (0) x k = 0 k! x wegen f (k) (0) = 0 x = 0 dar. k die Funktion f in keiner noch so kleinen Umgebung des Punktes Weitere Beispiele für Taylorreihen. Exponentialfunktion: exp z = z k k! 2. Verallgemeinerung der Winkelfunktionen auf die komplexe Zahlenebene: cos z = ( ) k sin z = z 2k (2k)! ( ) k z 2k+ (2k+)! 4 Laurentreihen 4. Denition und Konvergenz Wir können die Diskussion auch noch auf Reihen der Form f (z) = a n (z z 0 ) n = a n (z z 0 ) n + a n (z z 0 ) n n= } {{ } f (z) n= } {{ } f 2 (z) (4.) ausweiten. Diese Reihe nennt man eine Laurentreihe. Hierbei gilt: f (z) ist konvergent für z z 0 < n lim sup an = ρ 5

6 f 2 (z) ist konvergent für z z 0 > lim sup n a n = ρ 2 Zusammengefasst ist f konvergent für ρ 2 < z z 0 < ρ, dem Kreisring um z 0. Es folgt der Satz: Jede in einem Kreisring ρ 2 < z z 0 < ρ holomorphe Funktion lässt sich in diesem Kreisring in eine Laurentreihe entwickeln. Für die Koezienten a n, n Z gilt: a n = dz f (z ) 2πi (z z 0 ) n+ (4.2) (Beweis über Cauchy'sche Integralformel) γ Beispiel Die Laurententwicklung von z 2 e z um z 0 = 0 ist recht einfach gefunden: ( z 2 e z = z 2 +!z + 2!z + ) 2 3!z... = z 2 + z 3! + 2! + 3!z + 4!z Die gefundene Laurentreihe ist konvergent für z > Wofür benötigt man Laurentreihen? Wenn f eine isolierte Singularität bei z = z 0 aufweist, so kann man f in einer Umgebung von z 0 (mit Ausnahme von z 0 selbst) durch eine Laurentreihe darstellen. Man bezeichnet dann a als das Residuum von f an der Stelle z 0. Durch einige Schlussfolgerungen kommt man zum wichtigen Residuensatz: Sei f holomorph bis auf endlich viele Singularitäten z,..., z n. Dann gilt (für positiv orientierte Jordankurven γ) γ f(z)dz = 2πi n Res (f, a k ) (4.3) Bemerkung: Der Residuensatz kann auch auf reelle Integrale angewendet werden, indem man einen Umweg über die komplexe Zahlenebene nimmt. k= 6

7 Literatur Neufeld, Helmut: Mathematische Methoden. URL: pdf [Stand: ] 7