Trainingskurs Mathematik bearbeitet von: Prof. Dr. J. Puhl

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1 Trainingskurs Mathematik bearbeitet von: Prof. Dr. J. Puhl Einleitende Bemerkungen Es ist leider eine sehr traurige Tatsache, daß ein großer Teil der Studienanfänger außerordentliche Schwierigkeiten im Fach Mathematik hat. Oftmals scheitert das Verständnis schon an einfachsten Umformungen oder mathematische Gesetze werden mißachtet, weil man sie gar nicht verstanden oder positiv gesehen, wieder vergessen hat. Mangelhaften Mathematikvorkenntnisse beeinträchtigen natürlich auch die anderen Fächer und führen oft sogar zum Scheitern des Studiums. Wegen des zu vermittelnden Sto umfanges ist es nicht möglich, alles nochmals bis ins Detail zu wiederholen und zu erläutern. In diesem Trainingskurs soll in erster Linie einfachstes mathematisches Handwerkszeug trainiert werden. Dazu ist Ihr Wille zur selbständigen Arbeit erforderlich! Denken Sie daran, Vor den Erfolg haben die Götter den Schweiß gesetzt! Für kritische Hinweise, Druckfehler, Bemerkungen usw. bin ich stets dankbar. Das Übungsmaterial darf nur für Studienzwecke an der FH Jena vervielfältigt werden. J. Puhl, Jena im Oktober 00 barbarisch mit Füßen getreten

2 Inhaltsverzeichnis Rationales Rechnen 4. Au ösung von Klammern Ausmultiplizieren Faktorisieren Kürzen Addition gebrochener Ausdrücke Ausdrücke substituieren De nitionsbereich von Termen Aufgaben Potenzen, Wurzeln 0. Potenzen mit ganzahligen Exponenten Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten Rationalmachen des Nenners Aufgaben Logarithmen 4 3. Logarithmus Logarithmengesetze Formelumstellung Aufgaben Lineare Gleichungen 8 4. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgaben Quadratische Gleichung 0 5. Quadratische Gleichung Gleichungen, die sich auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen Aufgaben Wurzelgleichungen 3 6. Wurzelgleichungen Aufgaben Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen 5 7. Ungleichungen Absolutbetrag Aufgaben Trigonometrie und goniometrische Gleichungen 9 8. Trigonometrische Funktionen Gradmaß und Bogenmaß Winkelfunktion Sinus- und Kosinussatz

3 8.3 Aufgaben Analytische Geometrie der Ebene Länge und Anstieg einer Strecke Formen der Geradengleichung Kreisgleichung Aufgaben Graphische Darstellung elementarer Funktionen Manipulation mit Funktionsgraphen Spiegelung Verschiebung (Translation) Streckung bzw. Stauchung Absolutbetrag einer Funktion Lineare Funktionen Quadratische Funktion Potenzfunktion Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Trigonometrische Funktionen Aufgaben Technik des Di erenzierens 46. Ableitung einer Funktion Technik des Di erenzierens Aufgaben Elementare Integrationstechniken 50. Einfache Integrationsregeln Integration durch Substitution Aufgaben Formeln und Fakten Binomische Formeln Quadratische Gleichung Normalform der quadratischen Gleichung Vieta scher Wurzelsatz erlegung in Linearfaktoren (Faktorisierung) Quadratische Ergänzung Potenzgesetze Logarithmengesetze Additionstheoreme Absolutbetrag Ableitung elementarer Funktionen Di erentiationsregeln Tabelle der Grundintegrale Lösungen 59 5 Literaturempfehlungen 66 3

4 . Rationales Rechnen.. Au ösung von Klammern Die Reihenfolge von Rechenoperationen wird durch Klammersetzung festgelegt. Um Klammern zu sparen, vereinbart man: Multiplikation bzw. Division werden vor der Addition bzw. Subtraktion ausgeführt. Punktrechnung geht vor Strichrechnung Potenzen werden vor allen anderen Rechenoperationen ausgeführt. Die Au ösung der Klammern erfolgt schrittweise von innen oder von außen Beim Auftreten von Mehrfachklammern ist es zweckmäßig verschiedene Klammertypen (runde, eckige, geschweifte) zu verwenden. Beispiele ² Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie: 6x [(3 5x) (7 x)] + [4x (x + )] Au ösung von innen ergibt: Au ösung von außen ergibt: 6x [(3 5x) (7 x)] + [4x (x + )] = 6x [3 5x 7 + x] + [4x x ] = 6x [ 4 3x] + [x ] = 6x x + x = x + 3 6x [(3 5x) (7 x)] + [4x (x + )] = 6x (3 5x) + (7 x) + 4x (x + ) = 6x 3 + 5x + 7 x + 4x x = x + 3 weckmäßigerweise löst man bei Doppelklammern zunächst die innere Klammer auf. ² Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie: u f3v 4 [u 3 (v 3u)]g = u f3v 4 [u 6v + 9u]g = = u f3v 4 [0u 6v]g = u f3v 40u vg = = u f7v 40u + 8g = u 54v + 80u 6 = 9u 54v 6.. Ausmultiplizieren Produkte werden unter Verwendung des Distributivgesetzes ausmultipliziert. Setzen Sie zur Vermeidung von Vorzeichenfehlern das berechnete Produkt in Klammern! Beachten Sie auch, ob Binomische Formeln anwendbar sind. beliebte studentische Fehlerquelle a b = (a b)(a + b) (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 4

5 Wichtig ist, daß man diese Formeln sowohl von links nach rechts als auch umgekehrt versteht und anwenden kann! Beispiele ² x (x )( x + ) = x ( x + x + x ) = x ( x + 3x ) = x + x 3x + = x x + ² (a + b ) (a b) = a + b (a ab + b ) = a + b a + ab b = ab.3. Faktorisieren Eine algebraische Summe in ein Produkt von Faktoren zu zerlegen, ist i.a. recht schwierig oder gar nicht möglich. Vorgehensweise: - gemeinsame Faktoren suchen - Versuchen Sie Binomische Formeln (siehe oben) wiederzuerkennen: - Versuchen Sie folgende erlegung in Linearfaktoren anzuwenden: x + px + q = (x x )(x x ) wobei x,x die (reellen) Nullstellen der quadratischen Funktion sind. Auch folgende Formeln sind sehr nützlich a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) Beispiele ² Man zerlege ax 5ay + a bx + 5by b in Faktoren. Lösung: Wir suchen einfach mal gemeinsame Faktoren, um zu sehen, was passiert ax 5ay + a bx + 5by b = a (x 5y + ) b (x 5y + ) = = (a b) (x 5y + ) Auch folgende Variante führt zum Erfolg ax 5ay + a bx + 5by b = x (a b) 5y (a b) + a b = = (x 5y + ) (a b) ² Man zerlege 4x 9y 4 in Faktoren. (Grübel, grübel... nachdem der Groschen gefallen ist und man die Struktur der binomischen Formel a b = (a b)(a + b) mit a = x und b = 3y wiedererkannt hat, hat man auch die Lösung). 4x 9y 4 = (x) (3y ) = (x 3y )(x + 3y ) ² Man zerlege x + 3x + in Faktoren. Lösung: Es gilt: x +3x+ = (x + 3 x+ ). Dieser Ausdruck schreit förmlich nach obiger erlegung in Linearfaktoren. Man kann nur etwas wiedererkennen, was man kennt ;-))) 5

6 Bestimmungq der Nullstellen: x, = 3 4 q 3 4 = = =) x =, x = =) x + 3x + = x + 3 x + = (x ( )) x = (x + ) x + (weitere Beispiele in 5., S. ) Bemerkung: Verwenden Sie, um Vorzeichenfehler zu vermeiden, Klammern, und lösen Sie sie dann auf. Ich möchte von Ihnen keinen Schwachsinn der Form sehen!!! x oder gar den Klassiker x.4. Kürzen Gebrochene Ausdrücke können oftmals durch Kürzen vereinfacht werden. ähler und Nenner müssen allerdings als Produkte vorliegen!!! Di erenzen und Summen kürzen nur die Dummen Beispiele ² Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck: 4x 6x 4 x x Faktorisierung (s.o.) von ähler und Nenner ergibt: 4x 6x 4 x x = 4(x 3 x ) (x x ) = 4(x )(x + ) (x + = x )(x ) x ² Kürzen Sie folgenden Ausdruck: mv + m v m Faktorisierung ergibt: mv + m v m = m (v + ) (v + ) (m ) (m + ) = (m ) (v + ) (v + ) = (m ) (m + ) (m + ).5. Addition gebrochener Ausdrücke Um gebrochene Ausdrücke zu addieren (bzw. subtrahieren) muß man sie gleichnamig machen. (Hauptnenner suchen!) Beispiel ² Stellen Sie a a als Bruch dar. a + a a a + = (a + ) ( a) (a + ) a ( a) (a + ) ( a) = (a + ) a ( a) a + a + a = = ( a) (a + ) a = a + + a a 6

7 .6. Ausdrücke substituieren Wenn Sie einen mehrgliedrigen Ausdruck in einen anderen Ausdruck einsetzen, verwenden Sie prinzipell Klammern und lösen Sie diese anschließend auf und vereinfachen den Ausdruck. Beispiel ² x = a soll in x x + eingesetzt und vereinfacht werden. µ x x + x à a 7! a µ + = a = µ a + a + a + = a + a = a a + a.7. De nitionsbereich von Termen Wir beginnen mit einem Beispiel und betrachten den Term T(x) = x + x 6. x Einsam steht er da so herum. Trotzdem wurde stillschweigend schon mehr vorausgesetzt nämlich, daß die Variable x zu der Grundmenge R gehören soll und nur solche x R zugelassen sind, für die der Term T(x) sinnvoll gebildet werden kann. Man spricht vom sogenannten De nitionsbereich. Am obigen Beispiel wäre der De nitionsbereich somit fx R: x 6= g, da man bekanntlich nicht durch Null dividieren kann 3. Nun könnte ein gewitzter Leser, der bis hierher durchgehalten und den Abschnitt.4 noch in guter Erinnerung hat, versuchen zu kürzen. Das sähe ungefähr so aus: x + x 6 (x + 3) (x ) = = x + 3 x x Jetzt ist man geneigt zu glauben, der Term T(x) = x + x 6 sei doch für alle x R de niert. x Weit gefehlt, denn S(x) = x+3 stellt einen anderen Term dar, der natürlich den De nitionsbereich R hat. Der De nitionsbereich ist Bestandteil des Terms, auch wenn er nicht explizit angegeben ist! O ensichtlich gilt allerdings T(x) = S(x) für x 6=. De nition: Die Elemente der Grundmenge R, für die ein Term T(x) sinnvoll de niert ist, bilden den natürlichen De nitionsbereich des Terms. Wir vereinbaren, wird kein De nitionsbereich explizit angegeben, dann wird der natürliche De - nitionsbereich vorausgesetzt. ur Bestimmung des natürliche De nitionsbereiches überprüfe man z.b., ob - bei Brüchen der Nenner = 0 - bei Wurzeln der Radikand < 0 - bei Logarithmen der Term unter dem Logarithmus 0 werden kann. Diese Fälle muß man ausschließen! Beispiele ² Man bestimme den De nitionsbereich von T(x) = x + ln (x + ) 4 Lösung: Alle Einzelterme müssen gleichzeitig de niert sein. De nitionsbereich des. Summanden: D = fx R : x 4 6= 0g = fx R : jxj 6= g = fx R : x 6= ^ x 6= g De nitionsbereich des. Summanden: D = fx R : x + > 0g = fx R : x > g = (, +) =) 3 Manche können es aber trotzdem nicht lassen! 7

8 De nitionsbereich von T(x): D = D \ D = fx R : x > ^ x 6= ^ x 6= g = fx R : x > ^ x 6= g = (, ) [ (, +) ² Man bestimme den De nitionsbereich von T(x) = p x + p x Lösung: De nitionsbereich des. Faktors: D = fx R : x + 0g = fx R : x g = [, +) De nitionsbereich des. Faktors: D = fx R : x 0g = fx R : xg = (, ] =) De nitionsbereich von T(x): D = D \ D = [, +) \ (, ] = [, ].8. Aufgaben. Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie: a) (6p + q) (5p 7q) b) 3 (a + b + c) 5 (a + b) (b c a) c) x 9 ³x 3 x 3 d) 0m [(4m + n) + (6m n)] e) 00 [(b + 0) (40 b)] f) [3a (4b + x)] [(3x + 3b) (4x a + b)]. Multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: a) (5u (u 3))(u ( u)) b) (a + 4)(a ) (a + )(a ) c) x 3 y 3 (x y) x + xy + y d) 3x (x ) ( x ) e) a a + a a (a + ) 5 f) 4 (3s + 4t) 8 (5s 3t) 3. Wenden Sie die binomischen Formeln an und vereinfachen Sie nach Möglichkeit. a) ( a b)(a b) b) (4a 3)(4a + 3) (3a 4) + (5a + ) c) (3b + ) (5b 3) d) (x 3y) (3y + x) (x y) 4. Klammern Sie gemeinsame Faktoren aus: a) u (u + v) (u v) (u + v) b) 9x y + 6x 3 y 44xy c) 3 (x + 3) (a b) 3 4 (6 + 4x) (b a) 5 d) x 3x + xy 3y 5. erlegen Sie unter Verwendung binomischer Formeln folgende Summen in Faktoren: a) 96x 69y b) (m n) (n + m) c) 8x 3 x + 6x d) 5x 00y xy 6. erlegen Sie folgende Summen in Faktoren: a) x 7x + 0 b) x 96x 780 c) x + 4ax + 4a 9b d) u ua 6a 7. Kürzen Sie soweit wie möglich a) 04a b 3 c 55ab c 3 b) d) a + a + a 5(x ) 5x c) 88x 88y 43(y x ) e) u3 + b 3 u b f) x3 + x y + xy + y 3 x + y 8. Fassen Sie zu einem Bruch zusammen: a) 3 4a b) 5b x c) x a + a (x a) + a x a d) m m + n + x 3 x (x + ) 3 4x x(x + ) 8 mn m n n m n

9 9. Setzen Sie den Ausdruck A in den Ausdruck B ein und vereinfachen Sie: A B a) x = y + x xy b) y = x x xy c) x = y y (y ) x d) x = z z x + x 0. Bestimmen Sie den De nitionsbereich der folgenden Terme: a) p x + p ³p x + x b) ln ( x) c) ln x p p 3 x x + x d) x e) f) x + p x + ln (x + ) x + 9

10 . Potenzen, Wurzeln.. Potenzen mit ganzahligen Exponenten Seien a,b 6= 0; n,m dann gelten folgende Potenzgesetze: Bemerkung: a n a m = a n+m a n b n = (a b) n a n a m = a n m a n b n = (a n ) m = a nm a 0 = ³ a b n ² Nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können bei der Addition bzw. Subtraktion zusammengefaßt werden.ein klassischer,studentischer Fehler ist die Verwendung folgende Regel mit einem Gleichheitszeichen, was aber falsch ist! a n + b n 6= (a + b) n (n > ) Machen Sie sich das an Beispielen klar! ² Man beachte auch beim Potenzieren die Klammersetzung! a nm = a (nm ) 6= Beispiele: (a n ) m = a nm ² µ 4a 3 b 0 = 4a 3 b 0 b y = 4a 3 b y = 4 a 6 b 4 y = a6 b 4 b y 6y (a,b,y 6= 0) ² + a a3 + am a m+ = + a a m+ a3 + a3 a m+ = a3 + a 4 + a 3 a m+ = + a4 a m+ (a 6= 0) ² 3 (x ) 3 ( x) 3 = 3 (x ) 3 [ (x )] 3 = 3 (x ) 3 ( ) 3 (x ) 3 = = 3 (x ) 3 + (x ) 3 = 5 (x ) 3 ² 3 3 = 8 9 = 64 5 = Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten Die n-te Wurzel ist wie folgt de niert: Bemerkungen: x = np a () x n = a wobei a 0; n N ² Man beachte, daß nach De nition x = np a 0 ist und a 0 vorausgesetzt wird! Für ungerade n = k + kann man jedoch np a auch für a < 0 de nieren. z.b: 3p 7 = 3, denn ( 3) 3 = 7 und es gibt keine weiteren Lösungen. (Manche Taschenrechner streiken aus obigen Grund bei der z.b.bei der Berechnung von 3p 7. Testen Sie Ihren Rechner!) 0

11 ² Es gilt: np a m = n p a m = a m n (a 0; m,n N) Das Rechnen mit Wurzeln führt man also zweckmäßigerweise auf das Rechnen mit Potenzen zurück! Für ungerade n = k+ kann das Gesetz auch für a < 0 verwendet werden, für gerade n = k ist das nicht möglich!. Beim Rechnen mit negativen Radikanden ist also äußerste Vorsicht geboten, weil die Potenzgesetze nicht mehr im allgemeinen gelten!. z.b: 3p p ³ = ( 3) = ( 3) 6 3 FEHLER! 6 6 = ( 3) 3 6 = = = p 3 ist falsch! aber richtig ist: 3p p = 3p 3 6p 3 = = = p 3 ² Es gelten die gleich Potenzgesetze wie oben, allerdings muß bei rationalen (reellen) Exponenten a,b > 0 vorausgesetzt werden. ² Achtung Falle! (klassischer Fehler) Die Beziehung p a = a gilt nur für a 0!!! Da der Ausdruck p a aber für alle a R de niert ist, gilt: p a = jaj, (a R) (.) z.b: Beispiele q ( ) = p 4 = = j j ² 3p p 5 = ³(5) ² 3 = (5) 6 = = 5 = p 5 =, (a b) 7 3 (a p soll vereinfacht werden! (a > 0;b 6= 0) ab) 8 4 (a b) 7 3 (a p ab) = ( 3 ) 4 (a ) b (3 3 ) 3 a ( p a) b = 4 (3 ) 4 a 4 b 3 9 a a b = = a 4 b 3 9 a ab = (4 ) 3 (8 9) a (4 ) b ( ) = 3 a b 0 = 4 3 a q ² Der Ausdruck (3x + ) 6, (x R) soll vereinfacht werden. q r ³ (3x + ) 6 = (3x + ) 3 = (3x + ) 3 = j3x + j 3 ² Man berechne ( 8) 3. Die Wurzelgesetze sind zunächst nicht anwendbar, da der Nenner des Exponenten ungerade ist. µ ( 8) 3 = ³( 8) 3 = ( ) = = 4.3. Rationalmachen des Nenners Bei Ausdrücken der Gestalt Nenner beseitigt werden. Beispiele p a p b können durch Erweitern mit p a pb die Wurzeln im

12 6 ² p = 6 p 3 p p = 6p 3 = p 3 (a = 3;b = 0) ² 3 + p = p 3 p 3 p = 3 p 3 = 3 p (a = 9;b = ).4. Aufgaben. Vereinfachen Sie a) 8a b ab 4a b + 3ab b) ( ) c) x ³ 3 + ( x) 3 d) an+x b 3n x a n x b n+x : x n+ y n 3 x n y 3n+. eigen Sie an ahlenbeispielen, daß: a) (x + y) n 6= x n + y n (für n 6= ) b) (x y ) z 6= x yz Bemerkung: Leider werden trotz dieser Erkenntnis wieder einige von Ihnen, obige Erkenntnis strä ichst mißachten! Vielleicht hat die Aufgabe aber doch Erfolg gezeitigt? Ich würde mich glücklich preisen! 3. Vereinfachen Sie durch Division (Polynomdivision!): a) a5 a b 3 + b a 3 b 5 (a + b ) c) z5 z 5 0 z z 0 4. Vereinfachen Sie s ³ 3 3p (x y 3 ) 3 a) a 5 b) ( p xy ) 4 5. eigen Sie an ahlenbeispielen, daß: p a + b 6= p a + p b b) x3 x y yx + y 3 (x y) d) abc abd ac + acd b c + b d + bc bcd (a b) (b c) 6. Beseitigen Sie das Wurzelzeichen und vereinfachen Sie: q q a) (x ), (x R) b) (y + 3) 0, (y R) r ³ c) 6 (a ) 6 3 q, (a R) d) 3 (x + y) 9, (x,y R) 7. Es wird Ihnen jetzt sicher nicht mehr schwerfallen, den Fehler in folgender Rechnung zu nden = 5 45 =) = µ 4 4 =) 4 9 µ = 5 9 =) 4 9 = 5 9 =) 4 = 5 8. Machen Sie die Nenner folgender Brüche rational: a) 3 + p 3 p b) + p + p 3 p + p c) 3p 5 p 6 p 5 3 p d) 3 r a

13 9. Stellen Sie folgende Formeln um: a) f = q r ml 4 nach l b) ω = 0EI LC R 4L nach R µ 0 µ C 3 y T c) L = nach C d) ϕ = nach T F 0. Jemand rechnet T x = p a a + a = Für a = 0 erhält man jedoch x =. Wo steckt der Fehler? q (a ) a = (a ) a = 3

14 3. Logarithmen 3.. Logarithmus Seien a > 0,a 6= und c > 0. De nition Unter dem Logarithmus der ahl c zur Basis a versteht man den Exponenten x, mit dem man a potenzieren muß, um die ahl c zu erhalten. Man schreibt: x = log a c. Es gilt also: x = log a c () a x = c (a > 0,a 6=,c > 0) Bemerkung: Durch Einsetzen von x ergibt sich sofort die Beziehung: a log a c = c Beispiele ² log = 3, denn 0 3 = 000 ² log 6 = 4, denn 4 = 6 ² log 0, 5 =, denn = = 0, 5 ² log 3 7 = 3, denn 3 3 = 7 ² log 0,5 8 = 3, denn 0, 5 3 = µ 3 = 3 = 8 ² log x 0, = d.h. x = 0, =) x = 0 ² log a = 0, denn a 0 = ² log a a =, denn a = a Spezielle Logarithmen: lg c = log 0 c lnc = log e c lbc = log c (dekadischer Logarithmus) (natürlicher Logarithmus) (binäre Logarithmus) 3.. Logarithmengesetze Im folgenden setzen wir a,x,y > 0;a 6=,b R voraus. log a = 0 log a a = µ x log a (xy) = log a x + log a y log a = log y a x log a y log a x b = b log a x log a n p x = n log a x 4

15 Umrechnungsformel: log b c = log a c log a b Beispiele für Umformungen ² lg 3 + lg µ 3 = lg 3 = lg = 0 3 ² lg r 0 = lg 0 = lg 0 = ( ) lg 0 = ² ln ( p e) 3 = lne 3 = 3 lne = 3 ² lg 0 = lg ( 0) = lg + lg 0 = lg + ² 3 0 lg3 = 3 0 lg3 = 3 3 = 3 ² lg x + lg (xy) lgy = lg p x + lg p µp p x xy xy lgy = lg y ² log 00 = lg 00 lg = lg ² x = e lnx = e xln = lg xp y y = lg x p y 3.3. Formelumstellung Soll eine Formel (oder Gleichung) nach einer Variablen aufgelöst werden, die im Exponenten einer Potenz oder im Numerus eines Logarithmus auftaucht, so muß dieser Term zunächst isoliert und anschließend äquivalent umgeformt werden. Beispiele ² Das erfallsgesetz für radioaktive Kerne N = N 0 e λt soll nach λ umgestellt werden N = N 0 e λt =) N = e λt µ N 0 N =) ln = λt N 0 =) λ = µ N t ln N 0 (Potenz mit Variablen λ isoliert) ² Die Gleichung für die allgemeine ustandsänderung eines Gases p = p umgestellt µ werden. p n µ µ n V p V = =) ln = ln p =) ln V µ p p = n ln p µ V V V =) n = ln³ p p ln³ V V = lnp lnp lnv lnv µ V V n soll nach n ² Man stelle y = ex e x y = ex e x nach x um. =) y e x + e x = 0 5

16 =) y e x + e x = 0 j ex =) ye x (e x ) + = 0 =) (e x ) ye x = 0 (quadratische Gleichung für e x ) =) e x = y p y +, da e x > 0, kommt aber nur die Lösung e x = y + p y + in Betracht. =) x = ln ³y + p + y ² Die Gleichung für den Wellenwiderstand von Koaxialkabel 0 = aufgelöst r werden. µ 0 = ε π ln D d =) ln D ε 0r d = π µ =) D q d = εµ eπ 0 =) d = D e π 0 q ε µ r µ ε π ln D d soll nach d 3.4. Aufgaben. Ermitteln Sie unter Verwendung der De nition des Logarithmus (ohne Taschenrechner) die Werte folgender Logarithmen log 3 7 log 0,5 0, 5 log 6 6 lg 000 log 3,5 ln lne log 6 4 log 8 log 3 p 7 log log lg 0, 00 ln p e log 0,5 8. Wenden Sie die De nition des Logarithmus an und bestimmen Sie x ohne Verwendung eines Taschenrechners: a) log 7 49 = x b) log 4 = x c) log 6p 5 5 = x d) ln e 3 = x e) logx 5 = f) log p x 0 = 0, 5 q g) log x 56 = 8 h) lg = x i) lg x = 0 j) 3 x = 8 k) lnx = 3. Bestimmen Sie - falls möglich - die Unbekannte x aus den Gleichungen! a) x = 64 b) x = 8 c) log x 04 = 0 d) log x 0, = e) log 7 49 = x f) log 3 x = 4 g) lnx = ln 4 h) 0, 5 lnx = ln(a + ) i) + 3 lg x = 7 j) lg(3x + ) = k) lg x 6 = lg x l) lg x = 3 lg x m) lg( p ax + ) + lg( p ax ) lg(ax ) = 0 n) ln(a + ab + b ) + ln(a b) ln(a 3 b 3 ) + lnx = 0 o) 3(x ) = 8 x p) 7 x = (x ) q) 4 x = 4096 r) p a 4 3x 3p a x+ 4p a 5x 5p a 5 x = s) x mp a n = mp a x n t) p a 6( x) = a (x+3) u) 4 lgx5 + 3 lg p x 3 lg 4p x = (lg + lg 3) 4. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke so, daß nur noch ein Logarithmus eines Argumentes dasteht! a) lg + lg 5 lg a b) lna lnb + lnc c) lnx 3 lny 5 ln(x + y) e) ln(a ab + b ) ln(a b) d) lg a + lg c 3 (lg b3 + lg a 3 ) 3 lg r + 3 lg(rs) lg s g) ln(a + b ) 3 ln(a b) 3 ln(a + b) h) ln ln 8 i) 3 lg T 3 lg S j) lg p x y 3 lg (x y) lg (x + y) 3 6

17 5. Stellen Sie folgende Ausdrücke in der Form e T(x) dar: a) 3 x b) x x c) x x 6. Stellen Sie die Formeln um a) I = I 0 e t T nach t b) ϕ = U c) E = r ln³ r r µ T T nach r d) p s = 0 lg y nach y µ Ux 7. Lösen Sie folgende Gleichungen a) lg 5 x + lg x = 0 b) lg (3x ) = 0, 30 µ 3 x+ µ 3 c) = d) log 3 [ + log 3 (x + 3)] = 0 U 0 nach U x 8. Aus einem Fasse mit 000 Liter Spiritus von 85% laesst man 50 Liter ab und ersetzt das Fehlende durch Wasser. Nach gehoeriger Vermischung macht man die Manipulation noch einmal usw. Wie oft muss dies Verfahren wiederholt werden, dass die vorhandene Fluessigkeit von 40% ist? (Aus einem Mathematikbuch von 87.) 9. Nach wieviel Jahren hat sich ein mit 5% insen p.a. angelegtes Kapital verdoppelt? 7

18 4. Lineare Gleichungen 4.. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten: Lösungstheorie: A x = b, (A,b R).Fall : A 6= 0 =) x = A b = b genau eine Lösung A.Fall : A = 0 =) falls b 6= 0 : keine Lösung d.h. (0 x = b) falls b = 0 : jedes x R ist Lösung! Bemerkung: Um die Gleichung A x = b zu lösen, dividiert man bekanntlich durch A. Das ist aber nur möglich, wenn A 6= 0 ist!!! Daher sind die Fallunterscheidungen notwendig. Überprüfen Sie bei jeder Division, ob möglicherweise eine (versteckte!) Division durch Null vorliegen könnte! Beispiele ² Man löse die Gleichung 3 (x ) + c = x 3 c, nach x auf. () 6x 3 + c = x 3 c () 6x x = c () x = c ² Man löse die Gleichung x a a x bc + a x = (a,b,c 6= 0) nach x auf. 3c x(6bc) (a x)(3a) + (a x)ab () = 6abc () 6bcx 3a + 3ax + a b abx = 6abc Ordnen () 6bcx + 3ax abx 3a + a b = 6abc () (6bc + 3a ab)x = 6abc + 3a a b (Erkennen Sie die Grundform A x = b wieder?) () (6bc + 3a ab)x = a(6bc + 3a ab) 6bc+3a ab6=0 () x = a(6bc + 3a ab) 6bc + 3a ab = a usammengefaßt erhält man als Lösung: x = ½ a falls 6bc + 3a ab 6= 0 beliebig, falls 6bc+3a ab = 0 Seien Sie ehrlich! Der Fall 6bc + 3a ab = 0 wäre Ihnen doch sicher entgangen? z.b.: a = b = ;c = 6 erfüllt die.bedingung, und x kann eine x-beliebige ahl, z.b x = 6=a sein. (Haben Sie Mut, prüfen Sie nach!) Eigentlich ist alles logisch und ganz zwangsläu g, wenn man nur daran denkt, daß man nicht wild darau os dividieren darf. 8

19 4.. Aufgaben. Lösen Sie folgende linearen Gleichungen nach x auf: a) x + + 3x + + 5x + = b) 4 8 x + a = a x + c) (x + ) (x + a) + b = a + (x + ) (x + b) d) 3 6 = ax + e) ax = f) a + b a b g) x a x b = 3b + ax a + b 3 + x. Lösen Sie folgende Formeln nach den angegebenen Größen auf: a) s = v 0 t gt nach v 0 und g b) v = s s t t nach s und t c) E pot = mg (h h ) nach h und h d) C = 4πK R R R R e) m = m + λ t + λ t nach R und R nach t und λ = + abx a b 3. Durch einen Rohrbruch wurde ein Keller über utet und wird durch die Feuerwehr mittels dreier gleichmäßig und gleichzeitig arbeitender Pumpen leergepumpt. Wieviel Minuten werden dazu benötigt, wenn durch die erste Pumpe allein 6 Stunden, durch die zweite 4 Stunden und durch die dritte Stunden benötigt würden? 4. Die Spitzengruppe eines Radrennens habe eine Länge von insgesamt 50m. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 45 km h über eine 45m lange Brücke. Welche eit benötigt sie dazu? 5. Von drei parallelgeschalteten Widerständen ist der zweite doppelt so groß wie der erste und der dritte dreimal so groß wie der zweite. Wie groß sind die drei Widerstände zu wählen, damit der Gesamtwiderstand k beträgt? 9

20 5. Quadratische Gleichung 5.. Quadratische Gleichung Eine quadratische Gleichung hat die Form ax + bx + c = 0, (a,b,c R, a 6= 0) µ Wegen ax + bx + c = a x + b a x + c = a x + px + q = 0 mit p = b a a und q = c a immer auf die Normalform der quadratischen Gleichung x + px + q = 0 kann sie zurückgeführt werden. Lösungstheorie: Die quadratische Gleichung x + px + q = 0 hat genau zwei Lösungen x, = p r ³p q ³ p.fall: q > 0 =) x 6= x zwei verschiedene relle Lösungen (Wurzeln) ³ p.fall: q = 0 =) x = x eine reelle Doppelwurzel ³ p 3.Fall: q < 0 =) Es existiert keine reelle Lösung, aber im Bereich der komplexen ahlen C erhält man ein Paar konjugiert komplexer Lösungen x = p ³ p rq + j und x = p r ³ p j q In diesem usammenhang seien an: den Vietaschen Wurzelsatz x + x = p = b a x x = q = c a die erlegung in Linearfaktoren (Faktorisierung) x + px + q = (x x )(x x ) ax + bx + c = a(x x )(x x ) und die quadratische Ergänzung, die in folgender Umformung besteht, x + px + q = erinnert. ³ x + p ³ p + q = ³ x + p + q ³ p, werden in der Vorlesung noch o ziell eingeführt 0

21 Beispiele ² Wir betrachten die quadratische Gleichung x x = 0. (Die Gleichung liegt in Normalform vor mit p = und q = ) Die Wurzeln berechnen sich demnach aus x, = p r ³p µ s µ s µ q = ( ) = + = = r 4 + = r 9 4 = 3 =) x =, x = Als ugabe geben wir die erlegung in Linearfaktoren an. x x = (x ) (x ( )) = (x ) (x + ) ² Wir betrachten die quadratische Gleichung 4x 4x + = 0. (Die Gleichung liegt µ nicht in Normalform vor a = 4 6=,b = 4,c = ) 4x 4x + = 4 x x + = 0 =) x x = 0 (Normalform mit p = und q = 4 ) Die Wurzeln berechnen sich demnach aus x, = p r ³p µ s µ q = 4 = =) x = x = (reelle Doppelwurzeln) Es ergibt sich folgende µ erlegung in Linearfaktoren. 4x 4x + = 4 x s µ 4 = ² Die quadratische µ Gleichung x + x + = 0 besitzt keine reellen Lösungen, denn x + x + = x + x + = 0 s µ =) x, = r = 4 Es wird nochmals betont, daß sie aber im Bereich der komplexen ahlen lösbar ist. ² Die quadratische µ Ergänzung von x 3x + berechnet man wie folgt: x 3x + = x 3 µ 3 µ + = x Gleichungen, die sich auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen Unter Umständen kann man auch nichtquadratische Gleichungen auf eine quadratische Gleichung zurückführen. Man muß es bloß erkennen. Beispiele ² Wir betrachten die Gleichung x 5 + x 4 3x 3 = 0. Wegen x 5 + x 4 3x 3 = x 3 x + x 3 = 0 ist die Gleichung nur dann erfüllt, wenn x + x 3 = 0 (quadratische Gleichung) oder x 3 = 0 gilt. Wegen x, = p + 3 = ergeben sich die Lösungen: x = 3, x =, x 3 = x 4 = x 5 = 0 (x = 0 ist eine 3-fache Nullstelle) ² Man löse die Gleichung x 0 x 3 = 78. Es gilt x 0 x 3 = x 4 3x + 30 = 78 =) x 4 3x 48 = 0 (biquadratische Gleichung)

22 Durch die Substitution s y = x wird sie in y 3y 48 = 0 überführt. µ3 =) y, = = 3 r 36 4 = 3 9 =) y = 6, y = 3. =) x, = p y = 4, x 3,4 = p y = p 3 (nicht reell lösbar) Als reelle Lösungen erhält man also: x = 4, x = Aufgaben. Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen µ mit bestimmten Koe zienten a) x + 5x 4 = 0 b) x + 3 µ x = c) 4x + 7 = 54x d) (x 3) (x 5) = 80 e) x x + = x + x 3. Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen mit unbestimmten Koe zienten a) (ax + b) (ax b) = 0 b) x + R x = R x c) ( ax) = ( bx) d) a + x b + x + b + x a + x = 5 3. Folgende Gleichungen lassen sich auf die Lösung quadratischer Gleichungen zurückführen. Geben sie alle reellen Lösungen an. a) x 5 + x = 40 b) x 0 x 3 = 78 c) x = p x d) 8x x 3 = 5 4. Bestimmen Sie die quadratische Ergänzung von: a) x + x + b) x 4x 4 c) x + 9x Um die Tiefe eines Brunnen zu bestimmen, läßt man einen Stein frei hineinfallen und hört ihn nach 6 Sekunden im Wasser aufschlagen. Wie tief ist der Brunnen? (Schallgeschwindigkeit 333m/s, Fallbeschleunigung 9,8 m/s. Luftwiderstand wird vernachlässigt) 6. wei Widerstände, die sich um 00 unterscheiden, haben in Parallelschaltung einen Gesamtwiderstand von 4. Wie groß sind die Widerstände? 7. Bei einer Brinellhärteprüfung eines Stahls verwendet man eine Stahlkugel von 0mm Durchmesser und erhält nach der Prüfung, bei der die Stahlkugel auf die Ober äche des zu prüfenden Werkstückes gedrückt wird, einen Kugeleindruck, dessen Durchmesser (auf der ebenen Ober äche des Werkstückes gemessen) 5mm ist. Wie tief ist die Kugel in das Werkstück eingedrungen? 8. Durch Verbesserung im Betrieb kann ein Eisenbahnzug jetzt eine um 9 km/h höhere Durchschnittsgeschwindigkeit erreichen und erzielt dadurch auf einer Strecke von 80 km eine eiteinsparung von 40 min. Wieviel Stunden benötigt er für die Strecke?

23 6. Wurzelgleichungen 6.. Wurzelgleichungen Durch wiederholtes Au ösen nach den Wurzeln, die in der Gleichung vorkommen, und anschließendes Potenzieren können die Wurzeln unter Umständen beseitigt werden. Man beachte jedoch: Durch Quadrieren können Scheinlösungen auftreten! Es gilt a = b =) a = b, aber a = b ; a = b (z.b: = ( ) ; = ) Daher müssen die Lösungen durch Einsetzenin der Ausgangsgleichung überprüft werden! Wenn zusätzlich bekannt ist, daß a,b 0, dann gilt auch a = b =) a = b Beispiele ² p x p x = p x Lösung: Durch Quadrieren erhält man x p x p x + (x ) = x =) x p x p x = x =) p x p x = 0 =) x (x ) = 0 =) x = 0 _ x = Für x = ist die Ausgangsgleichung erfüllt, aber für x = 0 gar nicht de niert (Scheinlösung), also hat die Gleichung nur die Lösung x =. ² 7 3 p x + 4 = 6 Lösung: Au ösung nach der Wurzel ergibt: 3 p x + 4 = 6 7 = 9 () p x + 4 = 3 =) x + 4 = 9 () x = 5 Probe: x = 5 in die Ausgangsgleichung eingesetzt r =) = 7 3p 9 = 6= 6, d.h. es gibt keine Lösung! ² Im nächsten Beispiel wollen wir die Mittelpunktsgleichung der Ellipse herleiten. Die Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten (Brennpunkten) konstant (a) ist. Fadenkonstruktion einer Ellipse: An zwei Reißzwecken (Brennpunkten) wird ein Faden befestigt. Hält man beim eichnen den Faden immer gespannt, bekommt man eine Ellipse (vgl.skizze) 3

24 Die Ellipse ist durch die Beziehung r + r = a de niert. Wird das kartesische Koordinatensystem gemäß Skizze gewählt (a b), kann q man die Abstände wie folgt q berechnen r = (x + e) + y, r = (x e) + y Weiterhin gilt e = a b, denn die Hypotenuse des gepunkteten rechtwinkligen Dreieck ista, da die gestrichelte Linie insgesamt a ist. Wir haben somit folgende Beziehung: q (x + e) + y + q (x e) + y = a, mit e = a b Wie oben beschrieben, werden durch wiederholtes Au ösen nach den Wurzeln und anschließendes quadrieren, zunächst die Wurzeln beseitigen q q (x + e) + y + (x e) + y = a q q =) (x + e) + y = a (x e) + y (beide Seiten quadrieren) q =) (x + e) + y = 4a 4a (x e) + y + (x e) + y (man kann x,e,y kürzen) q =) xe = 4a 4a (x e) + y xe q =) a (x e) + y = a xe (erneut beide Seiten quadrieren) h i =) a (x e) + y = a xe = a 4 a xe + x e =) a x xe + e + y = a 4 a xe + x e =) a x + a e + a y = a 4 + x e =) x a e + {z } ay = a a e {z } b b =) x b + a y = a b =) Mittelpunktsgleichung der Ellipse x y + = a b 6.. Aufgaben. Lösen Sie folgende Wurzelgleichungen: a) p x p x + = 0 b) p x + p x + 8 = 9 c) + p x p x = 3 d) p x + a = p x + p b 4

25 7. Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen 7.. Ungleichungen Eine Ungleichung hat die Form T (x) T (x) wobei T (x) und T (x) Terme in x sind, die durch eine der Ordnungsrelationen (,<,,>) in Beziehung stehen. Beim Lösen von Ungleichungen muß man darauf achten, daß man äquivalent umformt! Achtung: Werden beide Seiten einer Ungleichung mit einem negativen Wert multipliziert oder durch einen negativen Wert dividiert, so kehrt sich die Ordnungsrelation um! Beispiele ² 3x + 4 < 5 ( x) + 8x Lösung: 3x + 4 < 5 ( x) + 8x () 3x + 4 < 0 + 3x () 0x < 6 =) Lösungsmenge: x > 6 0 = 0, 6 ² x <, (x 6= ) x + Die einfache Umformung durch Multiplikation mit x+, so daß man x < (x + ) erhalten würde, ist falsch (keine äquivalente Umformung!). Man muß sich nämlich Rechenschaft darüber ablegen, ob ggf. der Faktor x + negativ ist. Da dies möglich ist, muß man eine Fallunterscheidung durchführen. Lösung:.Fall: x + > 0, d.h. x > x < () x < (x + ) () x < x + x + () x > 3, da aber nach Voraussetzung sogar x > gelten muß, ergibt sich insgesamt die Teillösung: x >.Fall: x + < 0, d.h. x < x < () x > (x + ) x + Haben Sie die Umkehr der Ordnungsrelation gesehen? Nein?! Also nochmal in eitlupe: x x + < x+<0 () x > (x + ) () x > x + () x < 3, Nach Voraussetzung muß x < gelten, was aber durch x < 3 o ensichtlich erfüllt wird. Somit erhält man die Teillösung: x < 3 Die usammenfassung der beiden Teillösungen ergibt die Lösungsmenge: x < 3 _ x > oder in Intervallschreibweise (, 3) [ (,) ² Man löse die lineare Ungleichung ax b (a,b R) 5

26 .Fall a > 0 ax b () x b a.fall a = 0 ax b () 0 b, d.h. für b 0 ist jedes x R Lösung und für b < 0 existiert keine Lösung 3.Fall a < 0 ax b () x b a (Umkehr der Ordnungsrelation!) 8 µ, b a falls a > 0 R falls a = 0,b 0 >< usammenfassung der Lösungsmenge: L = µ ; falls a = 0,b < 0 b >: a, + falls a < 0 ² Man löse die quadratische Ungleichung x + x 0. Da der Graph von y = x + x eine nach oben geö nete Parabel darstellt und die Nullstellen x = 3;x = sind (vgl. S.0), ergibt sich sofort als Lösung x 3 _ x. 7.. Absolutbetrag Für viele Studenten scheint der Absolutbetrag ein Buch mit 7 Siegeln zu sein. Man weiß zwar, daß j 3, 4j = 3, 4 gilt, aber wieso ist jx j = x für x > 0 eigentlich falsch? De nition: ½ a für a 0 jaj =, (a R) heißt Absolutbetrag von a a für a < 0 Das ist also die unscheinbare De nition des Absolutbetrages, die soviel Kopfzerbrechen bereitet. Bemerkung: Geometrisch gedeutet, gibt ja bj auf der ahlengeraden den Abstand vom Punkt a zum Punkt b an. Eigenschaften: j xj = jxj, jx + yj jxj + jyj (Dreiecksungleichung) 0 jxj, jxj = 0 () x = 0 jxj c () c x c jx aj c () a c x a + c Die letzte Beziehung ist o ensichtlich, wenn man sich bewußt macht, daß jx aj c nichts anderes bedeutet, als das der Abstand von x zu a kleiner als c ist. Beispiele ² Was bedeutet nun jx j wirklich? Man wendet einfach die De nition des Betrages an und ersetzt a à x. z.b.: x = > 0 =) 6= 6

27 ½ (x ) für (x ) 0 jx j = (x ) für (x ) < 0 ½ x für x () jx j = (x ) für x < ² Für welche x R gilt jx j < x? Lösung: ½ x für x Wegen jx j = (x ) für x < (vgl. vorheriges Bsp.) (Fallunterscheidung noch zu unübersichtlich) müssen Fallunterscheidungen getro en werden.fall: x jx j < x Betragsau ösung () x < x () < 0 (ist immer wahr ) also erhält man die Teillösung: x.fall: x < jx j < x Betragsau ösung () (x ) < x () < x () < x, da aber x < vorausgesetzt war, ergibt sich als weitere Teillösung < x < Die usammenfassung der beiden Teillösungen ergibt die Lösungsmenge: fx R : x g [ x R : < x < ª = x R : < xª oder in Intervallschreibweise (, +) Man mache sich den Sachverhalt auch graphisch klar!. ² Für welche x R gilt (x ) < 9? Lösung: unächst sei an folgende Rechenregel erinnert: 0 a b () p a pb q 0 (x ) < 9 () (x ) < p 9 ACHTUNG! () jx j < 3 (vgl. (.), S. ) () 3 < x < 3 () < x < 5 Lösungsmenge: (, 5) ² Für welche x R gilt x + x < x +? Lösung: In die Betragsde nition substituieren wir zunächst a à x + x. Es gilt also: x + x = ½ x + x für x + x 0 x + x für x + x < 0 Die Bedingungen für die Fallunterscheidung sind noch nicht aussagekräftig, daher werden diese zunächst weiter untersucht. Der Graph von y = x +x ist eine nach oben geö nete Parabel. wischen den Nullstellen x = ;x =, (d.h. < x < ) liegt der Graph unterhalb der y-achse, also ist die Funktion in diesem Intervall negativ. usammenfaßt erhalten wir also: 7

28 x + x = ½ x + x für x _ x x + x für < x <.Fall: x _ x x + x < x + () x + x < x + () x < 4 () jxj < () < x < (vgl. Eigenschaften des Absolutbetrages) Da aber x _ x vorausgesetzt war, ergibt sich als Teillösung: x <.Fall: < x < x + x < x + () x + x < x + () 0 < x + x () 0 < x (x + ) () x < _ 0 < x (Man mache sich das klar!) Da jetzt < x < vorausgesetzt war, ergibt sich als Teillösung: 0 < x < Die usammenfassung der beiden Teillösungen ergibt die Lösungsmenge: 0 < x < Aufgaben. Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichungen a) 8x 3 < x + 9 b) 3 (3x ) 3x 0 3 4x + c) d) x 4 3x > 5 3 e) 4x 4 f) x + 4x x 6 g) x + a < a + h) (x + ) (x + a) + b a + (x + ) (x + b) x. Lösen Sie die Betragsstriche auf und fassen Sie soweit wie möglich zusammen. ja bj jb + 3aj jbj 5a mit 0 a b. 3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichungen und Ungleichungen: a) jx 3j = 5 b) x + 4 x 3 = c) jx j < 3 d) j3x 5j > jx + j e) x + x 3 f) x + 4x 5 > 8

29 8. Trigonometrie und goniometrische Gleichungen 8.. Trigonometrische Funktionen 8... Gradmaß und Bogenmaß Ebene Winkel werden in Gradmaß oder Bogenmaß angegeben. Umrechnung: Bogenmaß x 7! Gradmaß ϕ : ϕ = 80± π Gradmaß ϕ 7! Bogenmaß x : x = π 80 ± ϕ Die Unterteilung des Gradmaßes erfolgt analog zur Uhrzeit in Minuten und Sekunden: x ± ^= 60 0 (60 Minuten) 0 ^= (60 Sekunden) ± ^= Beispiele ² 7 ± = 7 ± + 0 ± ± = 7, 06 ± ^= π 80 ± 7, 06± = 0, 3003 rad ², 34 rad = 80± π, 34 ^= 70, 703 ± = 70 ± + 0, 703 ± 600 ± = = 70 ± 4, 8 0 = 70 ± , = 70 ± ACHTUNG: Klassische Fehlerquelle Überpüfen Sie bei Benutzung eines Taschenrechners die eingestellte Einheit (RAD oder DEG)!!! 8... Winkelfunktion sinα = a c cosα = b c tanα = a b tanα = sinα cosα cotα = b a cosα cotα = sinα rechtwinkliges Dreieck 9

30 Einige ausgewählte Werte der Winkelfunktionen: x 0 ^= 0 ± π 6 Tabelle: 8.. ^ = 30 ± π 4 ^ = 45 ± π 3 ^ = 60 ± π ^ = 90 ± sinx p 0 = 0 p = p p 3 p 4 = cosx p p 4 = 3 p p = p 0 = 0 tanx 0 p3 p 3 cotx p 3 p3 0 Graphische Darstellung: sin (x + π) = sin (x) cos (x + π) = cos (x) Trigonometrische Funktionen können durch Additionstheoreme umgeformt werden. Man sollte die ungefährestruktur kennen und für welche Umformungen sie geeignet sind. Hier einekleineauswahl. Additionstheoreme: 30

31 sin(x + π ) = cosx cos (x π ) = sinx sin(x + π) = sin x cos(x + π) = cosx sin x + cos x = + tan x = cos x sin(x x ) = sinx cosx cosx sinx cos(x x ) = cosx cosx sinx sinx sin(x) = sinx cosx cos(x) = cos x sin x tan(x x ) = tanx tanx tan(x) = tanx tanx tanx tan x µ µ x x x x sinx sinx = sin cos µ µ x + x x x cosx + cosx = cos cos µ µ x + x x x cosx cosx = sin sin 8.. Sinus- und Kosinussatz Sinussatz: Kosinussatz: a sinα = b sinβ = c sinγ c = a + b ab cosγ 8.3. Aufgaben. Rechnen Sie (ohne Taschenrechner) die gegebenen Winkel in Gradmaß bzw. in Bogenmaß um! a) ϕ = 45 ± b) ϕ = 35 ± c) ϕ = 40 ± d) ϕ = 35 ± e) x = π f) x = 3π g) x = π h) x = 7π Rechnen Sie die gegebenen Winkel in Gradmaß bzw. in Bogenmaß um! a) ϕ = 35 ± b) ϕ = 7 ± c) x =, 5 rad d) x = 0, 87 rad 3. Veri zieren Sie die Werte aus Tabelle 8.. durch Anwendung des Satzes von Pythagoras am rechtwinkligen gleichschenkligen bzw. gleichseitigen Dreiecks. 4. Bestimmen Sie (ohne Taschenrechner) aber unter Verwendung von Tabelle 8.. die Funktionswerte von sinx, cosx, tanx und cotx für a) x = π b) x = 3π c) x = 4π d) x = 7π e) ϕ = 0 ± f) ϕ = 35 ± g) ϕ = 330 ± h) ϕ = 0 ± i) ϕ = 70 ± 5. Berechnen Sie jeweils die Werte der drei anderen Winkelfunktionen a) sinα = 4 b) cosα = n 5 + n c) tanα = 5 Hinweis: Additionstheoreme verwenden. 3

32 6. Formen Sieµ mittels Additionstheoremen µ (siehe: 3.5, S.56) um: 3 7 a) y = sin x + π b) y = cos π x c) y = tan (π x) ³ d) sin α π ³ + sin α + π ³ π α ³ π α e) sin cos Lösen³ Sie folgende Gleichungen: x a) sin = p p 3 b) cos 3x + π = p c) tanx = 8. wei Straßen stoßen im Winkel von β = 08, 05 ± aufeinander. Sie sollen durch einen Kreisbogen mit dem Radius R = 50 m verbunden werden.wie lang ist der Bogen AB? 9. Aus einem Kreissektor mit dem entriwinkel β = 8, ± und dem Radius s = 38, cm entsteht durch zusammenrollen ein Kegel. Wie groß ist der Ö nungswinkel γ des Kegels? 0. An einem Punkt greifen zwei Kräfte F = 80 N und F = 450 N an, deren Wirkungslinien den Winkel δ = ^(F,F ) = 53 ± 0 0 bilden. Berechnen Sie die resultierende Kraft F R und den Winkel ε = ^(F,F R ).. Für eine Schwalbenschwanzführung ist das Maß x in Abhängigkeit vom Winkel α und dem Meßrollendurchmesser d zu berechnen. 3

33 9. Analytische Geometrie der Ebene 9.. Länge und Anstieg einer Strecke Abstand der Punkte P und P (d.h. Länge der Strecke): d = P P = p (x x ) + (y y ) (Pythagoras) Anstieg der Strecke P P : tanα = m = y y x x 9.. Formen der Geradengleichung Punktrichtungsform der Geradengleichung Eine Gerade ist durch Angabe eines Punktes P = (x,y ) und einer Richtung (Anstieg m = tanα) eindeutig bestimmt. y y x x = m () y y = m (x x ) () y = y + m (x x ) weipunktform der Geraden Eine Gerade ist durch Angabe zweier Punktes P = (x,y ) und P = (x,y ) eindeutig bestimmt. y y x x = y y x x () y y = y y x x (x x ) () Allgemeine lineare Funktion: y = y + y y x x (x x ) Ax + By + C = 0, (A 6= 0 _ B 6= 0) Im Fall B 6= 0 kann man auf die Normalform y = B Ax C B umrechnen. Im Fall B = 0 ergibt sich Gerade x = C A, die parallel zur y-achse verläuft. 33

34 9.3. Kreisgleichung Der Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt, dem Mittelpunkt, den gleichen Abstand haben, d.h. in einer Formel ausgedrückt. r = OP = p x + y (r - fester Radius) =) Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung x + y = r Mittelpunktsform der Kreisgleichung Kreismittelpunkt im Punkt M = (x 0,y 0 ) und Radius r (x x 0 ) + (y y 0 ) = r Bemerkung: Umformung der Mittelpunktsform: (x x 0 ) + (y y 0 ) = r () x xx 0 + x 0 + y yy 0 + y0 = r () x + y + ( x 0 ) x + ( y {z } 0 ) y + x 0 + y0 r = 0 {z } {z } A B C d.h. die Gleichung x + y + Ax + By + C = 0 beschreibt einen Kreis in der Ebene. Beispiele ² Man bestimme die Gleichung der Geraden, deren Anstiegswinkel α = π 4 den Punkt P = (; 3) geht. Lösung: Der Anstieg der Geraden ist ³ m = tan π = =) = y ( 3) = y x x =) y + 3 = ( ) (x ) =) y = x + 3 =) y = x beträgt und durch ² Man bestimme die Gleichung der Geraden durch die Punkte P = ( ; ) und P = (; 3) : Lösung: y ( ) 3 ( ) = x ( ) ( ) = = 3 =) y + = 3 (x + ) = 3 x 4 3 =) y = 3 x 7 3 ² Wie lautet die durch den Punkt P = ( ; ) gehende Gerade, die zu der Geraden y = x+3 parallel ist? Lösung: Anstieg der gesuchten Geraden ist m =, (da parallel zu y = x + 3) =) m = = y ( ) x ( ) = y + =) y + = (x + ) x + =) y = x + 34

35 ² Durch den Punkt P = ( ; 3) soll eine Gerade gezogen werden, die die Gerade y = x 5 unter einem Winkel von 45 ± schneidet. Wie lautet die Gleichung der Geraden? Lösung: Der Anstieg der gesuchten Geraden sei m = tanβ. Die gegeben Gerade hat den Anstieg m = tanα =. Man mache sich an einer Skizze klar, daß β α = 45 ± gelten muß! Nach dem Additiontheorem für den Tangens (vgl. 3.5, S.56) gilt: tan(x x ) = tanx tanx tanx tanx tanβ tanα =) = tan(β α) = + tanα tanβ = m + m =) + m = m =) m = 3 (Anstieg der gesuchten Geraden) =) y = 3x + n muß durch den Punkt P = ( ; 3) gehen. =) 3 = 3 ( ) + n =) n = 3 =) y = 3x 3 ² Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises x 4x + y + y + = 0. Lösung: O ensichtlich liegt noch nicht die Mittelpunktsform der Kreisgleichung vor - aber irgendwie etwas ähnliches. Das auberwort, um zur gewünschten Kreisgleichung zu gelangen, heißt quadratische Ergänzung (vgl. 3..4, S. 55) 0 = x 4x + y + y + = (x ) 4 + (y + ) + =) (x ) + (y + ) = 4 auf Mittelpunktsform gebracht: (x ) + (y ( )) = Also liegt ein Kreis mit dem Radius und den Mittelpunkt in (, ) vor. ² Um den Radius eines im Kreisbogen verlegten Gleises zu bestimmen, wurde zwischen zwei Punkten des Gleises die Entfernung l = 0m als Sehnenlänge und die dazugehörige Pfeilhöhe mit h = 6m gemessen. (Die Pfeilhöhe ist der größte Abstand des Kreisbogens von der zugehörigen Sehne.) Wie groß ist der Radius des Kreisbogens? Lösung: weckmäßigerweise betrachtet man das Problem in einem geeigneten Koordinatensystem. In Anwendungen muß man sich oft das passende Koordinatensystem erst besorgen. Man versucht es möglichst so zu legen, daß man Symmetrien ausnutzen kann, da sich dann i.a. die Formeln auch vereinfachen. Es bietet sich an, eine Koordinatenachse entlang der Pfeilhöhe durch den Mittelpunkt zu legen. (vgl. Skizze) Da der Anblick doch etwas ungewohnt ist, drehen wir alles noch in die vertrautere Perspektive. Die Mittelpunktsgleichung der Kreisgleichung lautet demnach: x + (y y 0 ) = r (man beachte, daß x 0 = 0) Durch Einsetzen der Punkte P = (0,h) = (0, 6) und P = ( l, 0) = (60, 0) erhält man das Gleichungssystem: (6 y 0 ) = r und 60 + y0 = r 35

36 Gleichsetzen ergibt: (6 y 0 ) = 60 + y 0 =) 36 y 0 + y 0 = y 0 =) y 0 = 97 =) r = 303m Der Gleisradius beträgt somit r = 303m Aufgaben Es ist empfehlenswert zu allen Übungsaufgaben eine Skizze anzufertigen.. Bestimmen Sie Länge und Anstiegswinkel der Strecke P P! a) P = ( ; ), P = ( ; 4) b) P = (; 3), P = ( ; 3). Man bestimme die Gleichung der Geraden, deren Anstiegswinkel α beträgt und die durch den Punkt P geht, wobei: a) α = 30 ±, P = ( ; ) b) α = 60 ±, P = ( ; ) c) α = 35 ±, P = ( 3; 3) d) α =, 5 ±, P = ( 0.5;.5) 3. Man bestimme die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte P und P geht, wobei: a) P = (; 0), P = ( ; 4) b) P = ( ; ), P = (; 3) c) P = (0, 5; 0, ), P = ( 0, ;, ) d) P = (a; ), P = ( ; a) 4. Durch den Punkt P = (3; ) ist zu der Geraden a) y = x + 3 b) x 4 + y 5 = die Parallele zu ziehen. Wie lautet die Gleichung? 5. Durch den Punkt P = (; 3+p 3 3 ) soll eine Gerade gezogen werden, die die Gerade y = p 3x + p 3 unter einem Winkel von 30 ± schneidet. Wie lautet die Gleichung der Geraden? 6. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises a) x + 4x + y 4y + 7 = 0 b) x 6x + y + y + = 0 7. Stellen Sie die Gleichung des Kreises auf, der den Mittelpunkt M = ( ; 3) hat und durch den Punkt P = (; ) geht. 8. Stellen Sie die Gleichung des Kreises auf, der durch den Punkt P = (3; 4) verläuft und beide Koordinatenachsen berührt. 36

37 0. Graphische Darstellung elementarer Funktionen Oftmals reicht es aus, sich einen groben Überblick über den Verlauf des Graphen einer Funktion zu besorgen (qualitativer Verlauf). Viele Studenten gehen dazu folgenden Weg. Sie fangen an, wild auf dem Taschenrechner herumzuklimpern (und verrechnen sich manchmal) um eine Wertetabelle zu erstellen. Anschließend werden die Punkte kühn verbunden und das Ergebnis als der gesuchte Graph verkauft. Besser ist es, wenn man die Graphen der wichtigsten elementaren Funktion kennt und aus diesen Kenntnissen heraus die Graphen ähnlicher Funktionen herleiten kann. Einige markante Funktionswerte kann man dann durchaus zum eichnen heranziehen, um das Ergebnis abzurunden. 0.. Manipulation mit Funktionsgraphen Im folgenden Abschitt wird vorausgesetzt, daß der Graph der Funktion y = f(x) bekannt ist. Einige Manipulationen werden an diesem Graphen (vgl. Skizze) veranschaulicht. Beachten Sie, daß sich bei diesen Manipulation auch der De nitionsbereich der Funktion verändern kann Spiegelung Spiegelung an x-achse Spieglung an der y-achse Von besonderem Interesse sind Funktionsgraphen, die bei gewissen Spiegelungen invariant bleiben, d.h. sie ändern sich nicht. Eine Funktion y = f(x) heißt gerade, wenn sie bei einer Spiegelung bzgl. der y-achse invariant bleibt, d.h. f( x) = f(x) Eine Funktion y = f(x) heißt ungerade, wenn sie bei einer Spiegelung bzgl. der x-achse und anschließenden Spiegelung bzgl. der y-achse (oder umgekehrt) invariant bleibt, d.h. f( x) = f(x) 37

38 0... Verschiebung (Translation) Die Verschiebung (Translation) des Funktionsgraphen ist ein geeignetes Hilfsmittel, um schnell einen Überblick über den qualitativen Verlauf der Funktion y = f(x x 0 ) + y 0 zu bekommen. Man zeichnet dazu zunächst ein in den Punkt P 0 = (x 0,y 0 ) verschobenes Hilfskoordinatensystem (gepunktete Linien) und anschließend darin den ursprünglichen Graphen. =) Streckung bzw. Stauchung Wir betrachten die Funktion y = f(x). ½ Streckung des Graphen bzgl. der x-achse für 0 < a < y = f(ax)! Stauchung des Graphen bzgl. der x-achse für a > Falls a < 0 ist, muß man zuvor eine Spiegelung an der y-achse ausführen, denn f(ax) = f( jajx) Stauchung in x-richtung Streckung in x-richtung y = af(x)! ½ Streckung des Graphen bzgl. der y-achse für a > Stauchung des Graphen bzgl. der y-achse für 0 < a < Falls a < 0 ist, muß man zuvor eine Spiegelung an der x-achse ausführen, denn af(x) = jajf(x) 38

39 Streckung in y-richtung Stauchung in y-richtung Absolutbetrag einer Funktion Um die Funktion ½ f(x), f(x) 0 y = jf(x)j = f(x), f(x) < 0 graphisch darzustellen, braucht man nur den Teil des Graphen der Funktion f(x), der sich unterhalb der x-achse be ndet, an der x-achse zu spiegeln. 0.. Lineare Funktionen Normalform der Geradengleichung: f(x) = mx + b, (m,b R) Die Gerade hat den Anstieg m = tanα, (α 6= 90 0 ) Beispiele Man schaue sich hierzu auch nochmals die Beispiele ab Seite 34 an. ² Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte P = (, ) und P = (3, ) geht.. Lösungsvariante: Die Geradengleichung muß die Bedingungen m ( ) + b = und m 3 + b = 39