Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2014:

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1 Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2014: Pflichtteil 2 Wahlteil ufgabe W1a 11 Wahlteil ufgabe W1b 1 Wahlteil ufgabe W2a 15 Wahlteil ufgabe W2b 17 Wahlteil ufgabe Wa 18 Wahlteil ufgabe Wb 21 Wahlteil ufgabe W4a 2 Wahlteil ufgabe W4b 26

2 ufgabe P1: Für den Umfang des reiecks gilt: u = + + ie Länge kann im reieck mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, wenn man die Länge kennt (siehe ) ie Länge kann im reieck mit der Kosinusfunktion berechnet werden (siehe ) it den Längen und = 5,8 cm kann im reieck der Winkel ε 2 berechnet werden, woraus sich mit ε 1 = 54,6 sofort der Winkel ε ergibt (siehe ) ie fehlenden Längen und erhält man dann mithilfe des Winkels ε und der Länge im reieck (siehe Figur ) Tipp: Wenn Sie den Lösungsweg zunächst nicht erkennen, sollten Sie zuerst alle Seiten bzw Winkel des reiecks berechnen nschließend erkennen Sie leicht, wie man auch alle Seiten und Winkel im reieck berechnen kann er Rest des Lösungswegs ergibt sich dann fast von selbst Für den Umfang des reiecks gilt: u = + + ie drei Längen, und können folgendermaßen berechnet werden: erechnung der Länge : Im reieck gilt (siehe ): 2 = 5, erechnung der Länge : Für gilt im reieck (siehe ):,2 cos 54,6 = 5,8 cm cos 54,6 =,2 : cos 54,6 = 5,52 cm amit folgt durch insetzen in 2 = 5, : 2 = 64,11 54,6,2 cm = 8,01 cm erechnung der Länge : ie Länge kann im reieck berechnet werden, wenn man den Winkel ε kennt (siehe ) s gilt: cos ε = 8,01 Für den Winkel ε gilt: 180 = 54,6 + ε 2 + ε 54,6 ε 2 125,4 ε 2 = ε bzw ε = 125,4 ε 2 er Winkel ε 2 kann im reieck mit der Sinusfunktion berechnet werden (siehe ) s gilt: 5,8 sin ε 2 = 8,01 ε 2 = 46,4 sin 1 amit folgt: ε = 79,0 athematik-verlag 2014, wwwmatheverlagcom 2 5,8 cm 54,6,2 cm 8,01 cm ε 2 ε

3 it ε = 79,0 erhält man (siehe Figur ): cos 79 = 8,01 8,01 erechnung der Länge : 1,5 = bzw = 1,5 cm 8,01 cm ie Länge kann im reieck mit der Sinusfunktion berechnet werden (siehe Figur ) s gilt: sin 79 = 8,01 8,01 7,86 = bzw = 7,86 cm it = 8,01 cm, = 1,5 cm und = 7,86 cm erhält man schließlich den gesuchten Umfang: u = 17,4 cm Figur 79 rgebnis: er Umfang u des reiecks beträgt u = 17,4 cm ufgabe P2: ie Länge kann im reieck mit der Tangensfunktion berechnet werden, wenn man den Winkel β und die Länge kennt (siehe ) er Winkel β lässt sich sofort mit der Winkelsumme im reieck berechnen Für die Länge gilt: = 6,2 ie Länge kann im reieck mit der Kosinusfunktion berechnet werden, wenn man die Länge kennt, die laut ufgabenstellung die Hälfte von sein soll ie Länge wiederum kann im reieck mit der Kosinusfunktion berechnet werden (Figur ) Tipp: Wenn Sie den Lösungsweg zunächst nicht erkennen, sollten Sie zuerst alle Seiten bzw Winkel des reiecks berechnen nschließend erkennen Sie, dass man auch alle Seiten und Winkel im reieck berechnen kann er Rest des Lösungswegs ergibt sich dann fast von selbst Für die Länge gilt (siehe ): tan β = tan β = bzw = tan β s müssen also noch der Winkel β und die Strecke berechnet werden erechnung des Winkels β: Für die Summe der Innenwinkel im reieck gilt: 6,2 + β + 90 = ,2 + β = ,2 6,2 β β = 5,8 athematik-verlag 2014, wwwmatheverlagcom

4 erechnung der Länge : Für die Länge gilt: = 6,2 (siehe ) erechnung der Länge : ie Länge kann im reieck mit der Kosinusfunktion berechnet werden, wenn man die Länge kennt (siehe ) s gilt: cos 6,2 = a laut ufgabenstellung der Punkt die Strecke halbiert, gilt: = 0,5 6,2 5,8 ie Länge wiederum kann im reieck mit der Kosinusfunktion berechnet werden (siehe Figur ) s gilt: cos 6,2 = 6,2 6,2 amit ist = 2,5 cm 5,0 = bzw = 5,0 cm insetzen von = 2,5 cm in cos 6,2 = cos 6,2 = 2,5 2,5 ergibt: 6,2 5,8 2,02 = bzw = 2,02 cm Figur Für die Länge = 6,2 folgt somit: = 4,18 cm Und für = tan β folgt schließlich mit = 4,18 cm und β = 5,8 : = 5,71 cm rgebnis: ie Länge ist = 5,71 cm athematik-verlag 2014, wwwmatheverlagcom 4

5 ufgabe P: Weil sich das Volumen der Pyramide beim inschmelzen zur Kugel nicht ändert, muss man zunächst das Pyramidenvolumen berechnen it der Volumenformel einer Kugel kann man dann daraus den gesuchten Radius berechnen er Kugelradius r kann mit der Volumenformel einer Kugel berechnet werden, wenn man das Kugelvolumen kennt s gilt (siehe Formelsammlung): V K = 4 π r erechnung des Pyramidenvolumens: Für das Pyramidenvolumen gilt (siehe Formelsammlung): V p = 1 a 2 h erechnung der Kantenlänge a: ie Kantenlänge a kann im markierten reieck der mit der Sinusfunktion berechnet werden (an beachte, dass die Seitenhöhe h s die Seitenfläche der Pyramide halbiert) s gilt: sin 17 = 11,2 11,2,27 = : 0,5 6,54 = a bzw a = 6,54 cm h s γ 2 = 17 11,2 cm erechnung der Pyramidenhöhe h: ie Pyramidenhöhe h kann im markierten reieck der mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, wenn man die Seitenhöhe h s kennt s gilt: h s 2 = h 2 + () 2 ie Seitenhöhe h s wiederum kann mit der Kosinusfunktion im markierten reieck der berechnet werden s gilt: cos 17 = 11,2 h s 11,2 h h s 10,71 = h s bzw h s = 10,71 cm insetzen von a = 6,54 cm und h s = 10,71 cm in h 2 s = h 2 + () 2 ergibt: 114,70 = h ,69 10,69 104,01 = h 2 10,20 = h bzw h = 10,20 cm 1 amit erhält man für das Pyramidenvolumen V p = a 2 h: V p = 145,42 cm erechnung des Kugelradius r: insetzen von V p = V K = 145,42 cm 4 in die Formel V K = π r ergibt: 145,42 = 4,19 r :4,19 4,71 = r,26 = r bzw r =,26 cm rgebnis: er Radius der Kugel ist r =,26 cm athematik-verlag 2014, wwwmatheverlagcom 5