Ferienkurs Analysis 1 für Physiker Integration - Aufgaben

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1 Ferienkurs Analysis für Physiker Integration - Aufgaben Jonas Funke

2 Bemerkung Bemerkung Es sollten zuerst die Aufgaben, die nicht mit einem * versehen sind bearbeitet werden. Die Aufgaben die mit einem * versehen sind, bieten inhaltlich nicht viel Neues aber dienen zur Verbesserung des Rechenkalküls und können zu hause oder -wenn noch Zeit bleibt - nach den anderen Aufgaben bearbeitet werden. 2 Partielle Integration 2. Aufgabe Aufgabe Man berechne die folgenden Integrale: x 2 e a x mit a * x 2 cos(x) e x cos(5x) Lösung Zweimaliges partielles Intgerieren führt auf: ( x 2 e a x = a x2 2 a 2 x + 2 ) a 3 e ax Zweimaliges partielles Intgerieren führt auf: x 2 cos ( x) = (x 2 2) sin(x) + 2 cos(x) Zweimaliges partielles Intgerieren führt auf: e x cos(5x) = e x cos(5x) + 5e x sin(5x) 25 e x cos(5x) und damit erhält man durch Umstellen: e x cos(5x) = (5 sin(5x) cos(5x))e x 26 2

3 2 Partielle Integration 2.2 Aufgabe Aufgabe Man gebe eine Rekursionsformel für C n = * π/2 cos n (x) () an. L n = e ln n (x) (2) Lösung Mit Partieller Integration (u = cos(x) und v = cos n (x)) erhält man π/2 C n = cos n (x) = sin(x) cos n (x) π/2 + (n ) sin 2 (x) cos n 2 (x) = + (n ) ( cos 2 (x)) cos n 2 (x) = (n )(C n 2 C n ) C n = n n C n 2 Mit u = und v = ln(x) n folgt 2.3 Aufgabe L n = e ln(x) n = x ln(x) n e e n ln(x) n = e nl n Mit n, m N berechne man (zunächst rekursiv und damit dann explizit) I n,m = 2.4 Lösung x n ( x) m Mit der Substitution u = x n und v = ( x) m erhält man: I n,m = x n ( x) m = xn+ n + ( x)m + = m n + I n+,m = = m n + m n n + m m n + m n + m n + 2 I n+2,m 2 =... I n+m, }{{} /(n+m+) = m! n! (n + m + )! x n+ ( x) m (3) 3

4 3 Substitution 3 Substitution 3. Aufgabe Aufgabe Man berechne das Integral sin(x) (Substitution: u = tan( x ) und sin(x) = 2 2 tan(x/2) + tan 2 (x/2) ) + cosh(x) (Substitution: u = e x, cosh(x) = 2 (ex + e x )) cos(x) sin(2x) Lösung Mit u = tan( x 2 ), = 2( + u2 )du und sin(x) = 2u +u 2 folgt: 2 +u 2 2u du = u du = ln u + c = ln tan(x 2 ) + c +u 2 Mit der Substitution u = e x + cosh(x) = u + 2 (u + u )du = 2 du ( + u) 2 = 2 + u +c = 2 + e x +c Mit sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) und der Substitution u = cos(x) erhält man: cos(x) sin(2x) = 2 cos 2 (x) sin(x) = 2 u 2 du = 2 3 cos3 (x)+c 4 Partialbruchzerlegung 4. Aufgabe Aufgabe Man berechne die Integrale: 3x x 3 + 3x 2 4 4

5 4 Partialbruchzerlegung x 7 + x 5 + x 3 x 4 x 3 + x d)* x 4 ( + x) e)* x 2 ( + x 2 ) 2 (Hinweis: Man verwende für das Integral I n =, dass I (+x 2 ) n n = 2(n ) ( (2n 3)I n ) (kann durch partielle Integration von I n gezeigt werden) und I = arctan(x) gilt.) x + (+x 2 ) n Lösung Erste NST durch x = und Polynomdivision ergibt: 3x x 3 + 3x 2 4 = 3x (x )(x + 2) 2 = A x + B x C (x + 2) 2 Also Koeffizienten erhält man A = /3, B = /3 und C = 2. Es folgt: F (x) = 3 ln x 3 Nach Polynomdivision erhält man x 7 + x 5 + x 3 = x2 + x3 + x 3 (x 2 + ) Die Partialbruchzerlegung ergibt: Und damit ln x x c x 7 + x 5 + x 3 = x2 x + x 3 + x + x 2 + F (x) = x3 3 x + ln x 2x ln x2 + + arctan(x) + c 5

6 Die Partialbruchzerlegung ergibt: x 4 x 3 + x = x 4 x(x 2 + ) = A x + Bx + 3 x 2 + Es folgt A = 4, B = 4 und C =. Integration der Einzelterme liefert: 4 x + 4x + x 2 + = 4 x 4 x x x 2 + = 4 ln x + 2 ln x arctan(x) + c = 2 ln x2 + x 2 + arctan(x) + c d) Die Partialbruchzerlegung ergibt: x 4 ( + x) = A x + A 2 x 2 + A 3 x 3 + A 4 x 4 + B + x A = ; A 2 = ; A 3 = ; A 4 = ; B = F (x) = ln x x + 2x 2 + ln x + + c 3x3 e) Man erhält: x 2 ( + x 2 ) 2 = + x x ( + x 2 = arctan(x)+ ) 2 + x 2 +arctan(x)+c = x + x 2 +c wobei ( + x 2 ) 2 = I 2 = ( ) x 2 + x 2 + I = ( ) x 2 + x 2 + arctan(x) verwendet wurde. 5 Gemischte Aufgaben 5. Aufgabe Man berechne die Stammfunkionen von Aufgabe * x 2 * + x 2 6

7 * x 2 (Hinweis: cos(arccos(x)) = x 2, cosh(arcsinh(x)) = + x 2, sinh(arccosh) = x 2 ) Lösung Partielle Integration mit v = ergibt: x 2 = x x 2 + x 2 x 2 Nun substituier man u = sin(x) erhält für das Integral: x 2 = x 2 sin 2 (u)du = (x sin(x) cos(x)) 2 Mit cos(arcsin(x)) = ( x 2 ) erhält man: x 2 = 2 (x x 2 + arcsin(x)) Partielle Integration mit v = ergibt: + x 2 = x + x 2 x 2 + x 2 Nun substituier man u = sinh(x) und cosh 2 (x) sinh 2 (x) = erhält für das Integral: x 2 = + x 2 sinh 2 (u)du = (x + sinh(x) cosh(x)) 2 Mit cosh(arcsinh(x)) = + x 2 erhält man: + x 2 = 2 (x + x 2 + arcsinh(x)) Wie und nur mit der Substitution u = arccos(x) und sinh(arccosh) = x 2. x 2 = 2 (x x 2 arccosh(x)) 7

8 5.2 Aufgabe Aufgabe Man berechne folgende Integrale: e 3x e 2x (Hinweis: Substitution x = ln(t) und evtl. Partialbruchzerlegung) sin(2x) 3 + sin 2 (x) tan(x) + tan(x) d) Mit a, b > : π/2 a 2 sin 2 (x) + b 2 cos 2 (x) Lösung Mit der angegeben Substitution erhält man e 3x e 2x = t 2 t 2 dt Mit Polynomdivision und Partialbruchzerlegung vereinfacht sich der Integrand wie folgt: t 2 t 2 = /2 t + + /2 t Nach Integration und Rücksubstitution ergibt sich: F (x) = e x + 2 ln ex e x + + c Mit sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) und der Substitution u = sin(x) erhält man: sin(2x) 3 + sin 2 (x) = 2u 3 + u 2 du Mit der Substitution t = u 2 erhält man nun: 2u 3 + u 2 du = dt 3 + t = ln 3 + t + c =... = ln 3 + sin2 (x) + c 8

9 Mit der Substitution u = tan(x) und du = ( + u 2 ) erhält man ( tan(x) + tan(x) = u ( + u) ( + u 2 ) du = /2 + u + 2 u + ) 2 + u 2 du = 2 ln + u + 4 ln + u2 + arctan(u) + c = 2 (ln cos(x) + sin(x) ln cos(x) ) + 4 ( ln cos2 (x) ) + x 2 + c = 2 ln cos(x) + sin(x) + x 2 + c d) π/2 π/2 a 2 sin 2 (x) + b 2 cos 2 (x) = = ab / cos 2 (x) a 2 tan 2 (x) + b 2 dt a 2 t 2 + b 2 = du u 2 + du = ab arctan(u) = π ab Mit der ersten Substitution t = tan(x) und der zweiten Substitution u = a b t. 5.3 Uneigentliche Integrale Aufgabe Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Wert. x( + x) ln(x) π/2 sin 2 (x) (sin(x) für x [, π/2]) d) 3 x + 9

10 e) sin(x) Lösung Mit x = u 2 und = 2udu folgt x( + x) = ln(x) = x ln(x) 2 du + u 2 = 2 arctan(u) = π Mit sin(x) x für x [, π/2] folgt π/2 π/2 sin 2 (x) x 2 = lim (a ln() = a + }{{} = l Hospital d) ( 3 3 = lim x + a 2 ( 3 ) x + ) 2 a = 3 2 e) Mit der gleichen Abschätzung aus folgt ebenfalls 5.4 Aufgabe Aufgabe Zeigen Sie e sin(x) x x (ln(x)) α = Lösung Mit u = ln(x) folgt e x (ln(x)) α = du u α = (Vergleiche Vorlesung) { konvergent für α > divergent für α { konvergent für α > divergent für α

11 5.5 Ableitung von Integralen Aufgabe Lösung d 2 2 x d x 2 2 d x e t2 dt x d 2 2 x d x 2 2 cos 2 (t) + cos(t) dt tf(t)dt cos 2 (t) + cos(t) dt = d (F (x2 ) F (2)) = F (x 2 ) 2x = 2x cos2 (x 2 ) + cos(x 2 ) d x e t2 dt = e x2 e x2 ( ) = 2e x2 x tf(t)dt = d2 2 (tf (t) x x F (t)dt) = d (x f(x)+f (x) F (x)) = f(x)+x f (x)