Brückenkurs Mathematik

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Hennie Fürst
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1 Technische Universität Hamburg Harburg WiSe 016/17 Kai Rothe Brückenkurs Mathematik Beispielaufgaben 5 Aufgabe 1: Für folgende Funktionen gebe man den Definitionsbereich D und Wertebereich W an und berechne, falls dies möglich, die zugehörige Umkehrfunktion mit Definitions- und Wertebereich: a) f : IR IR, x = 5x 5, b) g :], ] IR, x = x + 4x, c) h : [ 4, 0] IR, x = x + 4x. Lösung: a) f : IR IR, x = 5x 5, Definitionsbereich D = IR und Wertebereich W = IR x - f(x) = 5x 5 und Winkelhalbierende

2 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, WiSe 016/17, Beispielaufgaben 5 Durch Spiegelung von f an der Winkelhalbierenden ergibt sich der Funktionsgraph der Umkehrfunktion. x Rechnerisch ergibt sich f 1 auflöst: = 5x f 1 () und Winkelhalbierende indem man = 5x 5 nach x 5 x = ( + 5) 5 Definitionsbereich von f 1 W = IR und Wertebereich von f 1 D = IR. b) g :], ] IR, x = x + 4x Definitionsbereich D =], ] Wertebereich W = [ 4, [. = f 1 () x g(x) = x + 4x und Winkelhalbierende

3 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, WiSe 016/17, Beispielaufgaben 5 3 Durch Spiegelung von g an der Winkelhalbierenden ergibt sich der Funktionsgraph der Umkehrfunktion x g 1 () und Winkelhalbierende Rechnerisch ergibt sich g 1 auflöst (beachte x ) : indem man = x + 4x nach x = x + 4x = (x + ) 4 x + = x = + 4 = g 1 (). Definitionsbereich von g 1 W = [ 4, [ und Wertebereich von g 1 D =], ]. c) h : [ 4, 0] IR, x = x + 4x Definitionsbereich D = [ 4, 0] und Wertebereich W = [ 4, 0] x - -3 h(x) = x + 4x und Winkelhalbierende

4 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, WiSe 016/17, Beispielaufgaben 5 4 Durch Spiegelung von h an der Winkelhalbierenden ergibt sich die folgende Kurve, die keine Funktion ist, denn für beispielsweise = 3 gibt es die beiden Zuweisungsmöglichkeiten x 1 = 3 und x = x Spiegelbild von h und Winkelhalbierende Eindeutiges Auflösen von = x + 4x nach x scheitert an den zwei Möglichkeiten des Wurzelziehens: = x + 4x = (x + ) 4 x = ± + 4.

5 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, WiSe 016/17, Beispielaufgaben 5 5 Aufgabe : a) Mit Hilfe der Polnomdivision zerlege man die rationale Funktion f(x) = x5 + x 4 5x x 15x + 9 x 3 + x + 5 in einen polnomialen und einen echt gebrochen rationalen Anteil. b) Man kürze in der echt gebrochen rationalen Funktion Lösung: g(x) = soviele Linearfaktoren wie möglich. x 3 + x 5x 6 x 4 + x 3 7x 8x + 1 a) (x 5 + x 4 5x x 15x + 9) : (x 3 + x + 5) = x 3x x + 4 x 3 + x + 5 (x 5 +4x 4 +10x ) 3x 4 5x 3 +x 15x +9 (3x 4 6x 3 15x) x 3 +x +9 (x 3 +x +5) x +4 b) Für das Zählerpolnom probieren wir über den Vietaschen Wurzelsatz, ob die Teiler der Konstanten 6 ±1, ±, ±3 Nullstellen sind. x 1 = stellt sich als Zählernullstelle heraus: (x 3 + x 5x 6) : (x ) = x + 4x + 3 (x 3 x ) 4x 5x 6 (4x 8x) 3x 6 (3x 6) 0

6 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, WiSe 016/17, Beispielaufgaben 5 6 Die Linearfaktorzerlegung des Zählers lautet damit insgesamt x 3 + x 5x 6 = (x )(x + 4x + 3) = (x )(x + 3)(x + 1). Für das Nennerpolnom probieren wir, ob die Zählernullstellen auch Nennernullstellen sind. x 1 = stellt sich auch als Nennernullstelle heraus: (x 4 + x 3 7x 8x + 1) : (x ) = x 3 + 4x + x 6 (x 4 x 3 ) 4x 3 7x 8x +1 (4x 3 8x ) x 8x +1 (x x) 6x +1 ( 6x +1) Die Zerlegung des Nenners lautet damit bisher x 4 + x 3 7x 8x + 1 = (x )(x 3 + 4x + x 6). Für p(x) = x 3 + 4x + x 6 probieren wir, ob weitere Zählernullstellen auch Nullstellen von p(x) sind. x = 3 stellt sich auch als Nullstelle von p(x) heraus: (x 3 + 4x + x 6) : (x + 3) = x + x (x 3 +3x ) x +x 6 (x +3x) 0 x 6 ( x 6) Die Linearfaktorzerlegung des Nenners lautet damit insgesamt x 4 +x 3 7x 8x+1 = (x )(x+3)(x +x ) = (x )(x+3)(x+)(x 1). Man erhält damit g(x) in gekürzter Form x 3 + x 5x 6 x 4 + x 3 7x 8x + 1 = (x )(x + 3)(x + 1) (x )(x + 3)(x + )(x 1) = x + 1 (x + )(x 1). 0

7 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, WiSe 016/17, Beispielaufgaben 5 7 Aufgabe 3: Für die durch f(x) = x 4 x 3x + definierte Funktion bestimme man Definitionsbereich, Nullstellen, Pole, Asmptote und skizziere den Funktionsgraphen. Lösung: Durch Linearfaktorzerlegung des Zählers und Nenners erhält man f(x) = x 4 x 3x + = (x + )(x ) (x 1)(x ). a) Für den Definitionsbereich werden aus IR die Nennernullstellen x 0 = 1, x 1 = herausgenommen: D = IR\{1, }. b) Die Nullstellen von f ergeben sich nach Kürzen, also aus der stetig ergänzten Funktion: Hier erhält man x =. f(x) = x + x 1 = 0 x + = 0. c) Die Nennernullstelle x 1 = stellt sich nach Kürzen als hebbare Definitionslücke heraus. Die Nennernullstelle x 0 = 1 ist Pol 1. Ordnung (mit Vorzeichenwechsel). d) Mit Polnomdivision erhält man f(x) = (x + ) : (x 1) = x 1 (x 1) 3 Für x ± verhält sich f und damit auch f also asmptotisch wie p(x) = 1.

8 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, WiSe 016/17, Beispielaufgaben 5 8 e) x - -6 f(x) = x 4 x 3x +

9 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, WiSe 016/17, Beispielaufgaben 5 9 Aufgabe 4: a) Für folgende Funktionen berechne man die Nullstellen und Extremwerte, untersuche sie auf Smmetrie und skizziere die Funktionsgraphen: ( (i) f(x) = 4 cos x + π ), (ii) g(x) = 3 sin (x 1). b) Man weise die Gültigkeit der folgenden Gleichung nach (i) sin(3x) = 3 sin(x) 4 sin 3 (x), (ii) cos(x) = 1 tan (x) 1 + tan (x). Hinweis: Es gelten die Additionstheoreme sin (x) + cos (x) = 1, sin(x + ) = sin(x) cos() + sin() cos(x), cos(x + ) = cos(x) cos() sin(x) sin(), Lösung: ( a) (i) 4 cos x + π ) ( ( π ) ( π )) = 4 cos(x) cos sin(x) sin = 4 sin(x) x - f(x) = 4 sin(x) ist ungerade

10 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, WiSe 016/17, Beispielaufgaben 5 10 (ii) Nullstellen: x k = kπ, k Z Maxima: x k = kπ π/ mit f( x k ) = 4 Minima: ˆx k = kπ + π/ mit f(ˆx k ) = x g(x) = 3 sin (x 1) ist weder gerade noch ungerade Nullstellen: x 1 = kπ x k = kπ + 1, k Z Maxima: x 1 = kπ + π/ x k = kπ + π/ + 1 mit g( x k ) = 3 Minima: x 1 = kπ π/ ˆx k = kπ π/ + 1 mit f(ˆx k ) = 3 b) (i) sin(3x) = sin(x) cos(x) + sin(x) cos(x) = sin(x)(cos(x) cos(x) sin(x) sin(x)) +(sin(x) cos(x) + sin(x) cos(x)) cos(x) = sin(x)(3 cos (x) sin (x)) = sin(x)(3 4 sin (x)) = 3 sin(x) 4 sin 3 (x), (ii) cos(x) = cos (x) sin (x) = cos (x) sin (x) cos (x) + sin (x) = 1 tan (x) 1 + tan (x).

11 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, WiSe 016/17, Beispielaufgaben 5 11 Aufgabe 5: a) Man vereinfache die Terme (i) e ln(x3 4x +4x) ln(x x), ( x e x x+4 e x+3 ) (ii) ln. 4e b) Man berechne ohne Taschenrechner ( ) ( ) 1 1 log 5 (65), log 7 (1), log 3, log 43 (56) log (3), log Lösung: a) (i) e ln(x3 4x +4x) ln(x x) = e ln(x(x ) ) ln(x(x )) = e ln x+ln(x ) ln x ln(x ) = e ln(x ) ln(x ) = x ( x e x x+4 e x+3 ) ( x+4 e x+3 ) (ii) ln = ln 4e e 1 = ln ( e x+ x+) = ln e x+ + ln x+ = x + + (x + ) ln = (x + 1)(1 + ln ) b) Definition und Rechenregeln des Logarithmus ergeben log 5 (65) = log 5 (5 4 ) = 4 log 5 5 = 4, log 7 (1) = log 7 (7 0 ) = 0, ( ) 1 log 3 = log 43 3 (3 5 ) = 5 log 3 (3) = 5, 56 log (56) log (3) = log 3 = log 8 = log 3 = 3, ( ) 1 log 6 3 = log 6 (6 /3 ) = 36 3.

12 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, WiSe 016/17, Beispielaufgaben 5 1 Aufgabe 6: Die Funktion sinh(x) = 1 ( e x e x) besitzt für x IR eine Umkehrfunktion. Diese wird mit arsinh( ) bezeichnet. Man zeige, dass gilt arsinh() = ln( + + 1). Lösung: Die Umkehrfunktion wird berechnet durch Auflösen von = 1 ( e x e x) nach x. Dafür setzen wir zunächst z = e x auf: und lösen dann nach z = 1 (z 1/z) z = z 1 z z 1 = 0 z = ± + 1. Die Minusvariante kommt bei der Umkehrung nicht in Frage, denn Also erhält man 0 < e x = z + 1 < 0. e x = x = ln ( + ) + 1. Termin: Dienstag

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