Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker

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1 Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker Übungsblatt Musterlösung Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Wintersemester 06/7 Aufgabe (Definitionsbereiche) Bestimme den maximalen Definitionsbereich für a) ξ : : x ex + x x b) θ : : x ex +x + x +x x +x c) χ : : x cos(x) a) Wegen der Wurzel im Zähler kann die Funktion maximal auf + 0 werden. Somit finden wir = + 0 \ {} definiert sein. Weiterhin darf der Nenner nicht 0 b) Zuerst müssen wir wieder beachten, dass unter der Wurzel nichts negatives steht. Wir wissen bereits, dass die Nullstellen der Funktion g(x) = x + x die Stellen x = und x = sind (vgl. Aufgabe 7a) ). Wegen des positiven Vorzeichens vor dem x ist diese Parabel nach oben geöffnet. Somit gilt g(x) 0 für x und x. Dies sind aber genau die Nullstellen des Nenners, der ja nicht 0 werden darf. Wir erhalten nun für den Definitionsbereich: = {x x < x > } = (, ) (, ) c) Hier ist nur zu beachten, dass der Nenner nicht 0 wird. Das ist genau dann der Fall, wenn cos(x) = 0 gilt. Ferner gilt für cos(x) 0: cos(x) = 0 = cos(x) cos(x) = tan(x) = Diese Gleichung ist erfüllt für x = π, x = 5π, x = 9π (k+)π,..., beziehungsweise x = mit k. Der Definitionsbereich ergibt sich somit zu = \ k (k+)π

2 Aufgabe (Monotonie II) Finde jeweils eine Funktion f, die auf dem von dir gewählten Intervall I: a) monoton fallend b) streng monoton fallend c) monoton fallend und zugleich monoton steigend d) streng monoton fallend und zugleich streng monoton steigend ist. a) f (x) = x ist auf I = [0, ] monoton fallend. b) f (x) = x ist auf I = [0, ] sogar streng monoton fallend. c) Jede konstante Funktion f (x) = c, c ist monoton fallend und zugleich monoton steigend. d) Es gibt keine Funktion, die streng monoton fallend und zugleich streng monoton steigend ist! Aufgabe (Polynome) Klassifiziere alle Polynome, die achsensymmetrisch zur y-achse, bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Mache dir dazu erst wieder die Bedingung klar, die jeweils erfüllt sein muss, und prüfe diese für ein allgemeines Polynom p(x) = a 0 + a x + a x a n x n nach. Die Bedingung für Achsensymmetrie bzgl. der y-achse lautet p(x) = p( x). Für unser allgemeines Polynom folgt dann p( x) = a 0 + a ( x) + a ( x) a n ( x) n = a 0 a x + a x a n ( ) n x n Das Vorzeichen wird also bei allen ungeraden Potenzen von x umgekehrt und bleibt bei allen geraden erhalten. Hat das Polynom nun keine ungeraden Potenzen(d.h. alle Koeffizienten mit ungeradem Index sind 0), bleiben alle Vorzeichen erhalten und es gilt genau p(x) = p( x). Es liegt also Achsensymmetrie vor, wenn alle Potenzen gerade sind. Die Bedingung für die Punktsymmetrie lautet p(x) = p( x). Bei unserem allgemeinen Polynom müssen nun alle Koeffizienten mit geradem Exponent 0 werden. Ein Polynom ist also punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn es nur ungerade Exponenten enthält. Aufgabe (Ableitungsregeln) Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen f i : mit i {,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. a) f (x) = e x 5 b) f (y) = sin c) f (y) = cos(x y) x + x d) f (x) = x + e) f 5 (x) = 7x 5x + x f) f 6 (x) = x e x g) f 7 (x ) = sin (x ) + cos (x ) 7 h) f 8 (t) = ln(x t )

3 i) f 9 (ρ) = cos(yρ) ρ 5 +ρ j) f 0 (Φ) = tan ϕ +ϕ ϕ+ ϕ a) f (x) = ex 5 b) f (y) = 0 c) f (y) = x sin(x y) d) f (x) = x x = x + x + e) f 5 (x) = x 0x + x f) f 6 (x) = e x + x e x ( ) = e x ( x) g) f 7 (x) = ( 7 ) = () = 0 h) f x t 8 (t) = = x t t i) f ( y sin(yρ)) 9 (ρ) = j) f 0 (Φ) = 0 ρ 5 +ρ cos(yρ) ρ 5 +ρ 5 ρ 5 + Aufgabe 5 (Polstellen und Extrema) Bestimme Polstellen und Extrema der folgenden Funktionen, überlege dir, wie sie sich im Unendlichen verhalten und skizziere sie dann: a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) = x d) f (x) = x + e) f 5 (x) = x

4 a) f (x) = hat keine Polstellen, die Extrema liegen bei x =..., π, 5π, 9π,... (Maxima) und bei x =..., π, π, 7π,... (Minima). b) f (x) = hat Polstellen bei x =..., π, 0, π,... und Extrema bei x =..., π, 5π, 9π x =..., π, π, 7π,... (Maxima). c) f (x) = hat eine Polstelle bei x = 0 und keine Extrema. x d) f (x) = hat keine Polstellen und ein Maximum bei x = 0. x + e) f 5 (x) = hat zwei Polstellen bei x = und x = und ein Maximum bei x = 0. x,... (Minima), bzw. Aufgabe 6 (Einführung in die Mikroökonomie ) Die Mikroökonomie, ein Teilgebiet der Volkswirtschaftslehre, befasst sich mit der Analyse des wirtschaftlichen Verhaltens von Haushalten und Unternehmen. Befassen wir uns zunächst mit den Haushalten. Haushalte sind Wirtschaftseinheiten, die eine Nutzenmaximierung anstreben. Gemeint kann damit jeder einzelne von uns sein. Angenommen, Nutzen U sei für uns ein Maß der Bedürfnisbefriedigung durch die Güter x und x, so könnten wir ihn mathematisch durch folgende Cobb-Douglas-Funktion repräsentieren. Dabei sei α = eine Gewichtung auf Grund persönlicher Präferenzen. U(x, x ) = x α x α = x x a) Zeige, dass sich unsere Nutzenfunktion durch gezielte mathematische Operation (monotone Transformation) auch wie folgt darstellen lässt: V (x, x ) = x x. Anmerkung: Diese Nutzenfunktion spiegelt unsere eigentliche Nutzenfunktion indirekt wider und erleichtert die weitere Rechnung. Unser Budget, welches wir bereit sind auszugeben, um unseren Nutzen zu erhöhen sei m. Da wir uns nicht verschulden dürfen, soll das Budget stets größer als unsere Ausgaben sein. Wenn und p die Preise für Gut und sind, so entsteht die folgende Budgetrestriktion: x + p x m.

5 b) Berechne nun ausgehend von der indirekten Nutzenfunktion V (x, x ) und der Budgetrestriktion die nutzenmaximierenden Mengen x und x der Güter. Hinweis: Gehe davon aus, dass wir unser Budget zur Nutzenmaximierung komplett ausgeben, die Budgetrestriktion also zu einer Gleichung wird. Löse die Budgetgleichung zunächst nach einem der Güter auf und setze in die Nutzenfunktion ein. Zur Lösung des Maximierungsproblems muss partielle Differentiation angewandt werden. a) mit V = f (U) = U f (U(x, x )) = x x = x x b) Budgetrestriktion: x + p x m Umformung zur Nebenbedingung: x = m p x Einsetzen in Nutzenfunktion: V (x ) = m p x x = m x p x Bedingung erster Ordnung: V x = m x p x! = 0 x m p x = 0 Mögliche Extremstellen: x = 0; x = m p Bedingung zweiter Ordnung (Maximum?): V = m x 6 p! x < 0 x > m p Bedingung zweiter Ordnung nur für x erfüllt! Berechnung der optimalen Menge von Gut durch Einsetzen in die Nebenbedingung: x = m p x = m m = m = m 5