Übung 13. Die Lösungen a) Wir schreiben den Tangens als das Verhältnis von Sinus und Cosinus. tan(x)dx =

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1 Übung 3 Aufgabe 48) Integrieren Sie die folgenden Funktionen a) tan(x)dx b) e x cos(x)dx c) +ax dx Die Lösungen a) Wir schreiben den Tangens als das Verhältnis von Sinus und Cosinus. tan(x)dx = sin(x) dx () cos(x) Und schon kommt der erste Text. Ein kleiner Exkurs zum natürlichen Logarithmus und seiner Ableitung. Die Ableitung des Logarithmus kann auf folgende Weise beschrieben werden. Hieraus können wir folgern, dass f(x) = ln(g(x)) () f (x) = g (x) g(x) (3) f(x) = g (x) g(x) (4) f(x)dx = F (x) = ln(g(x)) + c (5) Betrachten wir nun die Ableitung des Kosinus f(x) = cos(x) (6) f (x) = sin(x) (7) Gehen wir nun zurück zu unserem Tangens tan(x)dx = sin(x) cos(x) dx = sin(x) dx (8) cos(x) = ln(cos(x)) + c (9) Das war die erste Teilaufgabe.

2 b) Dieses Integral lösen wir am besten mithilfe der partiellen Integration. Der Ausdruck hierfür lautet f (x)g(x)dx = [f(x)g(x)] f(x)g (x)dx Die Aufgabe besteht also darin die Ausdrücke geschickt zu wählen, so dass ein einfacherer Ausdruck entsteht. e x cos(x)dx (0) In diesem Fall ist die Zuordnung von f (x) und g(x) irrelevant, da der Ausdruck e x sich sowohl beim ableiten als auch beim integrieren nicht ändert. Für die Musterlösung wählen wir f (x) = e x und g(x) = cos(x). e x cos(x)dx = [e x cos(x)] e x cos(x)dx = [e x cos(x)] + e x sin(x)dx () e x sin(x)dx () Das hat wohl nicht gereicht, sodass wir noch einmal die partielle Integration durchführen. Wir wählen wieder f (x) = e x und g(x) = sin(x) { e x cos(x)dx = [e x cos(x)] + [e x sin(x)] e x cos(x)dx = [e x cos(x)] + [e x sin(x)] } e x cos(x)dx e x cos(x)dx + e x cos(x) Auf der rechten Seite steht das gleiche Integral wie auf der linken Seite, sodass wir den Ausdruck auf die andere Seite bringen. e x cos(x)dx = [e x cos(x)] + [e x sin(x)] / (5) e x cos(x)dx = [ex cos(x)] + [e x sin(x)] (3) (4) + c (6) Aus der Aufgabe wir ersichtlich dass bei Funktionen mit Sinus und oder Cosinus in der Regel zweimal die partiellen Integration verwendet werden muss. c) Nach partieller Integration folgt nun ein Beispiel für die Substitution. In diesem Fall müssen wir nur geschickt substituieren. Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn wir wissen dass +x dx = arctan(x) + c gilt, Wählen wir folgende Substitution. Dann ersetzen wir mal die passenden Ausdrücke. ax =z (7) dx = a (8) dx = a (9)

3 + ax dx = Da a eine Konstante darstellt ziehen wir sie vor das Integral = a Jetzt substituieren wir zurück und fertig ist dieser Lösung weg. + z a (0) () + z = a arctan z + c () = a arctan ax + c (3) Das ganze basiert natürlich auf der Annahmen das wir die Ableitung des Arkustangens kennen. Kennen wir diesen Ausdruck nicht, müssen wir ein wenig mehr Arbeit investieren. Der lange mühselige Weg Zu aller erst betrachten wir einmal die Funktion dx. +ax Unser Problem stellt der Nenner dar, weil es sich hierbei um eine Summe handelt. Einfach integrieren können wir jedoch nur Produkte. Wir müssen daher auf geschickte Weise die Summe eliminieren. An solch einer Stelle ist es ratsam sich an die Trigonometrische Funktionen zu erinnern. Zuvor erschaffen wir die Konstante a in die Variabel hinein.( ax) = ax = u du (4) + u Wir haben über trigonometrische Funktionen geredet, also substituieren wir doch einfach mal u = sin(z) (5) du = cos(z) (6) du = cos(z) (7) + u du = cos(z) (8) + sin(z) Der Ausdruck + sin(z) kann leider nicht vereinfacht werden. Würde statt + sin(z) ein sin(z) im Nenner stehen könnten wir diesen Ausdruck mittels = sin(z) + cos(z) durch cos(z) ersetzen. Wir können daher weder den Sinus noch den Kosinus für diese Aufgabe verwenden. Bleibt uns noch der Tangens übrig. du (9) + u u = tan(z) (30) du = cos(z) (3) du = cos(z) (3) + u du = + tan(z) cos(z) (33) = cos(z) ( + tan(z) (34) ) 3

4 Wir schreiben den Tangens mal wieder aus. = = cos(z) ( + sin(z) cos(z) ) (35) cos(z) ( cos(z) +sin(z) cos(z) ) (36) = ( ) (37) cos(z) cos(z) = (38) = (39) = z + c (40) Nun kommt die Resubstitution an die Reihe. Da u = tan(z) gilt z = arctan(u) Nun ersetzten wir unser u = arctan(u) + c (4) u = ax (4) arctan(u) + c = arctan( ax) + c (43) 4

5 Aufgabe 49) Berechnen Sie folgende Integrale unter Anwendung der partiellen Integration: a) x sin(x)dx b) x ln(x)dx c) x e x dx Lösungen Bei partieller Integration muss das entstehenden Integration leichter als das vorherige sein. Betrachten wir auch hier den allgemeinen Aufbau der partiellen Integration f (x)g(x)dx = [f(x)g(x)] f(x)g (x)dx Die neue Stammfunktion ist somit das Produkt einer Ableitung (g (x)) und einer Stammfunktion(f(x)). a) In diesem Fall ist es am geschicktesten x = g(x) und sin(x) = f (x) zu wählen. g(x) = x g (x) = (44) f (x) = sin(x) f(x) = cos(x) (45) x sin(x)dx = [ cos(x) x] cos(x)dx (46) x sin(x)dx = [ cos(x) x] + cos(x)dx (47) Das erzeugte Integral besteht nur noch aus cos(x) wodurch es einfach bestimmt werden kann. = [ cos(x) x] + sin(x) + c (48) b) Zu unserer Schulzeit lernte wir die partielle Integration am Beispiel der Funktion f(x) = ln(x). Aus diesem Grund ist es nicht sinnvoll den Ausdruck ln(x) als f (x) zu setzen. g(x) = ln(x) g (x) = x (49) f (x) = x f(x) = x (50) [ ] x ln(x)dx = x ln(x) x dx (5) x [ ] x ln(x)dx = x ln(x) xdx (5) [ ] x ln(x)dx = x ln(x) 4 x (53) c) Die e-funktion bleibt immer eine e-funktion egal wie häufig wir auf- bzw. ableiten. Hier ist die Wahl also nur vom Term x abhängig. Der Exponent des Terms nimmt beim aufleiten zu, aber beim ableiten wird er kleiner, d.h. leiten wir häufig genug ab verschwindet dieser Ausdruck und wir müssen nur noch das Integral der e-funktion bestimmen. 5

6 g(x) = x (54) f (x) = e x f(x) = e x (55) x e x dx = [ e x x ] e x xdx (56) = [ e x x ] + e x xdx (57) g (x) = x Wir wiederholen das Spielchen. = [ e x x ] { [ e x + x ] = [ e x x ] { [ e x + x ] + } e x dx (58) } e x dx (59) Das verbleibende Integral können wir ohne weiteres lösen. = [ e x x ] + {[ e x x ] e x} (60) = e x x e x x e x (6) 6

7 Aufgabe 50) Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals Lösung π π sin(x) cos(3x)dx Da haben wir doch mal ein bestimmtes Integral. Davon lassen wir uns aber nicht beirren und gehen unseren Weg wie eh und je. Zu aller erst erinnern wir uns zurück an die guten Alten Zeiten in denen wir in der Vorlesung die Additionstheoreme und die Identitäten kennen gelernt haben. Es gilt ( ) ( ) α + β α β sin(α) + sin(β) = sin cos (6) (sin(α) + sin(β)) = sin Hieraus folgern wir x = α + β 4x β = α ( α + β ) cos ( ) α β (63) 3x = α β (64) 3x = 4x β β (65) x = β (66) α = 5x (67) (sin(5x) + sin( x)) = sin(x) cos(3x) (68) (sin(5x) sin(x)) = sin(x) cos(3x) (69) (70) Diesen Ausdruck setzen wir ins Integral ein. π π sin(x) cos(3x)dx = π π (sin(5x) sin(x))dx (7) Das Integral ist die Summe zweier Ausdrücke und beinhaltet eine Zahl. Die Zahl können wir wie bei Klammern vor das Integral ziehen und bei Summen kann man die Integration separat durchführen. = π π sin(5x)dx π π sin(x)dx (7) Diese integrale sind einfach zu lösen. = {[ ] π } 5 cos(5x) + [cos(x)] π π π (73) Nach einsetzen der Grenzen erhalten wir = 0 (74) 7

8 Aufgabe 5) Man bestimme durch geschickte Substitution + x dx geschickte Substitution Dann halten wir uns doch einmal an die Aufgabenstellung und substituieren geschickt. Beim Substituieren ist es in den seltensten Fällen sinnvoll einen sehr großen Ausdruck zu substituieren, zu kleine Ausdrücke dagegen ändern dagegen nichts. Im Regelfall ist es gut eine oder zwei Operationen in der Substitution zusammen zu fassen. Diese Aufgabe beinhaltet die Operationen: Dividieren, Addieren und das Ziehen einer Wurzel. Wir substituieren einfach mal nur eine Operation und setzten den Kram ein. x = z (75) dx (76) + z Im nächsten Schritt ersetzen wir unserdx durch ein. dx = x (77) Den Ausdruck x haben wir zuvor durch z substituiert, dass können wir bei diesem Ausdruck ebenfalls einsetzen. dx = z (78) dx = z (79) Diesen Ausdruck setzen wir statt dx in das Integral ein und erhalten ein Integral das nur die Variable z enthält. z (80) + z z = (8) + z Wir erweitern mal den Zähler um Null ( ). + + z = (8) + z Jetzt können wir die Brüche geschickt trennen. = + z + + z (83) + z = + (84) + z Wie zuvor trennen wir das Integral und integrieren im Anschluss. { } = + z + { } = + z + z (85) (86) 8

9 Das erste Integral erinnert uns an Aufgabe 48 a) hier hatten wir ebenfalls den Zusammen- und wußten hiernach, das unser Ergebnis ln(g(x) sein muss. hang g (x) g(x) Dann substituieren wir nur noch zurück. = { ln( + z) + z} + c (87) = { ln( + x) + x } + c (88) 9

10 Aufgabe 5) Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution die folgenden Integrale a) cos(x) +sin(x) dx b) e x + e x dx Lösung mithilfe der Substitution. Wir halten uns an den vorherigen Merksatz, Im Regelfall ist es gut eine oder zwei Operationen in der Substitution zusammen zu fassen. a) Dann schauen wir uns erst einmal die ganzen Operationen an. Da haben wir zuerst ein Kosinsus von, es folgt eine Division, eine Summe und zuletzt komm ein Sinus von. Wir fassen maximal Operationen zusammen und gewöhnlich sind es die zuletzt genannten. Hieraus folgt. Diesen Ausdruck setzen wir in das Integral ein. z = + sin(x) (89) = cos(x) dx (90) dx = cos(x) (9) cos(x) z cos(x) (9) Wir haben Glück der Ausdruck Kosinus von x kürzt sich und wir haben ein ganz einfaches Integral. = z (93) = ln(z) + c (94) Wir substituieren noch zurück und haben die erste Teilaufgabe erledigt. = ln( + sin(x)) + c (95) Statt Operationen in der Substitution zusammen zu fassen führen wir die Substitution mit nur einer Operation durch. cos(x) + z z = sin(x) (96) = cos(x) dx (97) dx = cos(x) (98) cos(x) = (99) (00) + z 0

11 Entweder wir sehen wieder unser g (x) g(x) dx = ln(g(x)) oder aber wir substituieren nochmals. Erste Rücksubstitution Und die zweite folgt sofort u = + z (0) du = (0) du = (03) = du = ln(u) + c (04) u = ln( + z) + c (05) = ln( + sin(x)) + c (06) Eigentlich haben wir dieses Ergebnis vorhergesehen, da anfängliche Integral die Form dx = ln(g(x)) erfüllt hat. g (x) g(x) b) Wir schauen uns wieder die ganzen Operationen an. Es beginnt mit einem e hoch, gefolgt von einer Multiplikation, einer Wurzel von, einer Addition und zu guter Letzt kommt wieder ein e hoch. Und auch hier fassen wir maximal Ausdrücke zusammen. Zeigen aber auch beide Möglichkeiten. e x + e x dx (07) Es folgt, dass Einsetzen ins Integral. z = + e x (08) dx = ex (09) dx = e x (0) e x z e x () Auch hier kürzt sich der verbleibende x abhängige Term und ein leichtes Integral steht auf unserem Papier. Auch hier wird zurück substituiert. z = 3 z 3 + c () Nun die zweite Möglichkeit. = 3 ( + ex ) 3 + c (3)

12 e x + e x dx (4) e x + z e x z = e x (5) dx = ex (6) dx = e x (7) + z (8) Dieses Integral ist für machen einen etwas schwerer zu lösen, sodass man hier dazu neigt, nochmals zu substituieren. Wir fassen wieder die letzte Operation zusammen und fügen den Ausdruck ein. u = + z (9) du = (0) du = () udu () = 3 u 3 + c (3) Wir substituieren zum ersten mal zurück. = 3 ( + z) 3 + c (4) Nun folgt die zweite. = 3 ( + ex ) 3 + c (5) Sowohl in Teilaufgabe a) und b) konnten wir das Ergebnis auf beider Arten bestimmen. Im Fall des Zusammenfassens einer Operation mussten wir jedoch zweimal je eine Operation zusammenfassen um das Ergebnis zu erhalten. D.h. im Endeffekt haben wir auch hier Operationen zusammengefasst um das Ergebnis zu erhalten. CC-BY-SA 3.0 Mario Krieg / Martin Labus