Prof. Dipl.-Ing. Edgar Neuherz MATHEMATIK. Mathematik und angewandte Mathematik HAK

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1 Prof. Dipl.-Ing. Edgar Neuherz MATHEMATIK Mathematik und angewandte Mathematik HAK

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3 lizensiert für: Alexander Brunner Arbeitsblätter Mathematik ( :3) Schuljahr 0/3 Verantwortlich für den Inhalt Dipl.-Ing. Edgar Neuherz Graz, 03

4 Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch verboten ist - 4 Absatz(6) der Urheberrechtsgesetznovelle 003: Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind DI Edgar Neuherz Strauchergasse 3, A-800 Graz Alle Rechte vorbehalten. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere das der Übersetzung, des Nachdrucks, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf fotomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweise Verwertung, vorbehalten. ISBN NEO Website: mathematik.neo-lernhilfen.at an neo.verlag@me.com

5 Inhaltsverzeichnis Aufgaben. Komplexe Zahlen Gleichungen Konvergenz von Reihen Funktionen Definitions-, Bildmenge Reihenentwicklung Winkelfunktionen Differentialrechnung Ableitungen Potenzreihen Konvergenzradius von Potenzreihen Lösungen 7. Komplexe Zahlen Gleichungen Konvergenz von Reihen Funktionen Definitions-, Bildmenge Reihenentwicklung Winkelfunktionen Differentialrechnung Ableitungen Potenzreihen Konvergenzradius von Potenzreihen

6 6 NEO Lernhilfen Mathematik lizensiert für Alexander Brunner 0:3

7 Aufgaben

8 NEO Lernhilfen Mathematik lizensiert für Alexander Brunner 0:3

9 Mathematik NEO Lernhilfen 3. Komplexe Zahlen.. Gleichungen Lösen Sie folgende Gleichungen über den komplexen Zahlen. Geben Sie jeweils Real- und Imaginärteil der Lösung an: 0: ( + i)z + 9 (3 + 4i)z (9 + 4i) 8 5i z 7z + (3 i) 0.. Konvergenz von Reihen Überprüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz 0:3 3 4 ( + i) n n 3 n (3 5i) n n0 n! Funktionen.. Definitions-, Bildmenge Geben Sie eine möglichst große Teilmenge D R an, sodass f : D R injektiv ist. Geben Sie weiters eine Teilmenge B R an sodass f : R B surjektiv ist. 0: Sei f : R R mit x x + x :3 lizensiert für Alexander Brunner

10 4 NEO Lernhilfen Mathematik.. Reihenentwicklung 0:3 4 Zeigen Sie, dass für jedes x R ( + x ) n e x n n..3 Winkelfunktionen 0: Zeigen Sie, dass für reelle s und t folgende Identitäten gelten: ( s + t ) ( s t ) 7 cos(s) + cos(t) cos cos 8 cos(s) cos(t) (cos(s + t) + cos(s t)) 0: Gegeben sei die Folge x 0, x n+ + x. Zeigen Sie 9 n n x n π (Hinweis: verwenden Sie die Halbwinkelsätze mit 0 x π ) 0: Zeigen Sie 0 tan(x + y) tan(x) + tan(y) tan(x) tan(y) tanh(x + y) tanh(x) + tanh(y) tanh(x) tanh(y) ln { + x artanh(x) wenn x < x arcoth(x) wenn x > lizensiert für Alexander Brunner 0:3

11 Mathematik NEO Lernhilfen 5.3 Differentialrechnung.3. Ableitungen Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Ausdrücke: 3 + ex ln (x + cos ( x ) ) 6 (x x ) x 0: x cos(x) 7 x xx 5 x x 8 Arcosh x Zeigen Sie die folgenden Ungleichungen: 0: sin(x) < x < tan(x) für 0 < x < π 0 cos(x) x für x R Arsinh(x) ln( + x) für x > Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: x 0 sin x cos x 3 x 0 + (ex ) x ( 4 x ln x 5 x x ( ln ) x ( + x ) ) x 0: :3 lizensiert für Alexander Brunner

12 6 NEO Lernhilfen Mathematik.4 Potenzreihen.4. Konvergenzradius von Potenzreihen 0:3 Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihen k k k k! xk 7 ( + k k) x k 8 k0 (k + ) (x) k k0 0: Ersetzen Sie folgende Funktionen durch ihre Taylerpolynome des gengegebenen Grades, und schätzen Sie den Fehler im angegebenen Bereich ab: 9 f (x) arctan(x) durch T 3 ( f, x, 0) in x /0 30 f (x) Arsinh(x) durch T 3 ( f, x, 0) in x /0 0:3 3 Diskutieren Sie die folgenden reellen Funktionen (Skizzen!): f (x) x x + 3 f (x) x e x 33 f (x) x ln(x) 34 f (x) e x sin(x), x 0 0: Entwickeln Sie die folgende Funktion f (x) in eine Potenzreihe (Taylor-Reihe um x 0). Für welche Werte von x konvergiert diese Reihe? Leiten Sie daraus ab: n0 ( ) n n + π 4 Hinweis: verwenden Sie für die Berechnung der höheren Ableitungen folgende Beziehung: 35 f (x) arctan(x) + x ( i x + i i ) x i lizensiert für Alexander Brunner 0:3

13 Lösungen

14 8 NEO Lernhilfen Mathematik lizensiert für Alexander Brunner 0:3

15 Mathematik NEO Lernhilfen 9. Komplexe Zahlen.. Gleichungen Lösen Sie folgende Gleichungen über den komplexen Zahlen. Geben Sie jeweils Real- und Imaginärteil der Lösung an: 0: ( + i)z + 9 (3 + 4i)z (9 + 4i) 8 5i ( + i) z + 9 (3 + 4i) z (9 + 4i) 8 5i ( + i) z + 9 [ (3 + 4i) z (9 + 4i) ] (8 5i) ( + i) z + 9 (3 + 4i) (8 5i) z (9 + 4i) (8 5i) ( + i) z + 9 (4 + 3i 5i + 0) z (7 + 3i 45i + 0) ( + i) z + 9 (44 + 7i) z (9 3i) 9 + (9 3i) (44 + 7i) z ( + i) z 0 3i [ (44 + 7i) ( + i) ] z 0 3i [ i i ] z 0 3i (43 + 5i) z 0 3i z i 0 3i 43 5i z i 43 5i (0 3i) (43 5i) z 43 (5i) i z i i :3 lizensiert für Alexander Brunner

16 0 NEO Lernhilfen Mathematik z 7z + (3 i) 0 Quadratische Gleichung: z 7z + (3 i) 0 z 7z (3 i) z 7z 3 + i ( ) ( ) 7 7 z 7z i z 7z +,5,5 3 + i (z 7 ) 0,75 + i z 7 ± i z 7 ± 3 + 4i 4 z 7 ± 3 + 4i Darstellung in Polarkoordinaten 3 + 4i r.e φ i r 3 + 4i ( 3) ( ) 4 φ 80 arctan 80 53,300 3 φ 6, i 5 e i 6,8698 Wurzel einer komplexen Zahl 3 + 4i 5 e i 6,8698 6,8698 i 5 e 5 e i 63, i 5 (cos(63,4349) + i sin(63,4349) 3 + 4i + i Quadratische Gleichung: z 7 ± 3 + 4i 7 + ( + i) z 7 ( + i) z 7 ± ( + i) i 7 i 4 + i 3 i lizensiert für Alexander Brunner 0:3

17 Mathematik NEO Lernhilfen.. Konvergenz von Reihen Überprüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz 0: ( + i) n n n n 3 ( + i) n n 3 Wurzelkriterium n n ( + i) an n n n n 3 n + i n n n 3 Betrag einer komplexen Zahl z + i Wurzelkriterium n z + i + n n an n n n 3 n } {{ } + i n n 3 n n + i n n n 3 + i n n n n n 3 > Reihe ist divergent + i n n n 3 0:3 lizensiert für Alexander Brunner

18 NEO Lernhilfen Mathematik 4 (3 5i) n n! n0 (3 5i) n n! n0 Quotientenkriterium a n+ n a n (3 5i) (n+) n (n + )! n! (3 5i) n (3 5i) n (3 5i) n (n + ) n! n! (3 5i) n 3 5i n n + Betrag einer komplexen Zahl z 3 5i z 3 5i 3 + ( 5) 34 Quotientenkriterium a n+ n a n 3 5i n n + 34 } {{ n + } 0 n 0 < Reihe ist konvergent lizensiert für Alexander Brunner 0:3

19 Mathematik NEO Lernhilfen 3. Funktionen.. Definitions-, Bildmenge Geben Sie eine möglichst große Teilmenge D R an, sodass f : D R injektiv ist. Geben Sie weiters eine Teilmenge B R an sodass f : R B surjektiv ist. 0: Sei f : R R mit x x + x + 7. Scheitelpunktform der Parabel y (x x S ) + y S Herleitung der Scheitelpunktform y x + x + 7 y 7 x + x Quadratische Ergänzung y 7 + x + x + y 6 (x + ) y 6 (x ( )) y (x ( ) ) }{{} + }{{} 6 x S y S Scheitelpunktform x (x + ) + 6 Koordinaten des Scheitels der Parabel S ( x S y S ) ( 6 ) f ist injektiv (maximal Schnittpunkt) D R D { x R x } f ist surjektiv (mindestens Schnittpunkt) B R B { y R y 6} f (x) x 0:3 lizensiert für Alexander Brunner

20 4 NEO Lernhilfen Mathematik.. Reihenentwicklung 0:3 4 Zeigen Sie, dass für jedes x R gilt: ( + x ) n e x n n Binomische Formel n ( + x n) n n k0 ( ) n ( x k n Obere Abschätzung ( ) n ( x ) k n! ( x k k n (n k)! k! n) k0 k0 n (n )... (n k + ) (n k)! ( x k (n k)! k! n) k0 k0 ) k k Faktoren { }} { n (n )... (n k + ) x k n k k! { }} { n n n... n k + xk n n k! k0 { ( }} { n k0 k0 ( + x n n n) n ) n e x n ( + x n x k k! k0 ( n k k Faktoren ) ( x n ) ({ }} { n ) k n )... k0 {( }} { k n x k k! ex ) xk k! Untere Abschätzung ( ) n ( x ) k n! ( x k k n (n k)! k! n) k0 k0 n (n )... (n k + ) (n k)! ( x k (n k)! k! n) k0 k0 k Faktoren { }} { n (n )... (n k + ) x k n k k! lizensiert für Alexander Brunner 0:3

21 Mathematik NEO Lernhilfen 5 mit N < n folgt: n k0 { }} { N ( N n mit N folgt: N { }} { n n n... n k + xk n n k! k0 N k0 >(n N) {}}{ n n N (n N) k k0 ) k xk k! N N k0 k0 x k k! ex ( + x n n n) n ( + x ) n e x n n Obere und Untere Abschätzung x k k! k0 n k ( n k k Faktoren >(n N) {}}{ n... n ) ( x n xk k! N k0 ) k n >(n N) { }} { n k + xk n k! ( n N k0 n ) k N ( xk k! N ) k xk n k! k0 { }} { N ( N ) k xk n k! N N k0 x k k! ex e x n ( + x n ) n e x ( + x ) n e x n n 0:3 lizensiert für Alexander Brunner

22 6 NEO Lernhilfen Mathematik..3 Winkelfunktionen 0: Zeigen Sie, dass für reelle s und t folgende Identitäten gelten: ( s + t ) ( s t ) 7 cos(s) + cos(t) cos cos Substitution u s + t v s t u + v s + t + s t s + t + (s t) u v s + t s t s + t (s t) cos(u + v) cos(u) cos(v) sin(u) sin(v) cos(u v) cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v) cos(u + v) + cos(u v) cos(u) cos(v) sin(u) sin(v) + cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v) cos(u + v) + cos(u v) cos(u) cos(v) Einsetzen von u s + t und v s t : ( s + t ) ( s t ) cos(s) + cos(t) cos cos 8 cos(s) cos(t) (cos(s + t) + cos(s t)) s t cos(s) cos(t) (cos(s + t) + cos(s t)) cos(s + t) cos(s) cos(t) sin(s) sin(t) cos(s t) cos(s) cos(t) + sin(s) sin(t) cos(s + t) + cos(s t) cos(s) cos(t) sin(s) sin(t) + cos(s) cos(t) + sin(s) sin(t) cos(s + t) + cos(s t) cos(s) cos(t) + cos(s) cos(t) cos(s + t) + cos(s t) cos(s) cos(t) (cos(s + t) + cos(s t)) cos(s) cos(t) lizensiert für Alexander Brunner 0:3

23 Mathematik NEO Lernhilfen 7 Gegeben sei die Folge x 0, x n+ + x. Zeigen Sie 0: n n x n π (Hinweis: verwenden Sie die Halbwinkelsätze mit 0 x π ) Zeigen Sie 0: tan(x) + tan(y) 0 tan(x + y) tan(x) tan(y) sin(x + y) tan(x + y) cos(x + y) tan(x) + tan(y) tan(x) tan(y) sin(x) + sin(y) cos(x) cos(y) sin(y) cos(x) cos(y) sin(x) sin(x) cos(y)+sin(y) cos(x) cos(x) cos(y) cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) cos(x) cos(y) sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x) cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin(x + y) cos(x + y) tan(x + y) tanh(x) + tanh(y) tanh(x + y) tanh(x) tanh(y) sinh(x + y) tanh(x + y) cosh(x + y) tanh(x) + tanh(y) tanh(x) tanh(y) sinh(x) + sinh(y) cosh(x) cosh(y) sinh(y) cosh(x) cosh(y) sinh(x) sinh(x) cosh(y)+sinh(y) cosh(x) cosh(x) cosh(y) cosh(x) cosh(y) sinh(x) sinh(y) cosh(x) cosh(y) sinh(x) cosh(y) + sinh(y) cosh(x) cosh(x) cosh(y) sinh(x) sinh(y) sinh(x + y) cosh(x + y) tanh(x + y) ln { + x artanh(x) wenn x < x arcoth(x) wenn x > Fall : x < ln + x x artanh(x) e x e x tanh( ) e x + e x ( tanh ln + x ) e x e +x ln x e +x ln x +x ln x + e +x ln x +x x x +x +x x + x +x ( e ln +x x + x + x + x + x x x ) ( ) +x ln e x ( ) e ln +x x + ( e ln +x x +x +x x x x +x +x +x+ x x x +x ) +x x +x x + x +x x +x ( + x) ( x) ( + x) + ( x) 0:3 lizensiert für Alexander Brunner

24 8 NEO Lernhilfen Mathematik Fall : x > ln + x x arcoth(x) e x + e x coth( ) e x e x ( coth ln + x ) e x e +x ln x + e +x ln x +x ln x e +x ln x +x x + x +x +x x x +x ( e ln +x x + x + x + x x + x x ) + ( ) +x ln e x ( ) e ln +x x ( e ln +x x +x +x+ x x x +x +x +x x x x +x ) +x x + +x x x +x x +x ( + x) + (x ) ( + x) (x ) lizensiert für Alexander Brunner 0:3

25 Mathematik NEO Lernhilfen 9.3 Differentialrechnung.3. Ableitungen Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Ausdrücke: 3 y ( )) x + e x ln (x + cos 0: Substitution(en) ( ) u(x) u cos x ( ) u sin x v(x) v ln ( x + u ) v ( ) x 3 sin ( x ) x + u ( + u u ) w(x) w + e x ( + e x ) x 3 sin α sin α cos α { ( }} ) ( {) + cos sin x x x 3 x + cos ( ) x w ( + ex ) e x + e x Ableitung y ( )) x + e x ln (x + cos w(x) v(x) w v y w v + w v ex ln ( x + cos ( x )) + e x + e x ( )) e x x (x + e ln + cos + + e x x + ex ( + sin x + cos ( x ) ) x x 3 ( ) + sin x x 3 x + cos ( x ) ( ) + sin x x 3 x + cos ( x ) 4 x cos(x) Substitution(en) u(x) u x cos x u x cos x + x ( sin x) x cos x x sin x Ableitung y x cos(x) u y ln() u u ln() x cos(x) (x cos x x sin x) 0:3 lizensiert für Alexander Brunner

26 0 NEO Lernhilfen Mathematik 5 x x x {}}{ y x x ( e ln x ) x e x ln x Substitution(en) u x ln x u ln x + x x ln x + x x y e u y e u u e x ln x (ln x + ) x x (ln x + ) 6 (x x ) x x {}}{ y (x x ) x x x ( e ln x ) x e x ln x Substitution(en) u x ln x u x ln x + x x x ln x + x x ( ln x + ) x (ln x + ) y e u y e u u (x x ) x x (ln x + ) x x + (ln x + ) 7 x xx x {}}{ y x xx ( e ln x ) xx e xx ln x Substitution(en) u x x ln x u x x (ln x + ) ln x + x x x xx ln x (ln x + ) + xx x ] y e u y e u u x xx [x x ln x (ln x + ) + xx x 8 Arcosh x Substitution(en) u x u x y Arcosh x y u u x x x (x ) lizensiert für Alexander Brunner 0:3

27 Mathematik NEO Lernhilfen Zeigen Sie die folgenden Ungleichungen: 0: sin(x) < x < tan(x) für 0 < x < π 0 cos(x) x für x R Arsinh(x) ln( + x) für x > 0:3 lizensiert für Alexander Brunner

28 NEO Lernhilfen Mathematik 0: Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: x 0 sin x cos x Substitution(en) Zähler Z u sin(x) u cos(x) cos(x) Z u Z u u Nenner N sin x cos x { }} { sin(x) cos(x) 3 sin(x) cos(x) cos(x) 8 sin(x) cos(x) cos(x) N cos(x) N sin(x) Regel von l Hospital Z x 0 N 8 sin(x) cos(x) cos(x) x 0 sin(x) x 0 + (ex ) x x 0 (ex ) x ) x + x 0 + eln(ex ex ln(ex ) e x 0+ x ln(e x ) x 0 + ln(e x ) x 0 + x ln(ex ) x 0 + Substitution(en) Regel von l Hospital x u e x u e x Z ln(u) Z u u ex e x e x N x N x Z x 0 + N x 0 + Regel von l Hospital e x x x x 0 + e 0 x 0 Z x Z x N e x N e x Z x 0 + N x 0 x 0 + e x 0 x 0 (ex ) x e x 0+ x ln(e x ) e lizensiert für Alexander Brunner 0:3

29 Mathematik NEO Lernhilfen 3 ( 4 x ln x ) x ( x ln x ) x ln x x x (x ) ln x 0 0 Regel von l Hospital Z x N x Regel von l Hospital Z x ln x Z x x x N (x ) ln x N ln x + (x ) x ln x + x x x x x x (ln x + ) x x ln x + x Z x Z N x ln x + x N ln x + x x + ln x + Z x N x ln x + x x ln x + x 0 0 ( ( 5 x ln + ) ) x x x ( ( x x ln + ) ) x x 0:3 lizensiert für Alexander Brunner

30 4 NEO Lernhilfen Mathematik.4 Potenzreihen.4. Konvergenzradius von Potenzreihen 0:3 Überprüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz k k k k! xk Quotientenkriterium a k k a k+ k k k k! (k + )! (k + ) k+ k k k k! (k + ) k! (k + ) (k + ) k k k k (k + ) k ( ) k k k k k (k + ) k k k k + k + k ( ) k + k e ( + k k) x k k0 ( + k k) x k k0 geometr. Reihe {}}{ x k + k0 k k x k k0 Quotientenkriterium a k k a k+ k k k (k + ) k+ k k k (k + ) k k k (k + ) k k (k + ) ( ) k k k + k + k (k + ) (x) k k0 k lizensiert für Alexander Brunner 0:3

31 Mathematik NEO Lernhilfen 5 Ersetzen Sie folgende Funktionen durch ihre Taylerpolynome des gengegebenen Grades, und schätzen Sie den Fehler im angegebenen Bereich ab: 0: f (x) arctan(x) durch T 3 ( f, x, 0) in x /0 30 f (x) Arsinh(x) durch T 3 ( f, x, 0) in x /0 0:3 lizensiert für Alexander Brunner

32 6 NEO Lernhilfen Mathematik 0:3 3 Diskutieren Sie die folgenden reellen Funktionen (Skizzen!): f (x) x x + Berechnung der Definitionsmenge: Polstelle(n) (Division durch Null) x Polstelle D R\{ } keine negative Wurzel (Zähler 0 Nenner < 0) } x 0 x + x + > 0 x > keine negative Wurzel (Zähler 0 Nenner > 0) } x 0 x + x + < 0 x < (Gesamt)Definitionsmenge D D D 3 D {x R x < + x} Nullstellen x f (x) x + 0 x 0 x + + D N ( 0) Extremstellen (Minima, Maxima u x u } v x + v f (x) f (x) ( u ) u v uv v v x + f (x) (x + ) 0 x 0 (x + ) (x )(x + ) 4 v u ( x + ) ( x ) D {x R + x} D 3 {x R x < } u ( u ) v v (x + ) (x + ) (x )(x + ) 3 keine Extremstellen x + x Monotonie-Intervalle (monoton wachsend, monoton fallend Funktion im Bereich x < < x. Achtung: x : f x + (x) > 0 Funktion streng monoton wachsend für x D\{} (x + ) } {{ } } {{ x } >0 > lizensiert für Alexander Brunner 0:3

33 Mathematik NEO Lernhilfen 7 Wendepunkte u (x + ) u (x + ) 3 x v v x + (x + ) f (x) u v uv (x + ) 3 v x + x x x+ (x + ) (x+) f (x) u v x+ x x x+ (x + ) 3 (x ) (x + ) 4 (x + ) x + x + x x (x + ) x + 3 x f (x) (x + ) 3 (x + ) 3 x + x + x + x 0 x D x + (x ) x (x + ) 3 x + x x x 0 x x 0 x 3 D keine Wendepunkte x + x x x mögliche Wendepunkte (x ) x + x Krümmung (konkav, konvex) f x (x) (x + ) 3 x + x x Funktion im Bereich x < : f x (x) x > 0 (x + ) } {{ } 3 } {{ x + } } x {{ } <0 >0 <0 Funktion konvex (links gekrümmmt) Funktion im Bereich < x: f (x) (x + ) 3 } {{ } >0 x x + } {{ } >0 x < 0 } x {{ } Funktion konkav (rechts gekrümmt) <0 Verhalten für x ± (Polstellen, Assymptoten) Polstelle(n) (Division durch Null) x x x + x + x Polstelle senkrechte Asymptote bei x x x + x x x + x + x + x x + x waagrechte Asymptote bei y + 0:3 lizensiert für Alexander Brunner

34 8 NEO Lernhilfen Mathematik 3 f (x) x e x Berechnung der Definitionsmenge: Nullstellen Extremstellen (Minima, Maxima Wendepunkte Monotonie-Intervalle (monoton wachsend, monoton fallend Krümmung (konkav, konvex) Verhalten für x ± (Polstellen, Assymptoten) lizensiert für Alexander Brunner 0:3

35 Mathematik NEO Lernhilfen 9 33 f (x) x ln(x) Berechnung der Definitionsmenge: Nullstellen Extremstellen (Minima, Maxima Wendepunkte Monotonie-Intervalle (monoton wachsend, monoton fallend Krümmung (konkav, konvex) Verhalten für x ± (Polstellen, Assymptoten) 0:3 lizensiert für Alexander Brunner

36 30 NEO Lernhilfen Mathematik 34 f (x) e x sin(x), x 0 Berechnung der Definitionsmenge: Nullstellen Extremstellen (Minima, Maxima Wendepunkte Monotonie-Intervalle (monoton wachsend, monoton fallend Krümmung (konkav, konvex) Verhalten für x ± (Polstellen, Assymptoten) lizensiert für Alexander Brunner 0:3

37 Mathematik NEO Lernhilfen 3 Entwickeln Sie die folgende Funktion f (x) in eine Potenzreihe (Taylor-Reihe um x 0). Für welche Werte von x konvergiert diese Reihe? Leiten Sie daraus ab: 0: n0 ( ) n n + π 4 Hinweis: verwenden Sie für die Berechnung der höheren Ableitungen folgende Beziehung: 35 f (x) arctan(x) + x ( i x + i i ) x i Entwicklung Taylorpolynom: n f (k) (x 0 ) T n ( f, x, x 0 ) (x x 0 ) k k! Ableitungen k0 f (x) arctan(x) f (0) (x 0 ) f (x 0 ) arctan(0) 0 + ( ) f () (x 0 ) + x + i (x + i) i + { }} {{ }} { i (x i) (0 + i) i + (0 i) i i f () (x 0 ) ( ) i (x + i) i { }} {{ }} { i (x i) (0 + i) i 0 (0 i) f (3) (x 0 ) + f (4) (x 0 ) 3 f (5) (x 0 ) ( ) i (x + i) i 3 (x i) 3 ( ) i (x + i) i 4 (x i) 4 ( ) i (x + i) i 5 (x i) { }} {{ }} { i (0 + i) i! 3 (0 i) 3 +i +i { }} {{ }} { i (0 + i) i 0 4 (0 i) { }} {{ }} { i (0 + i) i + 4! 5 (0 i) 5... ( ) { f (k) k (k )! i (x) ( ) (x + i) i f k+ (x 0 ) ( ) k (k)! Ableitung N u k (x i) k f k (x 0 ) 0 Ableitung N g Entwicklung Taylorpolynom (nur ungerade Ableitungen): T n ( f, x, x 0 ) n k0 n k0 f (k+) (x 0 ) (k + )! (x x 0) (k+) ( ) k (k)! (k + ) (k)! x(k+) n k0 k0 ( ) k (k)! x (k+) (k + )! ( ) k k + x(k+) 0:3 lizensiert für Alexander Brunner

38 3 NEO Lernhilfen Mathematik lizensiert für Alexander Brunner 0:3