Übung 2 vom

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Joseph Beck
vor 7 Jahren
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1 Übung vom.0.04 Aufgabe 5 Gegeben ist die Gleichung sin(α) + sin(α + β) + sin(α + β) = 0 Für welches Argument β ist diese Gleichung für jedes α erfüllt? Wo findet diese Gleichung Anwendung in der Technik? Lösung 0 = sin(α) + sin(α + β) + sin(α + β) () Anwendung des Additionstheorems sin(x+y) = sin(x) cos(y) +sin(y) cos(x) auf die beiden additiven Sinus-Ausdrücke. 0 = sin(α) + sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α) + sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α) () Umschreiben der beiden Doppelwinkelfunktionen im blauen Teil. 0 = sin(α) + sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α) + sin(α)(cos (β) sin (β)) + sin(β) cos(β) cos(α) (3) Ausklammern der α-haltigen Terme. 0 = sin(α)( + cos(β) + cos (β) sin (β)) + cos(α)(sin(β) + sin(β) cos(β)) (4) Sind α und β voneinander unabhängig, müssen die Klammerausdrücke null werden, da es keinen Winkel α gibt, bei dem sin(α) = ( cos(α)) ist. Es werden nun die Klammeraudrücke einzeln betrachtet. 0 = + cos(β) + cos (β) sin (β) (5) Durch Umsortieren lässt sich folgende trigonometrische Identität (Satz des Pythagoras) finden: cos (x) = sin (x). 0 = cos(β) + cos (β) + sin (β) (6) 0 = cos(β) + cos (β) (7) cos(β) = cos (β) (8)

2 Dieses Ergebnis kann man nun in den zweiten Klammerausdruck einsetzen. 0 = sin(β) + sin(β) cos(β) (9) = sin(β) + sin(β)( cos (β)) (0) = sin(β) 4 sin(β) cos (β) () = 4 cos (β) () 4 = cos (β) (3) ± = cos(β) (4) Es werden zwei Lösungen erhalten, nämlich cos(β) = cos(β) = Gleichung 7 wird festgestellt, welche Lösung die Bedingung erfüllt. über die Probe mit 0 = + ( ) (5) + 4 = 0 (6) 0 = + ( ) (7) + 4 = 0 (8) Die negative Lösung ist die gesuchte. Nun kann das Ergebnis noch mit dem Arcuscosinus in einen Winkel umgerechnet werden. β = arccos ( ) (9) = 0 (0) Wo findet diese Gleichung Anwendung in der Technik? Antwort: In der Elektrik. Diese Gleichung beschreibt beim Dreiphasenwechselstrom (dem sogenannten Drehstrom) die Lage der einzelnen Phasen zueinander.

3 Aufgabe 6 Zeigen Sie: cos(3α) = 4 cos 3 (α) 3 cos(α) Lösung Um diesen Zusammenhang zu bestätigen, müssen die Additionstheoreme des Kosinus und des Sinus angewendet werden. Begonnen wird mit dem Additionstheorem des Kosinus. cos(3α) = cos(α + α) () = cos(α)cos(α) sin(α)sin(α) () Nun folgt die Anwendung der Additiontheoreme für die Doppelwinkelfunktionen des Sinus und Kosinus Ausklammern. = cos(α) [ cos (α) sin (α) ] sin(α)[ cos(α) sin(α)] (3) = cos 3 (α) cos(α) sin (α) cos(α) sin (α) (4) = cos 3 (α) 3 cos(α) sin (α) (5) Durch den Satz des Pythagoras lässt sich die Sinusfunktion durch eine Kosinusfunktion ausdrücken. Der linke Ausdruck entspricht somit der rechten Seite = cos 3 (α) 3 cos(α) [ cos (α) ] (6) = cos 3 (α) 3 cos(α) + 3 cos 3 (α) (7) =4 cos 3 (α) 3 cos(α) (8) 3

4 Aufgabe 7 Berechnen Sie die kleinste Periode folgender Funktionen a) y(x) = sin(x) cos(x) Lösung durch Ausrechnen Die Funktion lässt sich durch die Doppelwinkelfunktion des Sinus ausdrücken. sin(x) cos(x) = sin(x) (9) Die Sinusfunktion selbst ist periodisch über π, d.h. sie wiederholt sich immer dann, wenn das Argument der Funktion um ein ganzzahliges Vielfaches von π größer ist. Das bedeutet für die gegebene Funktion Durch Ausklammern der erhält man sin(x) = sin(x + nπ) (30) sin(x) = sin(x + nπ) (3) = sin((x + nπ)) (3) Nach dem Ausklammern zeigt sich, dass das nπ Kriterium schon bei ganzzahligen Vielfachen von π erfüllt wird. Also ist die kleinste Periode π. 4

5 b) y(x) = (sin( 3 x)) Lösung durch Ausrechnen Bei der Lösung dieses Problems nutzt man folgende Gleichung: sin (x) = ( cos(x)) Angewandt auf die Aufgabe erhält man sin ( 3 x) = ( cos( ) 3 x) (33) Die nicht periodischen Anteile braucht man nicht weiter zu betrachten. Sie beschreiben nur die Amplitude der Funktion und einen vertikalen Versatz (Offset). Daher wird nur noch die Kosinusfunktion betrachtet: cos( x 3 ) (34) Eine Funktion z(x) = cos(a x) hat als kleinste Periodendauer (T ) T = aπ. Daraus folgt mit a = 3 (35) T = π = 3 π = 3π 3 (36) 5

6 c) y(x) = sin(3x) + sin(5x) Lösung durch Ausrechnen Hier kann das Additionstheorem vom Typ angewendet werden. Da cos( x) = cos(x) sin(α) + sin(β) = sin( α + β ) cos( α β ) 3x + 5x 3x 5x sin(3x) + sin(5x) = sin( ) cos( ) (37) x(3 + 5) x(3 5) = sin( ) cos( ) (38) (3 + 5) (3 5) = sin(x ) cos(x ) (39) = sin(x 8 ) cos(x( ) ) (40) = sin(4x) cos( x) (4) = sin(4x) cos(x) (4) Hier macht es auch Sinn, wie in Teilaufgabe a), die Periodizität der Einzelfunktionen zu bestimmen. sin(4x) = sin(4x + nπ) (43) = sin(4(x + nπ )) (44) Die Sinusfunktion hat als kleinste Periode also π. Die Periodendauer der Cosinusfunktion ist mit π bereits bekannt. Da π ein Vielfaches von π ist, ist es auch die kleinste gemeinsame Periode. Lösung durch das kleinste gemeinsamen Vielfache Eine Funktion z(x) = sin(a x) hat als kleinste Periodendauer (T ) T = aπ. Bei zusammengesetzten Funktionen ergibt sich ihre Periodendauer als kleinstes gemeinsames Vielfaches der Einzelfunktionen. Beispiel: Betrachtet man die Funktion y(x) = sin(3x) + sin(5x) als die Summe der Funktionen g(x) = sin(3x) und h(x) = sin(5x) welche die Perioden T g = 3 π und T h = 5 π aufweisen, so muss nur das kleinste gemeinsame Vielfache gefunden werden, um die Periodendauer der Funktion y(x) zu erhalten. Für diesen Fall werden beide Periodendauern auf den gleichen Nenner gebracht. T g = 0 5 π T h = 6 5 π (45) Das kleinste gemeinsame Vielfache der Periodendauern der Einzelfunktionen lautet: 30 5 π = π (46) 6

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