Sommersemester (1,1) (b) f(x,y,z) = cos(y 2 )+ze xy, P = (0,0,π), v = 1. (1,1,2) (c) f(x,y,z) = ln(xyze x ), P = (1,1,1), v = 1

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1 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 3. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 76. Ableitungen Bestimmen Sie den Gradienten f und die Richtungsableitung v f(p)in den folgenden Fällen: (a) f(,) =, P = (3,4), v = (,) (b) f(,,z) = cos( )ze, P = (,,π), v = 6 (,,) (c) f(,,z) = ln(ze ), P = (,,), v = 3 (,,). Bestimmen Sie außerdem in (b) alle zweiten partiellen Ableitungen. (a) ( ) gradf =, (gradf)(3,4) = ( 6 8 ), ( v f)(3,4) = ( 6 8 ) ( ) =. (b) gradf = ( v f)(,,π) = ze sin( )ze e 6, (gradf)(,,π) = = /3., Die zweiten partiellen Ableitungen sind f = ze, f = sin( )4 cos( ) ze, f zz = sowie (unter Verwendung des Satz von Schwarz) f = f = ze ze, f z = f z = e, f z = f z = e. (c) Es ist ln(ze ) = lnln lnz und daher gradf = ( v f)(,,) = z, (gradf)(,,) = 3 =., Seite 49

2 3. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 77. Funktionen in Veränderlichen Finden Sie Funktionen f j : R R für j {,,3,4} mit folgenden Eigenschaften: (a) f (,) =, f (,5) = 3 und f (,) = 7 (b) Die Niveaumenge von f zum Niveau ist { (,) R = }, die Niveaumenge von f zum Niveau 4 ist { (,) R = } und f ist stetig. (c) f 3 ist an jeder Stelle (, ) R {(,)} stetig und an der Stelle (,) unstetig. (d) Die Ableitung von f 4 an der Stelle (,) in Richtung (,) ist 4 und die Ableitung von f 4 an der Stelle (,) in Richtung (,) ist 5. (a) Die Funktion f : R R: (,) erfüllt offenbar die geforderten Eigenschaften. (b) Die Funktion für (,) = (,) 3 für (,) = (,5) 7 für (,) = (,) 7 sonst f : R R: (,) ( ) erfüllt die geforderten Eigenschaften, denn zum Niveau ergibt sich und zum Niveau 4 ergibt sich (c) Die Funktion f (,) = ( ) = = f (,) = 4 ( ) = 4 =. { für (,) = (,) f 3 : R R: (,) 7 sonst ist für (,) (,) stetig. An der Stelle (,) ist sie nicht stetig, denn für die Folge (a n ) n N mit a n = (,) gilt lim a n n = (,) und ( ) lim f (a n) = lim f n, = 7 f(,). Seite 5

3 3. Gruppenübung Höhere Mathematik (d) Wir wollen eine eine stetig differenzierbare Funktion f 4 konstruieren. Deren Gradienten an der Stelle (,) bezeichnen wir mit (a,b). Die beiden Bedingungen ergeben dann ( ) ( ) ( ) ( ) a a = 4 und = 5. b b Dieses lineare Gleichungssstem hat die Lösung a = 9, b =. Wir suchen ( 9 ) also eine Funktion f 4, die an der Stelle (,) den Gradienten hat. Die Funktion hat diese Eigenschaft. f 4 : R R: (,) 9 Aufgabe H 78. Nullstellenmenge skizzieren (a) Fertigen Sie jeweils eine Skizze der Nullstellenmenge und Vorzeichenverteilung von für α {,,,4} an. f α : R R: (,) ( )( α ) (b) Begründen Sie mit Hilfe der Skizze und Satz 4..8, dass f mindestens 3 lokale Etremstellen hat. (a) Die Funktion f ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. f(,) = (() ( ) )( α)( α) Die Nullstellenmenge besteht also aus der -Achse, dem Kreis um (,) mit Radius und den Geraden = ± α für α > bzw. der -Achse für α =. An jedem dieser Teile findet ein Vorzeichenwechsel statt mit Ausnahme der -Achse im Fall α = (Doppelgerade bzw. doppelte Nullstelle ). Seite 5

4 3. Gruppenübung Höhere Mathematik α = α = Skizzen: α = α = 4 (b) Der Kreis, die -Achse und die erste Winkelhalbierende definieren drei voneinander getrennte kompakte Mengen. Nach Satz 4..8 muss auf jeder dieser Mengen das Maimum und Minimum angenommen werden. Der Rand gehört aber jeweils zur Nullstellenmenge also muss im Inneren jeweils noch ein Etremum liegen (je nach Vorzeichen ein Maimum bei oder ein Minimum bei - ). Aufgabe H 79. Stetigkeit und Folgen Gegeben sei die Funktion f: R R: (,) 3 6 für (,) (,) für (,) = (,) (a) Skizzieren Sie die Niveaumengen von f zu den Niveaus und. (b) Berechnen Sie für die Folge (a n ) n N mit a n = (, n n) die Grenzwerte lim a 3 n und lim f(a n).. Seite 5

5 3. Gruppenübung Höhere Mathematik (c) Finden Sie eine Folge (b n ) n N mit lim b n = (,) sowie lim f(b n ) =. (d) Finden Sie eine Folge (c n ) n N mit lim c n = (,) so, dass (f(c n )) n N divergiert. (e) Ist f stetig im Punkt (, )? (a) Wir berechnen die Niveaumenge zum Niveau : 3 6 = 3 = = oder = Die Niveaumenge besteht also aus den beiden Koordinatenachsen Wir berechnen die Niveaumenge zum Niveau : 3 6 = 3 = 6 = 3 6 = ( 3 ) = 3 Seite 53

6 3. Gruppenübung Höhere Mathematik (b) ( ) lim a n = lim n3, lim = (,) n ( 3 n) lim f(a n) = lim ( n 3 ) ( n) 6 = n 3 (c) Für die Folge (b n ) n N mit b n = (,) gilt lim b n n = (,) sowie f(b n ) =. { an für n gerade (d) Für die Folge (c n ) n N mit c n = gilt lim c b n für n ungerade n = (,) und f(c n ) = { für n gerade für n ungerade. Daher hat die Folge (f(c n )) n N zwei Häufungspunkte und ist divergent. (e) Die Funktion nach 4..7 ist nicht stetig an der Stelle (,), da die gegen (,) konvergente Folge (c n ) n N aus dem vorhergehenden Aufgabenteil divergiert. Seite 54