Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2018:

Transkript

1 Inhalt der Löungen zur Prüfung 018: Pflichtteil Wahlteil ufgabe W1a 11 Wahlteil ufgabe W1b 13 Wahlteil ufgabe Wa 15 Wahlteil ufgabe Wb 16 Wahlteil ufgabe W3a 18 Wahlteil ufgabe W3b 0 Wahlteil ufgabe W4a Wahlteil ufgabe W4b 4

2 ufgabe P1: ür den lächeninhalt de Trapeze gilt: = 1 ( + ), wobei = cm bereit angegeben it und = gilt ür die Länge gilt: =, mit = cm ie Strecke kann im reieck mit der Tangenfunktion berechnet werden (iehe igur 1) ür die Länge gilt: =, mit = = cm ie Länge kann im reieck mit der Koinufunktion berechnet werden, wenn man die Länge und den Winkel δ kennt (iehe igur und 3) ie Länge wiederum kann im reieck mit der Koinufunktion berechnet werden (iehe igur ) Tipp: Wenn Sie überhaupt keinen Löunganatz erkennen, ollten Sie zuert im reieck die Längen und berechnen und den Winkel δ = 90 δ 1 eintragen erechnung de lächeninhalt de Trapeze : ür den lächeninhalt de Trapeze gilt (iehe ormelammlung): = 1 ( + ) Und mit = = cm: = 1 ( + ) erechnung der Länge : ür gilt: = cm ie Strecke kann im reieck mit der Tangenfunktion berechnet werden (iehe igur 1) gilt: tan 5 = 5 igur 1 6,91 = bzw = 6,91 cm amit folgt: = 7,59 cm erechnung der Länge : ür die Länge gilt: = cm ie Länge kann im reieck mit der Koinufunktion berechnet werden, wenn man die Länge und den Winkel δ kennt ür δ gilt: δ = 90 5 = 38 ür gilt im reieck (iehe igur ): co 5 = δ 5 igur co 5 = : co 5 = 8,77 cm Mathematik-Verlag 018, wwwmatheverlagcom

3 Mit δ = 38 und = 8,77 cm erhält man mit der Koinufunktion im reieck ( igur 3): 8,77 co 38 = co 38 = 8,77 : co 38 amit folgt für : = 11,13 cm = cm 11,13 cm = 3,37 cm ,77 igur 3 inetzen von = 7,59 cm und = 3,37 cm in = 1 ( + ) ergibt chließlich: = 9,6 cm rgebni: a Trapez hat den lächeninhalt = 9,6 cm ufgabe P: ür die Länge gilt: = 9,4 cm (iehe igur 1) Um die Länge berechnen zu können, mu man im gleichchenkligen reieck zunächt die Höhe bezüglich der Grundeite einzeichnen (iehe igur ) adurch wird da reieck in zwei kongruente Hälften geteilt ür gilt: = ie Strecke kann im reieck mit der Koinufunktion berechnet werden, wenn man den Winkel und die Strecke kennt (iehe igur ) er Winkel kann mit der Summe der Innenwinkel de reieck berechnet werden erhält man im reieck mit der Sinufunktion (iehe igur 3) Tipp: Wenn Sie überhaupt keinen Löunganatz erkennen, ollten Sie zuert im reieck alle Seitenlängen und den fehlenden Winkel berechnen ußerdem ollten Sie im gleichchenkligen reieck die Höhe auf die Grundeite einzeichnen und beachten, da diee Höhe die Grundeite halbiert erechnung der Länge : ür die Länge gilt (iehe igur 1): = 9,4 cm erechnung der Länge : a die Höhe da gleichchenklige reieck in zwei kongruente Hälften teilt, gilt (iehe igur ): = ür die Strecke gilt im reieck : 9,4 igur 1 co = en Winkel erhält man mit der Summe der Innenwinkel im reieck (iehe igur 1): igur = 180 = 35 Mathematik-Verlag 018, wwwmatheverlagcom 3

4 ie Strecke kann im reieck mit der Sinufunktion berechnet werden (iehe igur 3) gilt: in = 9,4 9,4 9,4 7,70 = bzw = 7,70 cm igur 3 inetzen von = 35 und = 7,70 cm in co = ergibt: co 35 = 7,70 7,70 6,31 = bzw = 6,31 cm amit folgt für = : = 1,6 cm Und für die Länge = 9,4 cm erhält man chließlich: = 3, cm rgebni: ie Länge von it = 3, cm ufgabe P3: Zunächt mu da geamte Waervolumen V Prima de quadratichen Prima berechnet werden Wenn man von dieem Volumen da Kegelvolumen abzieht, erhält man da zylinderförmige Waervolumen V Z, da den Zylinder oberhalb de Kegel teilweie aufüllt ie Summe zwichen dem Waertand h 0 im Zylinder und der Kegelhöhe it dann der geuchte Waertand (iehe igur 1) er Waertand h 0 im Zylinder kann durch Umtellen der entprechenden Volumenformel für V Z betimmt werden Zur erechnung de Kegelvolumen benötigt man noch die Kegelhöhe, die mit dem Satz de Pythagora berechnet werden kann (iehe igur ) erechnung de Waertand im zuammengeetzten Körper: d Wenn man da geamte Waer de Prima in den zuammengeetzten Körper umfüllt, gilt für die Höhe h* de geuchten Waertand (iehe igur 1): h* = + h 0, wobei h 0 der Waertand im Zylinder nach dem Umfüllen it h 0 erechnung der Kegelhöhe : ie Kegelhöhe kann im markierten reieck der igur berechnet werden arin gilt der Satz de Pythagora: (0,5d) + = igur 1 Mit d = 17,8 cm und = 0,0 cm folgt: 79,1 + = ,1 = 30,79 0,5d = 17,91 cm igur Mathematik-Verlag 018, wwwmatheverlagcom 4

5 erechnung de Waertand h 0 im Zylinder: ür da geamte Waervolumen V Prima gilt (iehe ormelammlung): V Prima = a h Pr Mit a = 10 cm und h Pr = 5 cm erhält man: V Prima = 500 cm 3 Nach dem Umfüllen de Waer gilt für da Waervolumen V Z im Zylinder: V Z = π (0,5d) h 0 Mit d = 17,8 cm erhält man: V Z = 48,85 h 0 ußerdem gilt für da Waervolumen V Z nach dem Umfüllen: V Z = V Prima V Kegel bzw V Z = 500 cm 3 V Kegel ür da Kegelvolumen V Kegel gilt (iehe ormelammlung): V Kegel = 3 1 π (0,5d) Mit d = 17,8 cm und = 17,91 cm (iehe oben) folgt: V Kegel = 1485,6 cm 3 inetzen in V Z = 500 cm 3 V Kegel ergibt: V Z = 1014,4 cm 3 inetzen von V Z = 1014,4 cm 3 in V Z = 48,85 h 0 ergibt: 1014,4 = 48,85 h 0 :48,85 4,08 = h 0 bzw h 0 = 4,08 cm d igur 3 h 0 inetzen von = 17,91 cm und h 0 = 4,08 cm in h* = + h 0 ergibt chließlich die geuchte Höhe de Waer im zuammengeetzten Körper: h* = 1,99 cm,0 cm rgebni: ie Höhe de Waer im zuammengeetzten Körper beträgt h*,0 cm ufgabe P4: Prozentuale bnahme de Waerverbrauch zwichen 1990 und 010: Im Jahr 1990 betrug der Pro-Kopf-Waerverbrauch 147 Liter pro Tag a it der Grundwert G Im Jahr 010 waren e nur noch 1 Liter pro Tag a it der verringerte Grundwert G inetzen von G = 147 Liter und G = 1 Liter in die ormel G = G q ergibt: 1 = 147 q : 147 0,83 = q bzw q = 0,83 p Mit q = 1 folgt: p % = 17,0 % 100 rgebni: er Pro-Kopf-Waerverbrauch hat zwichen 1990 und 010 um 17,0 % abgenommen er tägliche Waerverbrauch für die Körperpflege im Jahr 015: Im Jahr 015 betrug der Pro-Kopf-Waerverbrauch 1 Liter pro Tag a it der Grundwert G er Grafik zufolge entfallen 35 % davon auf die Körperpflege a it der Prozentatz p % Geucht it 35 alo der Prozentwert W; nämlich 35 % von 1 Liter Man erhält: W = 1 Liter = 4,7 Liter 100 rgebni: Im Jahr 015 wurden täglich 4,7 Liter Waer pro inwohner für die Körperpflege verbraucht Mathematik-Verlag 018, wwwmatheverlagcom 5