Mathematik für Ingenieure III Kurs-Nr WS 2007/08

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1 Mathematik für Ingenieure III Kurs-Nr. 93 WS 7/8 Kurseinheit 7: Lösungsvorschläge zu den Einsendeaufgaben Aufgabe : Es sollen die Singularitäten deren Art der folgenden Funktionen bestimmt werden. a fz cos z. sin z Der Zähler besitzt die Nullstellen z πk, k Z. Wegen cos z sin z sin πk, k Z, cos z cos z cos πk, k Z, handelt es sich um Nullstellen. Ordnung. Der Nenner besitzt die Nullstellen z πk, k Z. Sie sind aufgr von sin z cos z cos πk, k Z einfach. Daraus folgt mit 7..4b, dass f in z k π, k Z, einen Pol. Ordnung besitzt, während sich für z kπ, k Z, aus 7..3 ergibt, dass f dort eine hebbare Singularität besitzt. b fz Es gilt fz z zπ e z cos z. z z π e z cos z. Der Zähler besitzt die Nullstellen z z π. Beide sind von. Ordnung. Für den Nenner liegt bei z kπi, k Z, eine Nullstelle. Ordnung für z π + kπ, k Z, eine Nullstelle. Ordnung vor. Daraus folgt mit b, dass in z z π jeweils eine hebbare Singularität, in z kπi, k Z \ {} ein Pol. Ordnung in z π + kπ, k Z \ {}, ein Pol. Ordnung vorliegt. c 8 FernUniversität in Hagen MING III

2 Lösungsvorschläge MING III LE 7 / c fx sin z z e z 3. Der Zähler besitzt in z wegen sowie sin z z cos z cos sin z z sin z sin sin z z cos z cos eine Nullstelle 3. Ordnung. Die Nullstellen des Nenners sind z kπi. Sie sind von 3. Ordnung. Damit ergibt sich aus b: f besitzt in z eine hebbare Singularität in z kπi, k Z \ {}, einen Pol 3. Ordnung. d fz exp. z 3 Der Definitionsbereich von f ist C \ {}. Wir benutzen die Taylorentwicklung von exp um z erhalten, indem wir z 3 einsetzen fz n n n n! z 3 n! z3n. Nach 7.. ist z weder hebbare Singularität nach Polstelle. Es liegt also eine wesentliche Singularität vor. Aufgabe : Wir bestimmen die iduen der folgenden Funktionen jeweils an der Stelle z. c a fz z z, n, c C. n Offensichtlich hat f schon die Form einer Laurent-Reihe um z liefert c, falls n, fz, falls n.

3 Lösungsvorschläge MING III LE 7 / 3 b fz z sin πz, z. Wegen sowie sin πz sin πz π cos πz π cos πz π liegt, da z ist, ein Pol. Ordnung vor, vgl Für das iduum berechnet man wiederum mit Hilfe von 7.. f π cos π π. c c fz exp z z n, n, c C. Wir benutzen die Taylorentwicklung von exp um z erhalten, indem wir einsetzen fz k k k! c k z z nk k! c k z z nk. Gemäß 7..8 ergibt sich c, falls n, fz, falls n. c z z n d fz z π cos 3 z, z π. Wegen sowie cos z cos z sin z sin π besitzt cos z in z π eine einfache Nullstelle. Damit ist z π eine dreifache Nullstelle der Funktion cos 3 z. Weiterhin ist z π eine einfache Nullstelle des Zählers von f, so dass mit

4 Lösungsvorschläge MING III LE 7 / b folgt, dass f in z π man mit 7..9 π f Für die Funktion gz z π cos z lim z π lim z π 6 lim z π eine Polstelle. Ordnung besitzt. Für das iduum berechnet z π cos 3 z 3 3 z π cos 3 z + 3 z π 3 cos z sin z z π cos z cos 4 z cos 6 z cos z + z π sin z. cos z ist z π eine einfache Nullstelle des Zählers des Nenners. Für cos z + z π sin z hz cos z liegt wegen cos z + z π sin z sin z + sin z + z π cos z z π cos z, cos z + z π sin z cos z z π sin z, cos z + z π sin z sin z z π cos z im Zähler eine dreifache Nullstelle vor. Daraus folgt, dass gz hz in z π jeweils eine hebbare Singularität besitzen, für die Grenzwerte gilt lim gz π lim hz. π z z Dabei ergibt sich der Grenzwert von gz aus der de l Hospitalschen Regel. Insgesamt erhält man damit π f 6 lim z π 6. gz lim z π hz

5 Lösungsvorschläge MING III LE 7 / 5 Aufgabe 3: Wir berechnen die folgenden Integrale mit Hilfe des iduensatzes 7.. e z z a z 3 z dz. 3 Die Funktion fz ez z z 3 z besitzt isolierte Singularitäten in z z. Wegen sowie e z z e z e z e z z e z e z erhält man unter weiterer Berücksichtigung von e z z, dass f in z z jeweils einen Pol. Ordnung besitzt. Es gilt z zfz z 3 z n! zn also, vgl. 7..9, z n n f lim z zfz 4, wiederum mit 7..9 n! zn f lim z e z z z 3 e 3. 8 Aus 7.. folgt damit abschließend e z z dz πi f + f z 3 z 3 πi 4 + e 3 8 πi 4 e 5.

6 Lösungsvorschläge MING III LE 7 / 6 b 6 tan z dz. Wegen 3 π < 6 < π sind die isolierten Singularitäten von fz tan z sin z cos z in 6 gegeben durch z 3 π, z π, z 3 π z 4 3 π. Zur Berechnung der iduen kann man aufgr von sinz j, cos z sin z sinz j, j,..., anwenden. Man erhält fz j sin z j sin z j, j,..., 4. Aus 7.. folgt damit abschließend c 6 tan z dz πi 3 tan z dz. 4 fz j j 8πi. Wegen π < 3 < π, sind die isolierten Singularitäten von fz tan z sin z cos z cos z cos z z π z π. Es gilt für j, fz j cos z zj cos z. zj Die Funktion gz cos z zj

7 Lösungsvorschläge MING III LE 7 / 7 besitzt an den Stellen z j, j, jeweils einen Pol. Ordnung. Mit 7..9 erhält man z zj gz j lim z zj cos z Wegen sowie lim z zj z z j cos z + z z j sin z cos z cos 4 z z z j cos zcos z + z z j sin z lim z zj cos 4 z z z j cos z + z z j sin z lim lim. z z j cos z z z j cos z cos z + z z j sin z sin z + sin z + z z j cos z z z j cos z cos z + z z j sin z cos z z z j sin z cos z + z z j sin z sin z z z j cos z besitzt der Zähler der Funktion h j z cos z + z z j sin z cos z in z j eine dreifache Nullstelle, also liegt in z j eine hebbare Singularität von h j vor mit lim h j z, j,. z z j Die Funktion h j z z z j cos z besitzt in z j lim h j z, z z j man erhält insgesamt 3 tan z dz. eine hebbare Singularität, insbesondere existiert deshalb

8 Lösungsvorschläge MING III LE 7 / 8 Aufgabe 4: Es soll das Anfangswertproblem x x + 5x, x 4x + x mit x x 7 mit Hilfe des iduensatzes gelöst werden. Wir benutzen dazu die Notation aus 7.. Damit gilt A 5 c, c T 7, 7. 4 Wir berechnen Dz det z 5 4 z z z z z D z det zz, z 7z z + 3, D z det z z z 6. Es ergibt sich damit unter Benutzung von 7..9 die Lösung 7z + 3 x t zz ezt 7z zz ezt 7z + 3 7z + 3 lim z z ezt + lim z z et e zt

9 Lösungsvorschläge MING III LE 7 / 9 7z 6 x t zz ezt 7z 6 + zz ezt 7z 6 7z 6 lim z z ezt + lim z z e zt et. Es gilt x x 7, x + 5x et et 4 4 et 35 4 x t et 4x + x e t e t 4e t 7 et x t. Aufgabe 5: Es sollen die folgenden Integrale berechnet werden. a x x + x 4 + x + 9 dx. Zunächst gilt P x Qx x x + x 4 + x + 9 x + i 3 x i 3 x + 9x + Damit sind die Voraussetzungen von 7..6 erfüllt, man erhält unter Benutzung von 7..9 x x + z z + dx πi z z + x 4 + x + 9 z + 9z + + i z + 9z + 3i z z + πi lim z i z + 9z + i + lim z 3i. z z + z + 3iz +

10 Lösungsvorschläge MING III LE 7 / i 8 3i πi + 6i 48i 3i i π 48 π 3. b π dt a + cos t, a >. Zunächst stellt man fest, dass π dt a + cos t π dt a + cos t gilt. Das letzte Integral ist vom Typ Setzt man cos t eit + e it so erhält man π dt a + cos t, π i i Für den Integranden gilt mit fz dt a + e it + e it π z z z z ie it ae it + e it + dt z + az + dt. z a + a z a a. Aus a > a > folgt z >, aus a + a > a > a a > a a > a a + a >

11 Lösungsvorschläge MING III LE 7 / sowie a + a < a + a ergibt sich z <. Mit Hilfe des iduensatzes erhält man c π dt a + cos t x sin x + x 4 dx. π z z z z π lim z z z z π z z π a. Zunächst stellt man fest, dass aufgr von P x Qx x + x 4 die Voraussetzungen von 7.. erfüllt sind. Es gilt damit x sin x dx Im πi zeiz + x4 + z 4 Aus 7.. folgt mit α zeiz + z 4 e i π 4 e iα+iα e i π 4 4 cos π + i sin π 4i e α cos α + i sin α z + zeiz + z 4 3. i e 4 π zeiz + z 4 3 i e 4 π e i α+iα 4 cos 3 π + i sin 3 π 4i e α cos α i sin α.

12 Lösungsvorschläge MING III LE 7 / Daraus folgt x sin x dx Im + x4 πi πe α sin α πe sin. 4i e α i sin α d cos x x dx. Zunächst stellt man fest, dass aufgr von P x Qx x die Voraussetzungen von 7.. erfüllt sind. Es gilt damit, wenn man außerdem noch beachtet, dass der Integrand eine gerade Funktion ist die Nullstellen des Nenners gerade die Punkte + i, i, + i, i sind, cos x x dx Re πi cos x x dx e iz e iz z i z i Aus 7.. folgt e iz z i e i+i 4 + i 3 4e cos + i sin i + i i cos + i sin i 6e i cos + sin + isin cos 6e

13 Lösungsvorschläge MING III LE 7 / 3 e iz z i e i +i 4 + i 3 Damit ergibt sich 4e cos i sin i + i i cos i sin + i 6e i 6e cos + sin isin cos. cos x x dx π Re cos + sin 8e π 8e cos + sin.