61080, Kapitel 4, Lösungen zu vorläufige, nicht genehmigte Fassung

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1 7 Lösungen zu. Das kann ich! Seite 8 a) sin α =, cos α =,8 tan α =,6 sin α =,8 cos α =,96 tan α =,9 9 a) b = 6, cm C a) a,9 cm; c 6, cm c 46,9 m; b 48, m c) b,8 km; c,6 km d) b, mm; c 8, mm a) sin α = _ m m cos α = _ m m tan α = _ m m 7,7 cm sin α = 8, cm cos α = 8, cm 7,7 cm tan α = m,8 sin β = _ m,9,9 m cos β = m,8,4 m tan β = m =,4,9 sin β = 8, cm,4 7,7 cm,4 cos β = 8, cm,9,4 tan β = 7,7 cm,47 4 a) α,9 ; β 78, α 78,7 ; β, c) α 4, ; β 7, d) α 6,9 ; β, e) α 8,7 ; β 7, f) α 6, ; β 7,4 g) α,8 ; β 68, h) α 44,4 ; β 4,6 i) α = β = 4 a) α = 7 ; β = 7 α = 4 ; β = 6 c) α = 6 ; β = 4 d) α = 7 ; β = 8 e) α = 48 ; β = 4 f) α = ; β = 8 6 a) nicht rechtwinklig rechtwinklig mit α 9 7 a) α 7, α 79,7 bzw. α 8, A a 4,9 cm a = b = c, cm A = a h 4,8 cm a c = 8,4 cm a) α = γ, ; β 7,8 ; h b =, cm A = 7,8 cm, cm, cm A = (6, cm) sin 7,8, cm a) a 7,4 dm; b 4, dm; α = 6 a 9,8 cm; b 48, cm; β = c) b,8 cm; c 4, cm; α =, d) c 7,9 cm; β,7 ; γ 79, e) a, cm; α 9,9 ; β,9 Seite a) a 4,4 cm; c,6 cm; γ = 6 b, cm; c,7 cm; β = c) α 4,4 ; β 4, ; γ 8,6 d) b, cm; β 8,9 ; γ 9, B 8 a) C C γ = 74,6 4 Seitenhöhe h s 8, cm Körperhöhe h 7,7 cm V = a h 66,8 cm γ =,4 β = 6,4 α = 4 β = 4,6 A c = 6 cm B 4 cm Anwendung des Sinussatzes: sin 4 = 6 cm sin γ sin γ = sin 4 6 cm 4 cm Der Zeichnung kann man entnehmen, dass es zwei Lösungen gibt: γ 74,6 β 6,4 γ 8 γ =,4 β 4,6 A = a c sin β = 4 cm 6 cm sin 6,4,9 cm A = a c sin β = 4 cm 6 cm sin 4,6 6,8 cm a 9, cm 6 Hinweis: Je nach Rechnung bzw. Rundung können die Ergebnisse variieren. 7 A, cm a) c) a 6,7 cm 6,4 m 4,6 cm b 6,7 cm,8 m 7, cm c,9 cm, m, cm α 6,,, β 64, 9, 4,9 γ,4 8,7, 8 a) A 4,6 cm A 66,7 mm c) A 6, cm 9 Das ist richtig. 68, Kapitel 4, Lösungen zu 4. - vorläufige, nicht genehmigte Fassung

2 76 Lösungen zu Das kann ich! Das ist richtig. Das ist falsch. Es gilt: sin 9 = cos =. Der Tangenswert eines Winkels kann auch größer als sein. Das ist falsch: Sind nur die Winkel gegeben, kann man keinen Flächeninhalt berechnen. Für die Flächenberechnung mithilfe des Sinussatzes benötigt man beispielsweise zwei Seitenlängen und die Größe des eingeschlossenen Winkels. Das ist falsch: Der Sinussatz gilt für jede Art von Dreieck. Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Sinuswert des rechten Winkels (sin 9 = ), woraus sich die schon zuvor bekannten trigonometrischen Beziehungen bei rechtwinkligen Dreiecken ergeben. 4 Das ist falsch: Der Satz des Pythagoras ist vielmehr ein Sonderfall des Kosinussatzes. Das ist richtig. Lösungen zu.7 Das kann ich! Seite 6 Die Werte für das Bogenmaß sind auf zwei Dezimalstellen gerundet. a) sin ( 7 ) = sin ( 6 ) = sin ( ) = sin (9 ) 7 6,4 6,88,6 9,4 a) sin ( ) = sin ( ) = sin ( ) = sin (4 ),,9,6 4 7,7 a) sin ( 9 ) = sin (6 ) = sin ( ) = sin (4 ) 9, 6,, 4 7,4 a) =,4 =,7 =,76 =,8 c) =,6 =,6 d) =,9 =,9 e) =, =, f) =,4 =,4 a) y 4 a) Man kann beispielhaft einige Werte ausrechnen: sin ( π 6 ) = sin π 6 sin ( π y ) = sin π Einer Zeichnung am,8 Einheitskreis kann man entnehmen:,4 sin Die Werte für sin und sin ( ) sind M,4,4 betragsmäßig gleich,4 sin ( ) groß, haben aber unterschiedliche Vorzeichen. Also gilt:,8 sin ( ) = sin Die Werte für sin sind auf zwei Dezimalstellen gerundet. π 7 4 π π 4 π π sin,7,7 4 π π 4 π usw. sin,7,7 usw. Die Nullstellen von f () = sin sind bei: π; π; ; π; π; π; 4π 6 a) Periodenlänge 4 Periodenlänge y 4 7 Lösungsmöglichkeiten: a) Bei einer Kosinusfunktion mit der Gleichung f () = a cos beschreibt der Faktor a die Amplitude, also den im Vergleich zu f () = cos größeren oder kleineren Ausschlag des Funktionsgraphen. Bei einer Kosinusfunktion mit der Gleichung f () = cos (b ) beschreibt der Faktor b, wie die Periode im Vergleich zu f () = cos verändert ist. c) Bei einer Kosinusfunktion mit der Gleichung f () = cos ( d) beschreibt der Wert d die Verschiebung des Funktionsgraphen entlang der -Achse im Vergleich zu f () = cos. M M 8 Der rote Funktionsgraph entsteht aus dem schwarzen der Grundfunktion f () = sin durch Verschieben entlang der -Achse. Man erhält als vorläufigen Funktionsterm: f* () = sin ( + π ). Zusätzlich wird der verschobene Graph noch an der -Achse gespiegelt und anschließend um den Faktor, gestreckt, sodass der Funktionsterm lautet: f** () =, sin ( + π ) =, cos. 68, Kapitel 4, Lösungen zu 4. - vorläufige, nicht genehmigte Fassung

3 77 9 a) π; π; π; π keine Nullstellen c) 6 π; 6 π; _ π; _ π d) π; π; π; 4 π Winkel im Gradmaß Winkel im Bogennmaß Seite 6 a) f () = sin f () = sin () g () =, sin g () = sin (4) h () =, sin h () = sin ( ) a) Lösungsmöglichkeit: Das Diagramm beginnt im Januar (Sommer auf der Südhalbkugel) mit einer mittleren täglichen Sonnenscheindauer von etwa 8, h. Bis zum Winter nimmt dann die Sonnenscheindauer auf etwa 7,4 h ab. Danach nimmt sie wieder zu, bis im Dezember die höchste Sonnenscheindauer von etwa 8,4 h erreicht wird. Wertetabelle für die Monatsenden (t in d, D in h und f () in h): t D 7,6 7,7 7,9 8, 8, 8,4 f () 7, 7,7 8, 8, 8,7 8,9 Auch der größte relative Fehler (im Februar) beträgt nur etwa 4 %: Sophies Term gibt also die Sonnenscheindauer gut wieder. Das ist falsch: Die Periode der Sinusfunktion beträgt π. Entsprechend wiederholen sich die Werte auch am Einheitskreis erst nach einem ganzen Kreisdurchgang. 4 Das ist richtig. Winkelmaß und Bogenmaß lassen sich eindeutig ineinander umrechnen. Das ist richtig, ihre Periode ist π. 7 _ π 6 Das ist falsch: Will man den Graphen der Kosinusfunktion aus dem der Sinusfunktion erhalten, so muss man diesen um π nach links, also in negative -Richtung, verschieben. 7 Das ist richtig. Als Gleichung ausgedrückt bedeutet das: cos ( ) = cos. 8 Das ist falsch, die Periodenlänge ist bei beiden Funktionen gleich, nämlich π. Es ändert sich lediglich die Amplitude, der Funktionsgraph wird gestreckt. 9 Das ist falsch, sie hat den Wertebereich [,;,]. Das ist richtig, denn die eine entsteht aus der anderen durch Verschiebung, wodurch sich die Periode nicht ändert. π 9 _ π 4 _ π t D 8, 7,7 7,6 7,4 7,4 7,4 f () 8, 8, 7,78 7, 7,4 7,4 Lösungen zu.8 Das kann ich! Seite 88 a) P ( drei gleichfarbige Kugeln ) = P (ggg) + P (rrr) + P (bb = ( ) ( 8 ) ( 7 ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ), % P ( mindestens eine grüne Kugel ) = P ( keine grüne Kugel ) = ( 7 ) 97,8 % P ( genau drei grüne Kugeln ) = ( ) ( 8 ) ( 7 ), % P ( keine rote Kugel ) = ( ), % P ( mindestens eine blaue Kugel ) = P ( keine blaue Kugel ) = ( ) n,6,4 ( ) n Durch Probieren erhält man, dass Otto mindestens 7-mal ziehen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 6 % mindestens eine blaue Kugel zu erwischen. a) P a = = 6,7 % P b = =, % c) P c = ( ) = 7 6,9 % d) P d = ( ) = 46 6, % e) P e = P a 4, % ( ) = ( 99 = ( 6 = 4 = 4 4 Lösungsmöglichkeiten: a) Aus einer Urne mit unterscheidbaren Kugeln werden 8 ohne Zurücklegen herausgenommen. Die Reihenfolge der Kugeln wird nicht beachtet. Alternativ kann man die Kugeln auch gleichzeitig entnehmen. Beispiel: Der Englischlehrer hat die Liste verlegt, auf der er notiert hat, welche Schüler aus seiner zehnten Klasse Interesse an einem Schüleraustausch bekundet haben. Er erinnert sich, dass es 8 der Schüler waren. Es gibt insgesamt ( 8 ) Möglichkeiten. Aus einer Urne mit 8 unterscheidbaren Kugeln werden Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Beispiel: Die acht Nachtwächter einer Firma losen Wochen nacheinander aus, wer den Bereitschaftsdienst am Wochenende übernehmen muss. Dann gibt es 8 verschiedene Reihenfolgen für die Wochenenden. c) Aus einer Urne mit 6 unterscheidbaren Kugeln werden Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Die Reihenfolge wird notiert. Beispiel: Zwei fünfte Klassen mit insgesamt 6 Kindern haben zusammen Mittagspause. Kinder stellen sich hintereinander in die Schlange der Schulmensa. Wenn man nicht weiß, welche der Kinder in der Schlange stehen, gibt es = _ 6! mögliche Reihenfolgen für 4! diese Schlange. 68, Kapitel 4, Lösungen zu 4. - vorläufige, nicht genehmigte Fassung

4 78 Lösungen zu Das kann ich! P ( Augenanzahl größer als 4 ) = 6 = a) P a = = _ 4 % 7 P b = = 4 44 % 9 c) P c = ( ) = _ 9 7 % 7 d) P d = + + ( ) = _ 9 7 % 7 e) P e = ( ) = _ 4 % 7 f) P f = P c = ( ) = _ 8 % 7 6 a) P a =,4 4 97% P b =, ,6,4 8 % c) P c = 4,6,4 % d) P d =,6,4,6 6 % e) P e = 4,6,4 %,4 n,9,4 n,,4 n, Durch Probieren erhält man, dass Lucas mindestens Elfmeter schießen muss. 7 Für jeden der beiden weiteren Buchstaben gibt es 6 Möglichkeiten. Für die vierstellige Nummer gibt es pro Ziffer Möglichkeiten. Damit gibt es zunächst 6 6 = 6 4 = 6 76 mögliche Kombinationen. Die Kombinationen KZ, SS, SA sind nicht zulässig. Damit folgt, dass es im Hochtaunus Autokennzeichen gibt. 8 a) ( ) = 4 6 ( ) = _ ( ) ( ) ( ) = c) ( ) ( _ ) ( ) = _ ) = ) ( d) ( ) ( Seite 89 _ _ 4 6 _ ,4,49,8 6 9 a) Beim Laplace-Tetraederwürfel wird jede der Ziffern bis 4 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewürfelt, also mit 4 =,. X: Anzahl der gewürfelten Ziffer bei Ergebnissen P (X = 6) = ( ) 6,6,7 4 6,9 % Y: Anzahl gerader Ziffern bei Ergebnissen P (Y = ) = ( ),, 7,6 % Z: Anzahl der gewürfelten Ziffer 4 bei Ergebnissen P (Z ) = P (Z ) = P (Z) 4 8, %! Es gibt = Möglichkeiten. 6! 7!! 4! c) P ( mindestens eine Vier ) = P ( keine Vier ) =,7 n,9,,7 n Durch Probieren erhält man n 9. n = p = X: Anzahl der gewürfelten ungeraden Primzahlen bei (allgemein n) Würfen. a) P (X = ) = ( ) ( ) ( ) 9 = ( ) 9,867 8,7 % allgemein: P (X = ) = ( n ) ( ) ( ) n = n ( ) n P (X ) = P (X = ) = ( ), , % allgemein: P (X ) = ( ) n c) P (X ) = P (X = ) + P (X =),4,4 % allgemein: P (X ) = P (X = ) + P (X = ) = ( ) n + n ( ) n Das ist falsch: n! = n (n ) (n )... (n ) (n 6) (n 7) (n 8)... (n 7)! (n 7) (n 8)... = n (n ) (n )... (n 6) oder n (n ) (n )... (n 8) = n (n ) (n )... (n 8) (n 9) (n )... (n 9) (n )... Das ist richtig. Im Wort TITICACASEE gibt es fünf Buchstaben, die jeweils doppelt vorkommen, und das S, das einmal vorkommt. Also gibt es _!!!!!! =! (!) = _! = _! = 47 4 Möglichkeiten. Das ist falsch. Beim zweimaligen Würfelwurf ist nicht jede Augensumme gleich wahrscheinlich. Beispielsweise ist P (Augensumme ) = _ und P (Augensumme 4) = _ Das ist richtig, denn 6 4 = 6! = 7. Das ist falsch. P ( mindestens ein Aufkleber ) = P ( kein Aufkleber ) ( 7 ) n,9, ( 7 ) n Durch Probieren ergibt sich, dass es genügt, 7 Riegel zu kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 9 % mindestens einen Aufkleber zu erhalten. 6 a) Das ist richtig: ( 6 ) = _ 6!! (6 )! = _ 6!! 44! = 6! (6 44)! 44! = ( 44 6 ) Das ist falsch:! = _ ! = 99 = Das ist falsch, denn es würde bedeuten, lauter gleich wahrscheinliche Sektoren herzustellen. Dies ist bei einem Bernoulli- Eperiment nicht notwendig. Hier muss aber darauf geachtet werden, dass das Zufallseperiment nur zwei verschiedene Ausgänge hat. 8 Das ist richtig (Definition einer Bernoulli-Kette). 9 Das ist falsch. Die Aussage wäre richtig, wenn er sich erinnerte, dass er lauter verschiedene Primzahlen verwendet hat. So beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit _ , Kapitel 4, Lösungen zu 4. - vorläufige, nicht genehmigte Fassung

5 79 Lösungen zu 4. Das kann ich! Seite 4 a) _ _ 7 a = a a = a a = _ a = a a Übertrage die Tabelle in dein Heft und vervollständige sie. Basis 8 Eponent = _ 8 _ = 8 = _ = = 8 = 64 = 4 = _ = _ a) Der Wert der Potenz wird quadriert. Aus dem Wert der Potenz wird die Quadratwurzel gezogen. c) Der Wert der Potenz wird durch 6 geteilt. d) Es wird der Kehrwert des Potenzwertes gebildet. e) Der Wert der Potenz wird quadriert. f) Es wird der Kehrwert des Potenzwertes gebildet. und d) sind richtig. 6 Lösungsmöglichkeiten: a) Die Graphen zu g und i gehen beide durch den Punkt A (,) und sind monoton fallend für. Die Graphen zu g, i und j verlaufen alle durch den Punkt A (,) (das gilt im Übrigen für alle fünf Funktionen). 7 Aus f () = g (), d. h. = 4, folgt, dass entweder, oder ist. Dies führt zu den möglichen gemeinsamen Punkten A ( 8), B ( ) und C ( 8). Da h an der Stelle = nicht definiert ist, ist B ( ) sicherlich kein gemeinsamer Punkt der drei Funktionsgraphen. Allerdings ist h ( ) = _ 6 = 8 bzw. h () = _ 6 = 8. h verläuft also durch A und C. Somit sind A ( 8) und C ( 8) die gemeinsamen Punkte der Funktionsgraphen zu f, g und h. Seite a) Die Funktion hat an der Stelle = eine Definitionslücke, hier hat sie auch eine senkrechte Asymptote. Der Graph der Funktion ist monoton fallend für und monoton steigend für. Der Grenzwert der Funktion für und ist, für ist er. Die Gerade y = ist eine waagerechte Asymptote des Funktionsgraphen. Der Graph ist symmetrisch zur Geraden =. 4 y f mit f () = : f mit f () = : f () für y f () für f () für f () für f f f 4 8 a) und e) sind richtig. 9 a) f neu () = ( ) 4 f () für f mit f () = 4 : f () für f () für f () für 68, Kapitel 4, Lösungen zu 4. - vorläufige, nicht genehmigte Fassung

6 8 Lösungen zu Das kann ich! a) Der Funktionsgraph verläuft durch die Punkte O ( ), P ( ) und Q ( ). Weiter ist er punktsymmetrisch zum Punkt O ( ) und monoton fallend für alle X. Der Funktionsgraph verläuft durch die Punkte O ( ) und P ( ). Er ist monoton steigend für alle. Für ist die Funktion nicht definiert. c) Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat eine Definitionslücke in = und die - und y-achse als Asymptoten: für bzw. gilt f (). für mit gilt f (). für mit gilt f (). Für X und X ist der Funktionsgraph jeweils monoton fallend. d) Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur y-achse und hat eine Definitionslücke in =. Seine Asymptoten sind die -Achse und die positive y-achse: für bzw. gilt f (). für gilt f (). Für X ist der Funktionsgraph monoton steigend, für X monoton fallend. Das ist falsch. Gegenbeispiel: Der Graph der Potenzfunktion f () = hat sowohl die - als auch die y-achse als Asymptote, ist aber nicht symmetrisch zum Ursprung. Das ist richtig. Falls gegen geht, sind die Werte für 4 alle positiv, werden aber immer kleiner. Deren Kehrwert wird also immer größer, es gilt daher: f () für. 4 Das ist richtig: Wenn f () = f ( ) gilt, so kann f () = n keinen ungeraden Eponenten n haben, da in diesem Fall die Funktionswerte für negative -Werte negativ, für positive -Werte positiv sind insbesondere also nicht übereinstimmen können. n ist also gerade und für jedes gerade n ist der Graph von f () = n symmetrisch zur y-achse. a) = = = 68 4 ca. 7, Milliarden Personen (Stand Ende ), ca. ein Zweitausendstel der Erdbevölkerung c) = 7 9, dies entspricht etwa,4 % der Erdbevölkerung. Das ist richtig, denn per Definition ist a n = _ a. n 4 Das ist falsch, es verhält sich genau umgekehrt : a 7 = a 7, d. h. die fünfte Wurzel aus der siebten Potenz der Basis. Das ist falsch. Gegenbeispiel: 4 = 6 8 = = Richtig wäre: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem die Basis beibehalten wird und die Eponenten addiert werden. 6 Das ist falsch. _ Gegenbeispiel: = = 7 Das ist richtig. Man kann ohne Taschenrechner beispiels weise folgendermaßen argumentieren: _ = 8 = 8 Das ist richtig. ( 4 ) = _ 4 = 4 = = 4 9 Das ist falsch: f ( ) = ( ) 4 = 4 = f () f () Richtig wäre: Der Graph ist symmetrisch zur y-achse. Das ist falsch, denn beispielsweise Potenzfunktionen mit negativen Eponenten haben keine Nullstellen. Das ist falsch. Die Gerade mit der Gleichung = ist Symmetrieachse des Funktionsgraphen. 68, Kapitel 4, Lösungen zu 4. - vorläufige, nicht genehmigte Fassung