9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen

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1 9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen 9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen. Unter dem Bogenmass eines Winkels versteht man die Länge des Winkelbogens von auf dem Kreis mit Radius (Einheitskreis). a) Berechne, wenn = 90, = 80 und = 360. b) Drücke in Abhängigkeit von aus. c) Wie gross ist, wenn = 4, = 3, =?. Trigonometrische Funktionen werden oft mit dem Bogenmass verwendet, insbesondere auch, wenn sie graphisch dargestellt werden. Übertrage die nachfolgende Figur in dein Heft und zeichne auf diese Weise eine sogenannte Sinuskurve. sin 0 sin Bestimme die Amplituden, Perioden und Gleichungen der gezeichneten Sinuskurven: =a() =b() =c() =d()

2 9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen 4. Zeichne in einem Koordinatensstem die Sinus-, Cosinus- und Tangenskurve für Skizziere je in einem Raster für 0 und 3 3 die Kurven mit den Gleichungen: a) = sin(), = sin( ), = sin( + ) + b) = 3 cos(), = cos() + cos( ) c) = tan(0.5), = tan( ) 6. Bestimme die Perioden und Gleichungen der gezeichneten trigonometrischen Kurven: =a() =b() =c() =d() =e() =f()

3 9.6 Goniometrie Goniometrie. Wie können Terme wie z.b. sin( + β) oder tan( β) durch trigonometrische Funktionen von und β allein ausgedrückt werden? Begründe anhand von Zahlbeispielen, dass folgende Beziehungen falsch sind: a) sin( + β) = sin + sin β b) cos( ) = cos c) tan( β) = tan tan β. Um eine Beziehung für sin( + β) und cos( + β) zu finden, verwenden wir nachstehende Darstellung. In der Zeichnung ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Hpotenuse einem Rechteck einbeschrieben. P Q β U S ϕ T R Drücke der Reihe nach durch und β aus: ϕ P S und ST im Dreieck T SP UT und UP im Dreieck P UT T R und UR im Dreieck URT QU und P Q im Dreieck P QU a) Welche Beziehung folgt aus der Tatsache, dass P S = QU + UR gilt? b) Welche Beziehung folgt aus der Tatsache, dass ST = P Q T R gilt? 3. Zeige mit Hilfe der in Aufgabe gefundenen Additionstheoreme, dass gilt: a) sin() = sin cos b) cos() = cos 4. a) Wenn man in den in Aufgabe gefundenen Formeln β durch β ersetzt, erhält man Additionstheoreme für sin( β) und cos( β). b) Bestätige die Formeln mit Hilfe der folgenden Figur: β β c) Folgere durch Einsetzen: tan( β) = sin( β) tan tan β =... = cos( β) + tan tan β

4 4 9.6 Goniometrie 5. Zeige: a) sin( + β) + sin( β) = sin cos β b) sin( + β) sin( β) = cos sin β c) cos( + β) cos( β) = sin sin β 6. Setze ϕ = + β, ψ = β und beweise mit Hilfe der Aufgabe 5: a) sin(ϕ) + sin(ψ) = sin ϕ + ψ b) sin(ϕ) sin(ψ) = cos ϕ + ψ c) cos(ϕ) cos(ψ) = sin ϕ + ψ cos ϕ ψ sin ϕ ψ sin ϕ ψ 7. Begründe durch Umformen, weshalb f() = sin + cos als reine Sinusfunktion, dagegen g() = sin + sin() nicht als reine Sinusfunktion dargestellt werden kann Forme den Funktionsterm von f() mit Hilfe der Formel für sin(ϕ) + sin(ψ) um und erkäre das unterschiedliche Aussehen der Graphen. a) f() = sin() + sin(3) b) f() = sin() + sin(8)

5 9.6 Goniometrie 5 9. Bestimme die Parameter a, a bzw. a 3 in der Funktionsgleichung von f, wenn a) f() = a sin + a sin() und der Graph von f durch die Punkte P ( 8, 3) und Q ( 5 6, 4) geht. b) f() = a cos + a cos() + a 3 cos(3) und der Graph von f durch die Punkte P (0, ), Q ( 3, 5) und R ( 7, 6) geht. 0. Die Graphen besitzen die Funktionsgleichung = a sin + a sin() + a 3 sin(3). Bestimme die Parameter a, a und a 3 möglichst genau mit Hilfe geeigneter Stützpunkte. a) b) Stelle die folgenden Funktionen mit Hilfe eines graphikfähigen Taschenrechners dar. Wie kann man das Aussehen der Graphen beschreiben, wenn immer weitere passende Summanden dazukommen? (Tipp: Arbeite mit dem Summenzeichen Σ) a) g() = sin + sin() + 3 sin(3) + 4 sin(4) + 5 sin(5) +... b) f() = sin + 3 sin(3) + 5 sin(5) + 7 sin(7) + 9 sin(9) +... c) h() = cos + 3 cos(3) + 5 cos(5) + 7 cos(7) + 9 cos(9) Bestimme die Periodenlängen (ausgedrückt durch ein Vielfaches von ) der folgenden Funktionen: a) f() = sin( ) sin( 3 ) + 3 sin( 4 ) b) g() = cos(3 ) 4 sin( 5 ) 3. Berechne die Nullstellen der Funktionen f und g für 0 (siehe Aufgabe 7): a) f() = sin + cos b) g() = sin + sin() 4. Berechne alle Nullstellen der Funktionen f und g für R: a) f() = sin + 5 cos b) g() = sin() 3 sin(4) 5. Berechne die Schnittpunkte (0 ) der Graphen von f und g: a) f() = sin und g() = cos b) f() = tan und g() = cos 6. Berechne alle Schnittpunkte für R der Graphen von f und g: a) f() = cos und g() = sin() b) f() = cos und g() = sin ()