Differentialrechung Ableitungen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
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- Ingeborg Bretz
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1 Differentialrechung Ableitungen er Sinus-, Kosinus- un Tangensfunktion Aufgabe a Gegeben ist ie Funktion f( mit IR. Gesucht ist ie Ableitungsfunktion. Bestimmen Sie ie Ableitungsfunktion graphisch mithilfe er Änerungsrate. Graph er Sinusfunktion mit Änerungsrate Änerungsrate: Achse Graph er Ableitung er Sinusfunktion cos 0.5 -Achse Seite von 9
2 Aufgabe b Gegeben ist ie Funktion f( mit IR. Gesucht ist ie Ableitungsfunktion. Bestimmen Sie ie Ableitung mithilfe es Differentialquotienten. Der Grenzwert 0 Betrachtung im. Quaranten es Einheitskreises: ] 0 ; π [ Abschätzung für as Bogenmaß: tan( tan( cos( linke Seite: rechte Seite: cos( cos( Zusammenfassung: cos( Grenzwertbetrachtung: cos( Seite von 9
3 Der Differentialquotient f' ( f( f( : 0 f' ( 0 sin( Mit em Aitionstheorem: sin( α sin( β sin α β cos α β f' ( 0 sin cos Trennung er Grenzwerte: f' ( sin cos 0 0 cos( Also gilt: cos( Seite 3 von 9
4 Aufgabe a Gegeben ist ie Funktion f( cos( mit IR. Gesucht ist ie Ableitungsfunktion. Bestimmen Sie ie Ableitungsfunktion graphisch mithilfe er Änerungsrate. Graph er Kosinusfunktion mit Änerungsrate Änerungsrate: Achse Graph er Ableitung er Kosinusfunktion sin 0.5 -Achse Seite von 9
5 Aufgabe b Gegeben ist ie Funktion f( cos( mit IR. Gesucht ist ie Ableitungsfunktion. Bestimmen Sie ie Ableitung mithilfe es Differentialquotienten. Der Differentialquotient f' ( f( f( : 0 f' ( 0 cos( cos( Mit em Aitionstheorem: cos( α cos( β sin α β sin α β f' ( 0 sin sin Trennung er Grenzwerte: f' ( sin sin 0 0 Also gilt: cos( Seite 5 von 9
6 Aufgabe 3 Gegeben sin ie Funktionen bzw. cos( mit IR. a Stellen Sie ie Sinusfunktion als Reihe ar. b Stellen Sie ie Kosinusfunktion als Reihe ar. c Bestimmen Sie ie Ableitungsfunktionen. Teilaufgabe a Funktionsterm: Summenterm: Summenschreibweise: f( für ] k ( k k ( k ; [ Wählen Sie ie Näherung er einzelnen Funktionsterme: Reihe Sinus - Funktion k 0 k k k sin Näherungen 3 3 Seite von 9
7 Teilaufgabe b Funktionsterm: Summenterm: Summenschreibweise: f( cos( 8 0 cos( +... für ] ; [ 8 0 cos( k ( k k ( k Wählen Sie ie Näherung er einzelnen Funktionsterme: Reihe Kosinus - Funktion k 0 k k k cos Näherungen 3 3 Seite 7 von 9
8 Teilaufgabe c Summenterm: für ] ; [ Die Ableitung: ( Mit n n n gilt: n( n ( Das ist ie Reihe für Kosinus. Summenterm: 8 0 cos( +... für ] ; [ 8 0 Die Ableitung: ( cos( Mit n n n gilt: n( n ( cos( Das ist ie negative Reihe für Sinus. Ableitungsregel ( Ableitungsregel ( ( ( cos( cos( Seite 8 von 9
9 Aufgabe π Gegeben ist ie Funktionen f( tan( mit ] ; π [. a Bestimmen Sie ie Ableitungsfunktion graphisch mithilfe er Änerungsrate. c Bestimmen Sie ie Ableitungsfunktion. Teilaufgabe a Tangens mit Änerungsrate Ableitung von Tangens Achse Änerungsrate: Achse Funktionswert er Ableitungsfunktion: cos 0 Teilaufgabe b f( tan( f( cos( f' ( cos( cos( ( ( cos( ( cos( ( ( cos( ( cos( Ableitungsregel (3 ( tan( ( cos( Seite 9 von 9
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